GRUP dan SIFATNYA - Binus Repository

GRUP dan SIFATNYA
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat membuktikan
bahwa suatu sistem adalah grup, grup
periodik grup siklis dan subgrup
Cakupan
– Grup
– Order Grup
– Sifat-sifat grup
– Pangkat dan order elemen grup
– Revisi untuk UTS
Order Grup
1.
2.
3.
4.
Order grup adalah banyaknya elemen
grup tersebut. Berapa order grup berikut
ini.
(Z,+), ({0,1,2,3}, +4), ({1,2,3}), x4)
E=himpunan bilangan bulat genap
dengan operasi penjumlahan
Himpunan matriks bilangan bulat berorde
mxn dengan operasi penjumlahan
Himpunan matriks riil 2x2 dengan
determinan tak nol dengan operasi
perkalian matriks
Sifat-sifat Grup
•
•
•
•
•
Dalam
sebuah
grup,
berlaku
hukum
pencoretan kiri dan kanan.
Dalam sebuah grup, setiap persamaan kiri dan
setiap persamaan kanan dapat dipecahkan
dan jawabnya tunggal.
Jika G sebuah grup, maka a  G berlaku:
(a-1)-1 = a.
(a.b)-1 = b-1.a-1
(a1.a2.a3....an)-1=an-1.an-1-1.an-2-1 ....a3-1.a2-1.a1-1.
Catatan
1. Grup merupakan sebuah loop. Mengapa ?
2. Suatu loop yang asosiatif adalah grup.
Mengapa?
3. Suatu kuasigrup yang asosiatif adalah grup.
Mengapa?
4. Suatu semigrup adalah grup jika setiap
persamaan kiri dan persamaan kanan dapat
dipecahkan.
5. Suatu semigrup berhingga yang memenuhi
hukum pencoretan adalah grup.
Pangkat Elemen
• G sebuah grup dan a suatu unsur dari G. Maka
untuk setiap bilangan asli m dan n, berlaku:
– I)
– ii)
am.an = am+n
(am)n = amn
• Untuk setiap bilangan asli n, a-n = (a-1)n dan a0 =
e (e adalah unsur kesatuan dari grup tersebut)
• (an)-1 = a-n,  bilangan asli n. Buktikan.
• Untuk setiap bilangan bulat p dan q berlaku:
– (i)
– (ii)
– (iii)
ap.aq = ap+q
(ap)q = apq
(ap)-1 = a-p
Order Elemen
•
•
•
•
Jika G grup dan a  G, maka order dari
a adalah bilangan bulat positif terkecil n,
sedemikian rupa sehingga an = e.
(e=unsur kesatuan).
Jika bilangan bulat positif seperti itu tidak
ada, dikatakan a berorder 0 atau
berorder tak hingga.
Notasi order dari a adalah o(a).
Order dari e = o(e) = 1.
Contoh
Cari order elemen-elemen grup berikut.
• Grup (R - {0}, x) adalah grup dengan
unsur kesatuan 1.
• Grup I4 = {x / x  C, x4 = 1} dengan
operasi perkalian biasa.
• Grup (R,+) adalah grup dengan unsur
kesatuan 0.
• A={0,1,2,3,4,5}
dengan
operasi
penjumlahan modulo 6.
• A={1,2,3,4} dengan operasi perkalian
modulo 5. Carilah order tiap elemen.
Penutup
– Grup: sistem yang tertutup, asosiatif, punya
unkes, dan tiap elemen punya invers
– Order Grup: banyak anggota grup
– Sifat-sifat grup: berlaku hukum pencoretan
dan persamaan
– Pangkat elemen
– order elemen grup = n, jika an = unkes
– Revisi untuk UTS