PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA MATRIKS Jika matriks

RANGKUMAN MATRIKS
By : Syaiful Hamzah Nasution, S.Si, S.Pd
DEFINISI

Matriks adalah susunan bilangan dalam suatu persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom.

Ordo atau ukuran dari suatu matriks adalah banyak baris dan kolom dari suatu matriks

Susunan horizontal disebut dengan baris

Susunan vertical disebut dengan kolom
 a11
a
Am x n  21
 :

am1
a12
a22
:
am2
a1n 
.. a2n 

:
: 

.. amn 
..
Baris
Ket : Matriks A berordo m x n (m baris, n kolom)
2 4 5
A2x3 = 

1 2 0 
Matriks A berodo 2 x 3 ( 2 baris, 3 kolom)
Elemen baris 1 kolom 1 = 2
Elemen baris 1 kolom 2 = 4
Kolom
Elemen baris 2 kolom 3 = 0
TRANSPOSE (Baris  Kolom)
Transpose Matriks A adalah sebuah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A
menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya.
Transpose matriks A dinotasikan dengan AT. Jika matriks A berordo m x n, maka AT berordo n x m.
2 1 4 
T
Contoh : A = 
 , maka A =
5 1 3 
 2 5
1 1 


 4 3
KESAMAAN DUA MATRIKS
Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika :
a.
Ordo kedua matriks sama
b.
Semua elemen yang seletak (bersesuaian) mempunyai nilai yang sama
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA MATRIKS
Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka penjumlahan (atau pengurangan) matriks A dengan matrik B adalah
sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang
seletak (bersesuaian).
Sifat Penjumlahan matrik
a.
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama
b.
Penjumlahan matriks bersifat komutatif, yakni A + B = B + A
c.
Penjumlahan matriks bersifat asosiatif, yakni (A + B) + C = A + (B + C)
d.
Ada unsur identitas, yakni matriks O (matriks yang semua elemennya nol), yang bersifat A + O = O + A = A
e.
Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif (invers penjumlahan), yaitu – A yang bersifat A + ( - A ) = O
Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan matriks B adalah sebuah matrik baru
yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak.
 1 2 3
2 4 1 
Contoh : A = 
,B= 

 , maka
4 5 1
3 2 4 
1 2 3 2 4 1  1  2 2  4 3  1  3 6 4 
A+B= 
+ 
 = 
= 

 4 5 1  3 2 4   4  3 5  2 1  4  7 7 5 
1 2 3 2 4 1  1  2 2  4 3  1   1 2 2 
A–B= 
 - 
 = 
= 

4 5 1 3 2 4  4  3 5  2 1  4   1 3 3
PERKALIAN MATRIK
Perkalian Matrik dengan Skalar
Apabila A adalah sebuah matriks berordo m x n dan k adalah suatu bilangan real, maka kA adalah matriks baru berordo m
x n yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen elemen matriks A
Perkalian Dua Matriks
Matriks A dapat dikalian dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dengan kata
lain Apabila A adalah matriks berordo m x n dan matriks B berordo n x p, hasil perkalian matriks A dengan matriks B
adalah matriks baru (missal matriks C) yang berordo m x p. Hasil perkalian matriks A dengan matriks B yang sepadan
diperoleh dengan cara mengalikan masing masing baris matriks A dengan masing masing kolom matriks B, kemudian
menjumlahkannya.
Am x n . B n x p = C m x p
1 2 
Contoh : A = 
 , dan B =
3 4 
 2 4 5
 2 6 1  , maka


1 2   2 4 5 
A. B = 
=
 
3 4   2 6 1
1x 2  2 x 2 1x4  2 x6 1x5  2 x1 
3x 2  4 x2 3 x4  4 x6 3 x5  4 x1 =


 2  4 4  12 5  2 
 6  8 12  24 15  4  =


 6 16 7 
14 36 19 


Sifat Perkalian dua Matriks atau lebih yang sepadan
1.
Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif
A. B ≠ B. A (kecuali untuk matrik matrik khusus)
2.
Perkalian matriks bersifat asosiatif
(A. B) C = A. (B. C)
3.
Perkalian matriks bersifat distributif
Distributif Kiri : A. (B + C) = A.B + A. C
Distributif Kanan : (B + C). A = B. A + C. A
4.
Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah
matrik identitas, yaitu matrik satuan I, yang bersifat : I . A = A . I
5.
Jika A . B = O, belum tentu A = O atau B = O
Jika A. B = A. C, belum tentu B = C
6.
Jika p dan q adalah bilangan bilangan real, serta A dan B adalah matrik matriks, maka berlaku hubungan
(pA) (qB) = (pq) (A.B)
7.
Jika At dan Bt berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan matriks B maka :
(A. B)t = Bt. At
INVERS MATRIKS
Apabila A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo sama dan berlaku hubungan :
A. B = B. A = I
Maka A adalah invers B atau B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks yang saling invers.
Matriks A adalah invers matrik B ditulis A = B-1 dan matrik B adalah invers matriks A ditulis B= A-1
INVERS MATRIK ORDO 2 X 2
a b 
Misal A = 
 dengan Determinan matriks A = det A = ad – bc, maka invers matrik A diperoleh dengan
c d 
A-1 =
1  d -b 
ad - bc  -c a 
( A. B) -1 = B-1 . A-1
Dengan sifat
Penyelesaian Persamaan Matriks
Apabila A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berodo 2 dan A memiliki invers, maka
a. Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh : X = A-1 B
 ax  by  p
b. Sistem Persamaan liniear dua peubah : 
 cx  dy  q
a b   x   p 
dapat dinyatakan dalam bentuk matrik : 
    
c d   y  q 
 x
1  d b   p 
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh :   
y
ad
 bc  c a   q 
 
INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3
a
Misalkan matriks A adalah matriks persegi berodo 3 yang berbentuk A =  d

 g
b
e
h
c
f 
i 
Berdasarkan kaidah Sarrus, nilai determinan matriks A ditentukan oleh :
a b c a b
Det A = d
e
f d
g h
e  (aei  bfg  cdh)  (ceg  afh  bdi )
i g h
Penyelesaian Sistem Persamaan Liniear Tiga Variabel (Aturan Cramer)
ax  by  cz  p

 dx  ey  fz  q ditentukan oleh
 gx  hy  iz  r

a b
c
x
Dx
Dy
Dz
, y
,z
D
D
D
e
p b
f , Dx  q e
c
D d
a
f , Dy  d
q
a b
f , Dz  d e
q
g
h
i
i
r
i
r
r
h
g
p
untuk D ≠ 0, dengan
c
g
h
p