MATRIKS DAN OPERASINYA

1
MATRIKS DAN OPERASINYA
Nurdinintya Athari
(NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA
Sub Pokok Bahasan
• Matriks dan Jenisnya
• Operasi Matriks
• Operasi Baris Elementer
• Matriks Invers (Balikan)
Beberapa Aplikasi Matriks
 Representasi image (citra)
 Chanel/Frequency assignment
 Operation Research
 dan lain-lain
1. PENGERTIAN MATRIKS
Definisi
Sebuah matriks adalah sebuah susunan bilangan
berbentuk persegi panjang . Bilangan-bilangan dalam
susunan tersebut disebut entri dari matriks. Entri di baris i
dan kolom j dinotasikan dengan aij
Ukuran dari matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan
kolom yang terkandung didalamnya.
Secara umum, matriks m x n ditulis
 a11
a
 21
 

am1
a12  a1n 
a22  a2 n 


 

am 2  amn 
Notasi Matriks
 a11

 a21
A


a
 m1
a12
a22

am 2
 a1n 

 a2 n 
  

 amn 
Baris pertama
Unsur / entri /elemen ke-mn
(baris m kolom n)
Kolom kedua
Matriks A berukuran (Ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama.
A dan B dikatakan sama (notasi A = B) jika aij = bij untuk
setiap i dan j
Jenis-jenis Matriks
•
Matriks persegi panjang
 Sebuah matriks dengan ukuran horizontal dan vertikal
tidak sama( yakni matriks mxn dengan m≠n).
Example :
 0 8 1 3


B  1 7 9 8
7 9 7 0


Matriks bujur sangkar (persegi)
 Matriks yang jumlah baris
kolomnya adalah sama (n x n)
Contoh :
Ordo 2
Ordo 3
1 3 
A

2
4


1 2 5 
B  2 1 4
3 3 3
Unsur diagonal
dan
jumlah
Matriks segitiga
Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.
• Matriks segitiga atas
 Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal
pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
Contoh:
 5
E   0
 0
9
1
0
3 
7 
8 
• Matriks segitiga bawah
 Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal
pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
Contoh:
 2
F   5
 3
0
1
0
0 
0 
2 
Matriks Diagonal
 Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur yang
bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
 3
D   0
 0
0
2
0
0 
0 
1 
Matriks satuan (Identitas)
 Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya
adalah satu.
 1
I   0
 0
0
1
0
0 
0 
1 
Matriks Nol
 Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
0 0  0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0

 

OPERASI MATRIKS
 Penjumlahan/pengurangan matrix
 Perkalian skalar
 Perkalian matriks
 Transpos Matriks
 Trace Matriks
 Operasi Baris Elementer
• Transpos Matriks
Matriks transpos diperoleh dengan menukar
baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya.
Notasi At (hasil transpos matriks A)
Contoh :
 2

A 3
 -1

1 

-2 
0 
Jika matriks A =
matriks Simetri.
Contoh :
2
A  
1
2 3
maka A  
 1 -2
t
-1
0



At maka matriks A dinamakan
1

3
2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :
1.
Penjumlahan Matriks
2.
Perkalian Matriks
3.
•
Perkalian skalar dengan matriks
•
Perkalian matriks dengan matriks
Operasi Baris Elementer (OBE)
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkan
Contoh
a.
 a
 c

b.
 1
 3

b 
e
+ 

d 
g
f 
h 
 ae b f 


c

g
d

h


2 +  5
 7
4 

6 
8 
 6
8
 

12
10


Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
 p q
k

r
s


=
k p k q
 k r k s


• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo p x q dan B berordo m x n
Syarat :
A X B  haruslah q = m
hasil perkalian AB berordo p x n
B X A  haruslah n = p
hasil perkalian BA berordo m x q
Contoh :
Diketahui
p
s
a b c 
A 

d
e
f

2x3
dan

B   q
 r

t 
u  3 x 2
Maka hasil kali A dan B adalah :
 p s

a b c  
 ap+bq+cr
  q t   
AB  
 d e f 2 x 3  r u 
 dp+eq+fr

3x2
Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama
dan ,  merupakan unsur bilangan Riil,
Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3.  ( A + B ) = A + B
4. ( +  ) ( A ) = A + A
as+bt+cu 

ds+et+fu 2x2

Contoh :
Diketahui matriks :
 2

A 3
 -1

Tentukan
a. A At
b. At A
1 

-2 
0 
Jawab :
maka
 2

t
AA   3
 -1

 2 3
A  
 1 -2
t
1
-2
0

 2 3
 
  1 -2

-1 

0 
-1 

0 
 5 4 -2 


  4 13 -3 
-2 -3 1 


sedangkan
 2
 2 3 -1  
t
  3
A A  
 1 -2 0  
 -1
1  
 14 -4 
-2  

0  -4 5
• Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1
 -3
A   1
 0
-2
2
2
 1
-1 
3  b1  b2 ~  - 3

