semigrup dan penerapannya pada persamaan

–SEMIGRUP DAN PENERAPANNYA PADA
PERSAMAAN FOKKER-PLANCK
Fira Fitriah
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Pada artikel ini dibahas teori
–Semigrup dan penerapannya untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Keluarga atas operator linear terbatas dapat membentuk suatu semigrup atas operator linear terbatas. Semigrup atas operator
linear terbatas dapat dikategorikan menjadi –Semigrup dan semigrup kontinu seragam. –Semigrup beserta generator
yang berkaitan dengannya dalam suatu aljabar Lie dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam
penyelesaian persamaan diferensial, generator bertindak sebagai basis aljabar Lie. Pada bagian akhir, persamaan FokkerPlanck yang berupa persamaan diferensial parsial diselesaikan dengan memanfaatkan –Semigrup.
Kata Kunci: aljabar Lie,
–Semigrup, operator linear terbatas, persamaan Fokker-Planck.
1. PENDAHULUAN
Semigrup didefinisikan sebagai suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi
biner yang memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Semigrup dapat didefinisikan secara lebih khusus
untuk suatu operator linear terbatas.
Penyelesaian persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai hasil kali bentuk eksponensial.
Persamaan evolusi linear berupa persamaan diferensial dapat dianalisis menggunakan semigrup
kontinu kuat yang disebut sebagai –Semigrup. Salah satu contohnya yaitu penyelesaian persamaan
Fokker-Planck dengan memanfaatkan –Semigrup. (Wei dan Norman, 1964; Engel dan Nagel, 1999;
Lemos dan Moura 2004).
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
2.1
–SEMIGRUP
Definisi 1. Misalkan adalah ruang Banach. Suatu klas
linear terbatas pada disebut –Semigrup jika:
1)
( adalah operator identitas di )
2)
3)
memenuhi kondisi:
{ }
terdiri dari operator-operator
(Engel dan Nagel, 1999)
Contoh 1. Diberikan
yaitu himpunan semua fungsi
memiliki turunan pertama kontinu dalam domainnya.
suatu operator linear terbatas yaitu untuk setiap
:
(
)
{ } adalah suatu –Semigrup.
Definisi 2. Generator
operator yang didefiniskan oleh
yang terdefinisi untuk setiap
dari
–Semigrup { }
dengan domain
yang
adalah ruang Banach. Didefinisikan
pada ruang Banach
pada domain
{
merupakan
}
(Engel dan Nagel, 1999)
Contoh 2. Berdasarkan Contoh 1, generator
–Semigrup { }
adalah
.
57
]
adalah aljabar Lie yang dilengkapi dengan Lie bracket [
dan dapat diberikan dengan rumus eksplisit sebagai berikut.
[ [ ]] [ [ [ ]]]
[ ]
Lemma 1. Misalkan
maka
Jika
(Wei dan Norman, 1964)
Bukti: Ambil
dengan memanfaatkan ekspansi deret taylor di sekitar titik
(
) (
)
(
)
Berdasarkan Lie bracket untuk
diperoleh
(
)
diperoleh
[
]
[ [
[ [ [
]]
]]]
Diketahui adalah ruang vektor sehingga berlaku sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
dengan skalar. Untuk sebarang
maka [ ]
sehingga jelas bahwa
■
Lemma 2. Misalkan
⟨
⟩ ∑
adalah suatu aljabar Lie dan
adalah suatu basis untuk
dengan
adalah skalar maka
(∏
sampai
)
di mana
adalah suatu skalar.
(∏
)
dengan
∑
adalah suatu fungsi analitik dari
sampai
dengan
(Wei dan Norman, 1964)
Bukti: Memperhatikan Lemma 1 diperoleh
(∏
)
(∏
Setiap elemen pada
)
(
) (
)
dapat dibentuk sebagai kombinasi linear dari basis pada
(∏
)
(∏
Memperhatikan Lemma 1 untuk
)
sehingga diperoleh
∑
diperoleh
∑
[
dengan
∑
]
[
[
]] dan seterusnya. Oleh karena itu diperoleh
(
Didefinisikan
)
(
(
))
(
(
))
|
|
(
Memanfaatkan uji rasio diperoleh bahwa ∑
karena itu,
analitik. ■
maka untuk sebarang diperoleh
)
∑
konvergen maka
.
juga konvergen. Oleh
58
Theorema 1. Misalkan
didefinisikan sebagai berikut:
∑
dengan
adalah fungsi skalar atas waktu dan
adalah operator. Misalkan suatu aljabar Lie
dibangun oleh
dalam dimensi hingga . Terdapat persekitaran atas
di mana solusi dari
persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk
dengan
adalah fungsi skalar atas waktu.
