bilangan - WordPress.com

BILANGAN
A. PENGERTIAN
Adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol
ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan di sebut sebagai angka atau
lambang bilangan.
B. JENIS-JENIS BILANGAN
Dalam suatu bilangan terbagi kedalam berbagai jenis bentuk diantaranya:
1. BILANGAN BULAT (INTEGERS)
Himpunan bilangan yang pertama kali dikenal adalah himpunan bilangan positif yang di
tulis N={1,2,3,...} pada bilangan asli dapat digunakan operasi operasi dasar, yaitu penjumlahan
dan perkalian. Berikut akan di jelaskan sifat-sifat bilangan asli N atau bilangan bulat:
a. Sifat tertutup
N dikatakan terutup jika terdapat operasi penjumlahan dan perkalian, karena
jumlah/hasil kali dari setiap 2 bilangan asli juga merupakan bilangan asli. Ditulis:
Untuk setiap 𝑛1, 𝑛2 ∈ 𝑁, ∃ (𝑛1 + 𝑛2) ∈ 𝑁 dan (𝑛1 ∙ 𝑛2) ∈ 𝑁
(notasi ∃= 𝑎𝑑𝑎)
b. Sifat komutatif
untuk setiap 𝑛1, 𝑛2 ∈ 𝑁 berlaku:


𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛2 + 𝑛1 (komutatif penjumlahan)
𝑛1 ∙ 𝑛2 = 𝑛2 ∙ 𝑛1 (komutatif perkalian)
c. Sifat asosiatif
untuk setiap 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 ∈ 𝑁 berlaku:


(𝑛1 + 𝑛2) + 𝑛3 = 𝑛1 + (𝑛2 + 𝑛3) (asosiatif penjumlahan)
(𝑛1 ∙ 𝑛2) ∙ 𝑛3 = 𝑛1 ∙ (𝑛2 ∙ 𝑛3) (asosiatif perkalian)
d. Sifat modulus
untuk setiap bilangan asli 𝑛 ∈ 𝑁 berlaku:


𝑛 + 0 = 0 + 𝑛 (modulus penjumlahan)
𝑛 × 1 = 1 × 𝑛 (modulus perkalian)
e. Sifat distributive
untuk setiap 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 ∈ 𝑁 berlaku:


(𝑛1 + 𝑛2) ∙ 𝑛3 = 𝑛1 ∙ 𝑛3 + 𝑛2 ∙ 𝑛3
𝑛1 ∙ (𝑛2 + 𝑛3) = 𝑛1 ∙ 𝑛2 + 𝑛1 ∙ 𝑛3
f. Sifat invers
untuk setiap a ∈ 𝐼, terdapat –a ∈ 𝐼 sedemikian sehingga 𝑎 + (−𝑎) = 0. Sifat invers/
berkebalikan dengan penjumlahan. Disini 0 + 0 = 0, sehingga nol adalah nol
C. BILANGAN CACAH
Bilangan Cacah terdiri atas :
1. Himpunan semua bilangan asli
2. Bilangan nol
Bilangan cacah biasanya dilambangkan dengan huruf C
D. BILANGAN PRIMA
Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya dapat di bagi oleh 1 dan dirinya sendiri. Contoh :
2, 3, 5, 7, 11, …
E. BILANGAN KOMPOSIT
Bilangan Komposit adalah bilangan bulat yang bukan bilangan prima atau bilangan bulat yang
dapat dinyatakan atas faktor-faktor yang masing-masing bukan bilangan 1.
Contoh : 4, 6, 8, 12, 15, …
F. BILANGAN IMAJENIR
Bilangan Imajiner atau sering disebut bilangan khayal adalah bilangan bulat negatif di bawah
G. BILANGAN RASIONAL
Bilangan Rasional adalah bilangan yang berbentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b≠0.
H. BILANGAN IRASIONAL
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan
atau bilangan yang bukan bilangan rasional
I. BILANGAN REAL
Bilangan Real adalah bilangan yang terdiri atas gabungan himpunan bilangan rasional dan
irasional.
Bilangan real dilambangkan dengan huruf R.
J. BILANGAN KARDINAL
Bilangan Kardinal adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan.
Contoh :
{a, b, c, d, e}
Banyaknya anggota himpunan ini adalah 5.
Jadi, bilangan kardinal dari himpunan tersebut adalah 5
Ditulis : ({a, b, c, d, e}) = 5
K. BILANGAN ORDINAL
Bilangan Ordinal (bilangan urutan) diperoleh dengan menambahkan “ke” kepada nama
bilangan asli.
Contoh : kesatu, kedua, ketiga, keempat,…
L. BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan Kompleks adalah bilangan yang dapat dinyatakandalam bentuk a + bi dengan a, b
bilangan real dan i = √-1
M. BILANGAN SEMPURNA
Bilangan Sempurna adalah bilangan yang sama dengan jumlah pembagi murninya.
Contoh : 6 = 1 + 2 + 3
N. BILANGAN DEFISIENT
Bilangan Defisient adalah bilangan yang lebih dari jumlah pembagi murninya.
Contoh : 8 < 1 + 2 + 4
O. BILANGAN ABUNDANT
Bilangan Abundant adalah bilangan yang kurang dari jumlah pembagi murninya.
Contoh : 12 > 1 + 2 + 3 + 4 + 6
P. PERTIDAKSAMAAN
Dalam pengertiannya bilangan real dimisalkan adalah 𝑎, maka:


𝑎 > 0 ⟺ 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 ( > dibaca “lebih besar”)
𝑎 < 0 ⟺ 𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 ( < dibaca “lebih kecil”)
(⟺∶ jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan. Jadi bila
dibaca: jika a>0, maka a positif, dan jika a positif, maka a>0).
Kemudian jika a dan b bilangan real, maka:
 𝑎 > 𝑏 ⟺ 𝑎 − 𝑏 > 0 (definisi lebih besar)
 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑎 − 𝑏 < 0 (definisi lebih kecil)
 𝑎<𝑏⟺𝑏<𝑎
Q. HARGA MUTLAK
Harga mutlak (absolut) dari suatu bilangan real didefinisikan sebagai:


|𝑎| = 𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 ≥ 0
|𝑎| = −𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 0
R. INDUKSI LENGKAP
Dibuktikannya suatu rumus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli n (𝑛 = 1,2,3, … ), maka
kita dapat menggunakan cara induksi lengkap (bukti dari n ke n+1). Caranya:



Untuk 𝑛 = 1, dibuktikannya berlaku
Untuk 𝑛 = 𝑘, mengandaikannya berlaku
Untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, harus dibuktikan dengan pengandaian 𝑛 = 𝑘