4 
 0
2
-2
2
Baris pertama (b1) ditukar
dengan baris ke-2 (b2)
3 
- 1 
4 
OBE ke-2
 4
A   0
 2
-4
0
2
-1
1
1
 1 -1
-4 

7  ¼ b ~  0 2
1
 2 - 1
3 
0
1
1
-1 
7 
3 
Perkalian Baris pertama (b1)
dengan bilangan ¼
OBE ke-3
 1 -1
A   0 2
 2 - 1
0
1
1
 1 -1
-1 

7   2b1  b3 ~  0 2
 0 1
3 
0
1
1
Perkalian (–2) dengan b1 lalu
tambahkan pada baris ke-3 (b3)
-1
7
5




• Beberapa definisi yang perlu diketahui :
1  1 1 3


B  0 0 3 1 
0 0 0 0
• Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
• Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
• Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama)
dinamakan satu utama.
• Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah
1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur
yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika
(Proses Eliminasi Gauss)
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)
Contoh :
Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari
 1 -1

A 0 2
 2 -1

Jawab :
A
~
~
0
1
1
-1 

7
3 
 1

 2b1  b3  0
 0

-1
2
0
1
1
1
 1

 0
 0

-1
0
1
2
1
1
b2  b3
-1 

7
5 
-1 

5 
7 
A~
-1
0
1
1
0
-1
-1 

5 
-3 
 1 -1

 b3 ~  0 1
 0 0

0
1
1
-1 

5
3 
 2b2  b3
 1

 0
 0

 1

 b3  b2 ~  0
 0

-1
0
1
0
0
1
 1

b2  b1  0
 0

0
1
0
0
0
1
-1 

2
3 
1 

2 
3 
Perhatikan
 1

 0
 0

hasil OBE tadi :
0 0 1 

1 0 2
0 1 3 
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah
baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
Invers Matriks
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.
B dinamakan invers dari A jika dipenuhi
A B = I dan B A = I
Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.
Notasi A = B-1
Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
A | I 
OBE
~
I | A 
1
Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas,
maka A dikatakan tidak memiliki invers.
Contoh :
 3

Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari : A   1
2  1

1
0
 2  2 1 


Jawab :
 3
2  1 1 0 0


1
0 0 1 0  b1↔b2
 1
  2  2 1 0 0 1 ~


-3b1+b2
2b1+b3
 1
1
0 0 1 0


2  1 1 0 0
 3
  2  2 1 0 0 1


1 1 0 0 1 0


0
-1
-1
-3
1
0


0 0 1 0 2 1


1 1 0 0 1 0


 0 1 1 -1 3 0 
0 0 1 0 2 1


1 1 0 0 1 0


-b3+ b2  0 1 0 -1 1 -1
0 0 1 0 2 1


1 1
0 0 1 0
 -b2

 0  1  1 1  3 0
0 0 1 0 2 1


1 0 0 1

-b2+ b1  0 1 0  1
0 0 1 0

 1

1
Jadi Invers Matriks A adalah A    1
 0

0 1 

1  1
2 1 
1

1  1
2 1 
0
• Perhatikan bahwa :
2  1
 3


A 1
1
0
 2  2 1 


maka
A A1
dan
 1 0 1


1
A    1 1  1
 0 2 1


 3 2 1 1 0 1 



  1 1 0  1 1 1
 2 2 1  0 2 1 



1 0 0


  0 1 0
0 0 1


Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :
i. (A-1)-1 = A
ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers
maka (A . B)-1 = B-1 . A-1
iii. Misal k  Riil maka
(kA)-1
iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1
1 1
= A
k
= (A-1)n
Latihan
Diketahui
 3 0
A   1 2
 1 1
 4  1
B

0
2


1 4 2
C

3
1
5


Tentukan (untuk no 1 – 5) matriks hasil operasi berikut ini :
1. AB
2. 3CA
3. (AB)C
4. (4B)C + 2C
Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :
2 1 0


D1 2 1 
0 1 2


 3  2 0


E  0
1 0
dan
  4 4 1


5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)
6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A,
B, C, D, dan E
7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)