(Wei dan Norman, 1964)
Bukti: Tulis kembali bentuk
menjadi
(∑
)
∑
Selanjutnya, kedua ruas dikalikan dengan
∑
(∏
∏
)
sehingga diperoleh
∑
(∏
∏
)
Memperhatikan Lemma 2 diperoleh
∑
∑∑
Operator
merupakan basis aljabar Lie, sehingga
diperoleh sebuah hubungan linear antara
dan
[
adalah fungsi analitik dari
Diketahui
]
][
[
] adalah sebuah fungsi analitik.
maka diperoleh:
[
adalah fungsi analitik di
sehingga solusi
Oleh karena itu
]
maka determinan [
dan syarat awal
dan determinan pada saat
sebuah persekitaran
dari
bebas linear untuk
sebagai berikut:
]
tidak sama dengan nol. Fakta ini memperlihatkan bahwa terdapat
sehingga
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat sebuah persekitaran dari
ada dan tunggal. ■
2.2 PERSAMAAN FOKKER-PLANCK
Bentuk umum persamaan Fokker-Planck sebagai berikut.
(1)
dengan kondisi awal
dan kondisi batas
persamaan Fokker-Planck diselesaikan untuk kasus
fungsi
yang memiliki turunan kontinu pada domain
didefinisikan generator
dan sebagai berikut
(
)
untuk setiap
. Dalam hal ini,
Misalkan adalah himpunan seluruh
. merupakan ruang Banach dan
(
)
59
Diasumsikan bahwa
adalah
maka persamaan (1) dapat ditulis sebagai
(2)
Diasumsikan bahwa
didefinisikan sebagai
adalah basis aljabar Lie yang dilengkapi dengan Lie bracket yang
[
]
maka dapat diperoleh
[
]
]
,[
,[
Diasumsikan solusi persamaan (2) dapat ditulis sebagai
untuk memperoleh
sehingga diperoleh
(
dan
)
Berdasarkan Lemma 2,
]
(3)
maka persamaan (3) diturunkan terhadap variabel
(
)
(4)
dapat ditulis sebagai
Oleh karena itu, persamaan (4) dapat ditulis sebagai
(
Memperhatikan persamaan (2) maka diperoleh
(
sehingga
dengan syarat awal
diperoleh
)
)
Berdasarkan syarat awal yang diberikan maka
dan
Oleh karena itu, persamaan dapat ditulis sebagai
yang merupakan penyelesian umum
3. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang telah dipaparkan dapat disimpulkan bahwa
1. Dengan memanfaatkan Teorema 1 dapat dibangun suatu
–Semigrup dan generator yang
berkaitan dengan –Semigrup guna menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Syarat yang harus
dipenuhi oleh suatu generator telah tercantum dalam Teorema 1.
2. Penyelesaian persamaan Fokker-Planck untuk kasus
adalah
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Ibu Ari Andari, Bapak Abdul Rouf Alghofari, Bapak Bambang
Sugandi, dan Bapak Marsudi atas segala bimbingan, kritik, serta saran yang diberikan selama
penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Engel, K. dan Nagel, R., (1999), One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations,
Springer, New York.
Lemos, J.M. dan Moura, J.M.F., (2004), Time sampling of diffusion systems using semigroup
decomposition methods. In: MTNS (2004), 16th Int. Symp. on Mathematical Theory of
Networks and Systems, Leuven, Belgium.
Wei, J. dan Norman, E., (1964), On Global Representation of The Solution of Linear Differential
Equation as A Product of Exponentials, Proceedings of the American Mathematical Society, 15,
hal. 327-334.
60