Pembuktian - Binus Repository

Pembuktian
Dalam Matematika
Tujuan
• Mahasiswa akan dapat
pernyataan matematika
membuktikan
Cakupan
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Pembuktian Langsung
Pembuktian Tidak Langsung
Vacuous Proof
Trivial Proof
Bukti dengan kontradiksi
Bukti per kasus
Bukti biimplikasi
Bukti ekuivalensi
Bukti dengan counter example
Bukti dengan induksi
Jenis-jenis Pembuktian
1. Pembuktian langsung
• Contoh: Jika x bilangan genap, maka x2
bilangan genap.
2. Pembuktian tidak langsung.
• p  q  ~q  ~p
• Implikasi
bernilai
sama
dengan
kontrapositifnya.
• Contoh: Jika (3n+2) adalah ganjil, maka
n juga ganjil.
3. Vacuous Proof
• p  q selalu benar jika p bernilai salah.
• Contoh: P(n) : “Jika n > 1 maka n2 > n”.
Buktikan P(0) bernilai benar.
4. Trivial Proof
• p  q selalu benar jika q bernilai benar.
• Contoh: P(n): “Jika a dan b bilanganbilangan bulat positif dengan a  b, maka
an  bn”. Buktikan P(0) bernilai benar.
5. Bukti dengan kontradiksi
• ~p  q adalah benar dan q bernilai
salah, maka ~p bernilai salah dan p
bernilai benar.
• Contoh: Jika (3n+2) merupakan bilangan
ganjil, maka n juga ganjil.
6. Bukti per kasus
• Untuk membuktikan (p1  p2  p3  … 
pn)  q, buktikan p1q, p2q, p3q,
…., pnq.
• Contoh: Jika n bilangan bulat yang tak
habis dibagi 3, maka n2  1(mod 3)
7. Bukti biimplikasi
• p  q  (p q)  (qp)
• Contoh: Bilangan bulat n ganjil jika dan
hanya jika n2 juga ganjil.
8. Bukti ekuivalensi
• Untuk membuktikan p1, p2, p3, …, pn
adalah ekuivalen, buktikan implikasi
p1p2, p2p3, p3p4, …., pnp1.
• Contoh: Buktikan ketiga pernyataan
berikut ekuivalen:
– n2=9
– n2 – 9 =0
– n=3
9. Bukti dengan counter example.
• Untuk membuktikan x, p(x) bernilai
salah, cari sebuah elemen a, sedemikian
sehingga p(a) bernilai salah. Elemen ini
disebut counter example.
• Contoh: Untuk setiap bilangan cacah n,
berlaku n2 > n. Benarkah pernyataan ini?
10. Bukti dengan Induksi Matematika
•
Ada 3 langkah:
–
–
–
•
buktikan benar untuk n=1
asumsikan benar untuk n=k
buktikan benar untuk n=k+1
Bukti dengan induksi matematika analog
dengan cara orang menyebarkan gosip atau
dengan sekumpulan kartu domino berdiri yang
didorong.
Contoh:
•
–
–
–
Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2
Buktikan 12 + 22 + 32 +… + n2 = 1/6.n(n+1)(2n+1)
Buktikan (72n+1 – 22n+1) habis dibagi 5
Penutup
– Pembuktian dalam matematika terdiri dari
beberapa metode, seperti: Pembuktian
Langsung, Pembuktian Tidak Langsung,
Vacuous Proof, Trivial Proof, Bukti dengan
kontradiksi, Bukti per kasus, Bukti biimplikasi,
Bukti ekuivalensi, Bukti dengan counter
example, Bukti dengan induksi