Himpunan Bilangan

Himpunan Bilangan
Matematika Dasar 1A
Dr. Ahmad Sabri
Bilangan
• Bilangan asli (natural numbers): ℕ={1,2,3,...}
• Bilangan bulat (integers): ℤ={...,-2,-1,0,1,2,...}
• Bilangan rasional: ℚ={m/n | m,n ϵ ℤ, n≠0}
• Bilangan riil: ℝ={x | x terdapat pada garis bilangan}
Q: Gambarlah diagram Venn dari keempat himpunan di atas!
Bilangan asli
• Operasi dasar: + (penjumlahan) dan × (perkalian)
• Jika a,bϵℕ, maka terdapat c,dϵℕ di mana c=a+b, dan d=a×b
Sifat-sifat bilangan asli
1. Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian: jika a,bϵℕ, maka
a+bϵℕ dan a×bϵℕ
2. Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian: untuk setiap a,bϵℕ
berlaku a+b=b+a dan a×b=b×a
3. Asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian: untuk setiap a,b,cϵℕ
berlaku (a+b)+c=a+(b+c) dan (a×b)×c=a×(b×c)
4. Terdapat identitas terhadap penjumlahan (0) dan perkalian (1):
n+0=0+n=n dan n×1=1×n=n
5. Distributif perkalian terhadap penjumlahan: (a+b)×c=a×c+b×c
a×(b+c)=a×b+a×c
• Invers penjumlahan: jika aϵℝ, maka -a disebut invers penjumlahan
dari a, dan berlaku a+(-a)=-a+a=0.
• Invers perkalian: jika aϵℝ, a≠0, maka 1/a disebut invers perkalian
dari a, dan berlaku a×(1/a)=(1/a)×a=1.
Q:
1. Investigasilah apakah 0 memiliki invers penjumlahan? Invers
perkalian?
2. Definisikan himpunan integer ℤ
• Jika a,b,cϵℝ dan berlaku ab=c, maka a dan b disebut faktor dari c,
dan c disebut kelipatan dari a dan b
Q: Definisikan bilangan genap dan bilangan ganjil
• Bilangan majemuk (komposit): adalah bilangan bulat positif yang
memiliki dua atau lebih faktor bilangan positif selain 1
Q: Definisikan bilangan prima
Bilangan rasional
• Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk m/n, di mana m,n ϵ ℤ, n≠0
• Dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ataupun desimal
• Jika dinyatakan dalam bentuk desimal, maka ada dua kemungkinan:
• Panjangnya berhingga (selalu berakhir). Contoh: 0,5; 0,213; 3,5276; -12,73457
• Panjangnya tidak berhingga dan polanya selalu berulang. Contoh: 0,3333.....;
2,6666...; 1,212121...; 5,134134134...
• Dalam hal lain, dikatakan bilangan tersebut irasional (definisikanlah!)
Bilangan riil
• Bilangan riil adalah bilangan yang dapat dinyatakan oleh satu titik
pada garis bilangan
.... -3 -2
-1 0
1
2
3 ....
• Himpunan bilangan riil disimbolkan sebagai ℝ
Q: Manakah yang benar:
(i) ℝ = ℤ⋃ℚ
(ii) ℝ = ℚ⋃ℚ'
(iii) ℝ = ℕ⋃ℤ
Interval pada bilangan riil
a,bϵℝ dan a<b. Maka terdapat 4 kemungkinan interval yang
dibentuk dengan batas a dan b:
• A1={x|a<x<b}, atau interval (a,b)
• A2={x|a≤x<b}, atau interval [a,b)
• A3={x|a≤x≤b}, atau interval [a,b]
• A4={x|a<x≤b}, atau interval (a,b]
Interval takhingga:
• A={x|x<a}=(-∞, a)
• B={x|x>a}=(a,∞)
• C={x|x≤a}=(-∞, a]
• D={x|x≥a}=[a,∞)
Tentukan interval untuk nilai-nilai x sehingga
• x2-5x-24≤0
• x2-5x-24>0
Nilai mutlak
Harga mutlak dari aϵℝ, dinotasikan sebagai |a|, didefinisikan sebagai a
(jika a≥0), atau -a (jika a<0)
Sifat-sifat nilai mutlak
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
|a|≥0
|-a|=|a|
√a2=|a|
|a|<b, b≠0 jika dan hanya
jika -b<a<b
|a|>b jika dan hanya jika a<b dan a>b
|a±b|=|b±a|
|ab|=|a||b|
|a/b|=|a|/|b|
9. |a+b|≥|a|-|b|
10. |a+b|≤|a|+|b|