Sistem Aljabar Satu Operasi – Matematika Informatika 3 Halaman 1

Catatan Kuliah 2IA01, Rabu 5 Oktober 2016
Definisi
Misalkan S adalah himpunan yang tidak kosong dan * adalah operasi biner yang terdefinisi
di S.
S disebut tertutup terhadap operasi biner *, jika untuk ∀ a, b ∈ S, maka a*b ∈ S.
Contoh:
a. Pada sistem aljabar (Z, +), himpunan Z (bilangan bulat) tertutup terhadap operasi +
(penjumlahan), sebab untuk ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z. Artinya hasil penjumlahan setiap
pasang bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga.
b. Pada sistem aljabar (Gj, +), himpunan Gj (bilangan ganjil) tidak tertutup terhadap
operasi + (penjumlahan), sebab untuk 3 ∈ Gj dan 1 ∈ Gj, hasil penjumlahan mereka
yaitu
3+1 = 4 ∉ Gj, yaitu 4 bukan merupakan bilangan ganjil lagi.
Definisi
Misal S himpunan yang tidak kosong, dan * operasi biner yang terdefinisi di S
-
(S,*) disebut SEMIGRUP
Jika S tertutup terhadap operasi * dan * bersifat asosiatif
(S,*) disebut MONOID
Jika (S,*) merupakan semigrup dan * memiliki elemen identitas e ∈ 𝑆 untuk ∀𝑎 ∈ 𝑆
(S,*) disebut GRUP
Jika (S,*) merupakan monoid dan memiliki invers. 𝑎−1 ∈ 𝑆, untuk ∀𝑎 ∈ 𝑆.
Contoh 1:
Sistem aljabar (Z,+) merupakan SEMIGRUP, karena
1. Z ≠ ∅, karena 1 ∈ Z
artinya “himpunan bilangan bulat adalah tidak kosong, sebab ada 1 di dalamnya”
2. Z tertutup terhadap operasi +, karena untuk ∀ a,b ∈ Z, maka a+b ∈ Z
Artinya “himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan, sebab
penjumlahan setiap pasang bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga.”
Sistem Aljabar Satu Operasi – Matematika Informatika 3
Halaman 1 dari 3
Catatan Kuliah 2IA01, Rabu 5 Oktober 2016
(sambungan dari yang error)
Sistem Aljabar
(Z, +)
(N, +)
(N, x)
(Z, x)
(Gj, +)
Semigrup
Monoid
√
√
√
√
×
Grup
√
×
√
√
×
√
×
×
×
×
Contoh:
Misalkan Z3 adalah himpunan modulo 3, Z3 = {0,1,2}
Operasi ⊕ didefinisikan sebagai
𝑎 + 𝑏, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 + 𝑏 < 3
a⊕b={
𝑎 + 𝑏 − 3, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 + 𝑏 ≥ 3
untuk ∀a, b ∈ Z3.
Atau hasil-hasil operasi ini jika didaftarkan dalam bentuk tabel:
⊕
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Apakah (Z3, ⊕) merupakan suatu grup?
Jawab:
1. Z3 tidak kosong, karena 0 ∈ Z3
2. Dari tabel, terlihat bahwa Z3 tertutup terhadap operasi ⊕
3. Apakah ⊕ bersifat asosiatif?
- Jika a ⊕ b = a + b, maka ⊕ bersifat asosiatif, karena penjumlahan biasa bersifat
asosiatif
- Jika a ⊕ b = a + b – 3 , maka untuk setiap a, b, c ∈ Z3
(a ⊕ b) ⊕ c = (a + b – 3) ⊕ c = (a + b – 3 + c – 3) = a + b + c – 6
a ⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b + c – 3) = (a + b + c – 3 – 3) = a + b + c – 6
(sama)  ⊕ asosiatif
4. Apakah ⊕ memiliki elemen identitas?
Ya, pada tabel terlihat bahwa elemen identitas adalah e = 0 ∈ Z3.
5. Apakah untuk setiap a anggota Z3, terdapat invers dari a yaitu a-1 yang juga anggota
Z3?
Ya, ditunjukkan dengan tabel berikut
Sistem Aljabar Satu Operasi – Matematika Informatika 3
Halaman 2 dari 3
𝑎 𝑎−1
0 0
1 2
2 1
Kesimpulan: (Z3, ⊕) adalah suatu GRUP.
Soal Latihan:
Tentukan apakah sistem Aljabar berikut ini adalah grup atau bukan.
1. (M22, +)
M22 = himpunan semua matriks bernilai real, ukuran 2x2
+ adalah penjumlahan matriks
- Apakah M22 himpunan tidak kosong?
0 0
Ya, karena [
] ∈ 𝑀22 , sebab 0 ∈ ℝ
0 0
- Apakah himpunan M22 tertutup terhadap operasi + ?
Ya, M22 tertutup terhadap operasi +, karena
Misal A ∈ M22, B ∈ M22,
𝑝 𝑞
𝑎 𝑏
Maka A = [
], a, b, c, d ∈ ℝ dan B = [
], p, q, r, s ∈ ℝ
𝑟 𝑠
𝑐 𝑑
𝑎+𝑝 𝑏+𝑞
A+B=[
], a+p, b+q, c+r, d+s ∈ ℝ, sehingga karena
𝑐+𝑟 𝑑+𝑠
A + B (juga) merupakan matriks ukuran 2x2 dan
Anggota-anggotanya merupakan bilangan real, maka A + B ∈ ℝ.
- Apakah + bersifat asosiatif di M22? Ya, karena penjumlahan di Matriks selalu bersifat
asosiatif.
- Apakah + memiliki elemen identitas e di M22? Siapa e nya?
0 0
Ya, memiliki, e = [
] ∈ 𝑀22
0 0
- Apakah untuk setiap anggota M22 memiliki invers yang juga ada di M22?
𝑎 𝑏
Ya, misal A ∈ 𝑀22 , maka A = [
], a, b, c, d ∈ ℝ sehingga
𝑐 𝑑
−𝑎 −𝑏
A-1 = [
], -a, -b, -c, -d ∈ ℝ
−𝑐 −𝑑
Dengan perkataan lain, A-1 = -A.
Kesimpulan: ya, Sistem Aljabar (M22, +) adalah suatu GRUP.
2. (M22, x)
M22 = himpunan semua matriks bernilai real, ukuran 2x2
x adalah operasi perkalian matriks
Kerjakan sebagai bagian dari tugas
Sistem Aljabar Satu Operasi – Matematika Informatika 3
Halaman 3 dari 3