Jenis-jenis Grup Grup aditif bilangan bulat modulo n. Zn = {0,1,2,3

Jenis-jenis Grup
1. Grup aditif bilangan bulat modulo n.
Zn = {0,1,2,3,…,n-1} dengan operasi +n.
Contoh:
2. Grup multiplikatif bilangan asli modulo p (p=prima)
Ap = {1,2,3,…,p-1} dengan operasi ×p , p = bilangan
prima.
Contoh:
3. Grup permutasi
Contoh:
Jika A = {1,2} dan R adalah relasi korespondensi satusatu dari A ke A. Cari berapa korespondensi yang
dapat terbentuk.
Jika B={a,b,c} dan R:BB, cari berapa korespondensi
satu-satu yang dapat terbentuk.
 Operasi sikel
 Tertutup, asos, unkes, invers, grup permutasi
 Sikel  transposisi
 Sikel  inversnya
1. Perhatikan tabel Cayley berikut.
* a b c d
a a b c d
b b d a c
c c a d b
d d c b a
a. Apakah tertutup? Jelaskan
b. Apakah ada unkes kiri? Jelaskan
c. Apakah ada unkes kanan? Jelaskan
d. Apakah ada unkes? Jelaskan
e. Apakah komutatif? Jelaskan
f. Apakah berupa semigrup? Jelaskan
g. Apakah berupa monoid? Jelaskan
h. Apakah berupa grup? Jelaskan
i. Apakah memenuhi pencoretan ki? Ka? Jelaskan
j. Apakah memenuhi pers ki? Ka? Jelaskan
k. Apakah berupa kuasigrup? Jelaskan
l. Apakah berupa loop? Jelaskan
m. Apakah grup-periodik? Aperiodik? Camp?
Jelaskan
n. Apakah grup siklis? Cari generatornya dan jelaskan.
2. P(A) = himpunan kuasa dari A dengan operasi .
a. Apakah grupoid? Jelaskan.
b. Apakah semigrup? Jelaskan.
c. Apakah monoid? Jelaskan.
d. Apakah grup? Jelaskan.
e. Cari order grup
f. Cari order tiap elemennya
3. a. Buktikan dengan aljabar himpunan (tidak dengan
diagram Venn) bahwa operasi irisan pada himpunan
berdistributif terhadap operasi selisih simetri. Dengan
kata lain, buktikan bahwa: A(BC) = (AB)  (AC).
b. Apa yang membedakan bilangan rasional dan
irasional bila keduanya dituliskan dalam bentuk
desimal? Berikan penjelasan dan contohnya.
c. Carilah FPB dari 280 dan 324 dengan metode Euclid
d. Nyatakan FPB soal (c) di atas sebagai kombinasi
linier dari 280 dan 324
e. x adalah suatu bilangan cacah yang bersifat sebagai
berikut.
Bila x dibagi dengan 3 akan bersisa 0. Bila x dibagi
dengan 5 akan bersisa 2. Bila
x dibagi dengan 7
akan bersisa 4. Carilah x.
f. Lakukan dekripsi sandi berikut yang semula
dienkripsikan dengan formula (p+3) (mod 26):
“DW WKH SDUN WKLV PLGQLJKW”
4.
a. Tuliskan dengan sandi A dan N: {~(p  ~q)  ~r}  ~s
b. Tuliskan dengan irisan dan negasi: AAANpNqrs
c. Apakah pernyataan “x y bilangan bulat berlaku
x+y=7” sama dengan pernyataan “x y bilangan
bulat berlaku x+y=7”. Jelaskan.
d. Buktikan dengan induksi matematika:
e. Buktikan (tanpa menyebutkan contoh) bahwa relasi
kongruensi modulo 3 adalah relasi ekuivalen.
f. Misalkan paling banyak ada 7 record mahasiswa.
Definisikan suatu fungsi Hash dari himpunan NIM ke
himpunan {0,1,2,3,4,5,6} sebagai berikut: h(n) = n
(mod 7) untuk setiap NIM=n.
Tempatkan NIM 356-63-3102, NIM 513-40-8716, NIM
223-79-9061, NIM 328-34-3419 dalam memori
komputer. Posisi berapa sajakah?
Misalkan akan disimpan NIM 908-37-1011, posisi
berapakah ini?
5.
Perhatikan definisi operasi * pada himpunan {a, b, c, d}
berikut ini.
* a b c d
a b c d e
b c d a b
c d a b c
d a b c d
a. Apakah operasi ini tertutup? Jelaskan.
b. Apakah ada unsur kesatuannya baik kiri maupun
kanan? Jelaskan
c. Apakah operasi * komutatif? Jelaskan.
d. Apakah berlaku hukum pencoretan dalam hal ini?
Jelaskan.
e. Apakah setiap persamaan kiri dan kanan dapat
dipecahkan? Jelaskan
f. Apakah sistem ini merupakan semigrup? Jelaskan
g. Apakah sistem ini merupakan monoid? Jelaskan
h. Apakah sistem ini merupakan grup? Jelaskan
6.
Diketahui B = {0, 1, 2, 3} dengan operasi jumlah modulo
4.
a. Apakah sistem ini merupakan kuasigrup? Jelaskan
b. Apakah sistem ini merupakan loop? Jelaskan
c. Apakah sistem ini merupakan grup? Jelaskan
d. Berapakah order sistem ini? Jelaskan
e. Berapakah order setiap elemennya? Jelaskan
f. Apakah dalam sistem ini setiap persamaan kiri dan
kanan dapat dipecahkan? Jelaskan.