Matematika II

Himpunan Bilangan
Pertemuan 2
(Himpunan Bilangan)
.::Erna Sri Hartatik::.
Himpunan bilangan dan
skemanya
Skema Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan asli
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan bilangan bulat positif.
Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}

Himpunan bilangan prima
adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya
dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka
1.
Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....}

Himpunan bilangan cacah
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan bilangan bulat positif
digabung dengan nol.
Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

Himpunan bilangan bulat
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif,
nol, dan positif.
Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Himpunan bilangan rasional
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya
merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q  bulat dan q 0 atau dapat
dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

Himpunan bilangan irasional
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak
dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, 7

Himpunan bilangan riil
adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

Himpunan bilangan imajiner
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan
lambang bilangan baru.
contoh: i, 4i, 5i

Himpunan bilangan kompleks
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1,
dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh: 2-3i, 8+2
Bilangan bulat


Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan
yang terdiri dari bilangan :
 Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
 Nol
:0
 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat

-4

-3

-2
bilangan bulat Negatif

-1
 1
0
Bilangan nol

2

3

4
bilangan bulat positif
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2

Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
Operasi Hitung Bilangan Bulat

Penjumlahan





Sifat Asosiatif  ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Sifat Komutatif  a + b = b + a
Unsur Identitas terhadap penjumlahan  a + 0 =
0+a
Unsur invers terhadap penjumlahan  a + (-a) =
(-a) + a
Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka
a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

Pengurangan

Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a–b ≠ b-a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka
a - b = c ; c ∈ bilangan bulat




Perkalian
 a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab
 Sifat Asosiatif  (a x b) x c = a x (b x c)
 Sifat komutatif  a x b = b x a
 Sifat distributif  a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
 Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 atau
ax1=1xa=a
 Bersifat tertutup a x b = c
a, b, c ∈ bilangan bulat

Pembagian

Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan
positif  (+) : (+) = (+)
Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan
positif  (-) : (-) = (+)
Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah
bilangan negatif  (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)
Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak
terdefinisi  a : 0  (~) atau 0 : a 0 (nol)
Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c)
Bersifat tidak tertutup





Pemangkatan bilangan bulat
Contoh :
3
4 = 4 x 4 x 4 = 64
5
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
Akar pangkat dua

Akar kuadrat (akar pangkat dua)
Akar kubik (akar pangkat tiga)
Bilangan Riil


Notasi dari himpunan bilangan riil adalah
dinyatakan sebagai garis lurus x є  dibaca x
(sembarang bilangan) anggota dari Jika x є
dinyatakan sebagai suatu titik di garis
x
 Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik
pusatnya 0
x
x
-a
0
a
Urutan Pada Garis Bilangan Riil
Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y
atau x lebih kecil dari y
x > y dibaca x berada di sebelah kanan y
atau y lebih kecil dari x
x<y
x
y
x>y
y
x
•  dibaca “ jika dan hanya jika”
• x<y 
y-x positif


Sifat–sifat bilangan real

Sifat-sifat urutan :
 Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
 Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
 Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz


Penambahan  x<y  x+z <y+z
Relasi urutan  dibaca “kurang dari atau sama dengan”
 dibaca “lebih dari atau sama dengan”
x  y  y - x positif atau nol
Selang (interval)
himpunan
bilangan real
tertentu yang
didefinisikan
dan
dilambangkan
sebagai
berikut:
Penulisan Penulisan himpunan
(a,b)
{x є  | a < x < b}
[a,b]
{x є  | a ≤ x ≤ b}
[a,b)
{x є  | a ≤ x < b}
(a,b]
{x є  | a < x ∞ b}
(a,∞)
{x є  | x > a}
[a, ∞)
{x є  | x ≥ a}
(-∞,b)
{x є  | x < b}
(-∞,b]
{x є  | x ≤ b}
(-∞, ∞)

Grafik
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b