Kombinatorika 1

Kombinatorika 1
Kuliah Matematika Diskrit
Minggu 5
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada
Pengenalan




Merupakan studi ttg pengaturan objek2.
Kombinatorika banyak melibatkan teknik perhitungan.
Teknik perhitungan memungkinkan kita utk
menghitung kumpulan objek tanpa harus mendaftar
semua objek yg ada.
Beberapa prinsip perhitungan yg fundamental:




Prinsip penjumlahan
Prinsip perkalian
Prinsip pigeonhole
Prinsip inklusi dan eksklusi
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada
Aturan untuk Suatu Peristiwa



Event/peristiwa: sesuatu yg terjadi.
Jk peristiwa A dapat terjadi dlm m cara dan
peristiwa B dapat terjadi dalam n cara, maka
terdapat (m, n) cara kedua peristiwa dapat terjadi
secara bersama-sama.
Cara menghitung (m, n) dapat dilakukan dengan
menggunakan prinsip perhitungan yg sesuai.
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada
Aturan Penjumlahan


Misalkan himpunan A adalah gabungan dari hinpunanhimpunan bagian tidak kosong yang saling asing
(irisannya = Ø) S1, S2, …, Sn.
Maka |A| = |S1| + |S2| + … + |Sn|
Dengan kata lain, jumlah anggota himpunan A sama
dengan jumlah anggota semua himpunan bagiannya.
S1
...
Sn
S2
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada
Aturan Perkalian

Prinsip perkalian:



Suatu pekerjaan terdiri dari k langkah: n1 , …, ni ,…, nk
Maka terdapat n1n2  nk cara untuk melakukan pekerjaan
tersebut.
Dalam istilah himpunan:

Jika A1, A2, , Ak adalah himpunan berhingga, maka jumlah elemen
dalam Cartesian products himpunan tersebut adalah hasil kali jumlah
elemen masing-masing himpunan.
A1 A2    Ak = A1A2  Ak
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada
Prinsip Pigeonhole

Jika k+1 atau lebih objek ditempatkan ke dalam
k kotak.

Maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat
dua atau lebih objek.
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada
Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip penjumlahan tidak dapat digunakan jika
himpunan-himpunan tidak saling asing.

Misalkan A1, A2, …, An adalah himpunan berhingga.
Maka A1  A2  …  An adalah berhingga dan
n (A1  A2  …  An) = ∑ n (Ai) - ∑ n (Ai ∩ Aj) + n (Ai ∩
Aj ∩ Ak) - … + (-1)n-1 n (A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An)
 Prinsip inklusi - eksklusi

Prinsip inklusi-eksklusi: jangan menghitung elemenelemen dalam irisan lebih dari 1 kali.
Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada