METODA PEMBUKTIAN Presentasi

METODA PEMBUKTIAN DALAM
MATEMATIKA
BUKTI adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan
kebenaran suatu pernyataan/proposisi.
Acuan dalam pembuktian : Aturan Logika matematika
Mengapa perlu membuktikan ?
1. To establish a fact with certainty
2. To gain understanding
3. To communicate an idea to others
4. For the challenge
5. To create something beautiful
6. To construct a large mathematical theory
BEBERAPA METODA PEMBUKTIAN :
1. BUKTI LANGSUNG
Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan
berbentuk implikasi 𝑝 → 𝑞 dimana diketahui 𝑝 TRUE. Jadi
cukup ditunjukkan 𝑞 TRUE.
CONTOH: Buktikan jika 𝑥 ganjil maka 𝑥 2 ganjil.
BUKTI: Di sini 𝑝: 𝑥 ganjil, jadi dapat disajikan sebagai
𝑥 = 2𝑛 − 1 untuk suatu bilangan bulat 𝑛. Selanjutnya
dengan fakta ini dibuktikan kebenaran pernyataan
𝑞: 𝑥 2 ganjil. Diperhatikan
(2𝑛2 + 2𝑛) + 1
𝑥 2 = (2𝑛 − 1)2 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 = 2 ⏟
𝑚
= 2𝑚 + 1.
Bentuk terakhir ini menunjukkan bahwa 𝑥 2 juga ganjil. BUKTI
SELESAI.
2. BUKTI KOSONG
Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan
berbentuk implikasi 𝑝 → 𝑞 dimana diketahui 𝑝 FALSE. Karena
itu secara otomatis implikasi 𝑝 → 𝑞 TRUE. Jadi cukup
dijelaskan mengapa 𝑝 FALSE.
CONTOH: Buktikan himpunan kosong merupakan himpunan
bagian dari himpunan apapun.
BUKTI: Sebelumnya kita merujuk pada definisi himpunan
bagian sbb:
𝐴 ⊂ 𝐵 ↔ [𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵], yakni
Jika kondisi 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 maka disimpulkan 𝐴 ⊂ 𝐵.
Sekarang misalkan 𝐴 = ∅ dan B sebarang himpunan, dan
diperhatikan bahwa pernyataan: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 selalu TRUE
sebab pernyataan 𝑥 ∈ 𝐴 selalu FALSE.
3. BUKTI TRIVIAL
Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan
berbentuk implikasi 𝑝 → 𝑞 dimana diketahui 𝑞 TRUE. Jadi
apapun nilai 𝑝, implikasi 𝑝 → 𝑞 selalu TRUE.
CONTOH: Buktikan: Jika 0 < 𝑥 < 1 maka
𝑥 2 +1
|𝑥|+1
> 0.
BUKTI: Krn pernyataan 𝑞:
𝑥 2 +1
|𝑥|+1
> 0 selalu TRUE maka
pernyataan ini selalu TRUE.
4. BUKTI DENGAN KONTRADIKSI
Digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan dengan
cara pertama kali mengingkari konklusinya, kemudian
menemukan kontradiksi.
CONTOH: Misalkan 𝐴 ≔ [0, 1). Buktikan maksimum A tidak
ada.
BUKTI: Andai maksimum A ada, katakana maks A = p. Maka
𝑝
1
1
haruslah 0 < 𝑝 < 1, dan akibatnya < dan (𝑝 + 1) < 1.
2
2
2
Diperoleh:
𝑝
𝑝
𝑝
1
1
𝑝 = + < + = ⏟(𝑝 + 1) < 1.
2
2
2
2
2
𝑞
Diperoleh 2 pernyataan berikut:
1. 𝑝 nilai maksimum 𝐴, yaitu nilai terbesar A.
1
2. Ada 𝑞 ∈ 𝐴, yaitu 𝑞 = (𝑝 + 1) dan 𝑞 > 𝑝.
2
Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian bahwa
maksimum 𝐴 ada tidaklah benar. BUKTI SELESAI.
CONTOH: Buktikan bahwa paling sedikit 4 dari 22 hari
sebarang jatuh pada hari yang sama dalam sepekan.
BUKTI: Di sini kesimpulannya adalah berupa pernyataan
𝑝: “paling sedikit 4 hari adalah sama” .
ANDAI: kesimpulan ini tidak benar, yakni “paling banyak 3
hari yang sama”. Karena ada 7 hari berbeda dalam satu
minggu maka secara total akan terdapat paling banyak
3 x 7 = 21 hari. Ini kontradiksi dengan fakta ada 22 hari yang
dipilih. BUKTI SELESAI.
CONTOH: BUktikan √2 bilangan irrasional.
5. BUKTI EKSISTENSIAL/KEUJUDAN
Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan yang
berbentuk kuantor eksistensial. Ada 2 macam bukti
eksistensial, yaitu konstruktif (bentuknya dapat dilihat) dan
non-konstruktif (bentuknya tidak dapat dilihat).
CONTOH: (Konstruktif) Buktikan ada bilangan bulat yang
dapat ditulis sebagai jumlah pangkat tiga bilangan bulat
positif dalam dua cara.
BUKTI: Ambil bilangan 1729, maka dapat ditulis
1729 = 103 + 93 = 123 + 13 .
CONTOH: (non-konstruktif) Buktikan ada bilangan irrasional
𝑥, 𝑦 sehingga 𝑥 𝑦 rasional.
BUKTI: Telah dibuktikan bahwa √2 irrasional. Diperhatikan
√2
bilangan (√2) . Bila ternyata (√2)
√2
rasional maka bukti
selesai, yaitu 𝑥 = 𝑦 = √2. Sebaliknya, bila (√2)
√2
√2
maka berlaku ((√2) )
√2
irrasional
2
= (√2) = 2 suatu bil rasional.
Untuk kasus ini diambil 𝑥 = (√2)
√2
dan 𝑦 = √2. ∎
7. BUKTI DENGAN BUKTI PENGINGKARAN
(CONTER-EXAMPLE)
Kadangkala dapat digunakan untuk menunjukkan ketidakbenaran pernyataan yang berbentuk kuantor universal.
Prinsip: pernyataan ∀𝑥, 𝑃(𝑥) bernilai FALSE bilamana ditemukan paling sedikit 𝑥 yang membuat 𝑃(𝑥) tidak benar.
CONTOH: Buktikan bahwa pernyataan “Setiap bil bulat positif
merupakan jumlah kuadrat tiga bil bulat” adalah FALSE.
BUKTI: Kita coba beberapa kasus sbb
1 = 02 + 02 + 12 , 2 = 02 + 12 + 12 , 3 = 12 + 12 + 12 ,
4 = 02 + 02 + 22 , 5 = 02 + 12 + 22 , 6 = 12 + 12 + 22 .
Dari beberapa contoh ini, ada dugaan pernyataan di atas
TRUE. Tapi coba perhatikan bilangan 7. Apakah anda dapat
menuliskan 7 sebagai jumlah kuadrat 3 bil bulat lainnya
seperti di atas? Bilangan kuadrat yang memungkinkan (tidak
melebih 7) adalah 0, 1, 4. Kombinasi (boleh berulang) dari
ketiga bil ini tidak akan menghasilkan 7. Jadi 7 adalah contoh
pengingkaran (counter example), sehingga pernyataan di atas
FALSE. ∎
8. BUKTI DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
Misalkan 𝑃(𝑛) pernyataan tentang 𝑛 dimana 𝑛 berjalan pada
himpunan bil asli N atau subsetnya. Kebenaran 𝑃(𝑛)
bergantung dari nilai 𝑛 yang diberikan.
Misalkan ada pernyataan :
𝑛
𝑃(𝑛): 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = (𝑛 + 1)
2
Maka 𝑃(1): 1 =
1
2
2
(1 + 1), 𝑃(2): 1 + 2 = (2 + 1),
3
2
𝑃(3): 1 + 2 + 3 = (3 + 1)
kesemuanya
memberikan
2
pernyataan yang TRUE. Namun untuk membuktikan bahwa
proposisi ini TRUE untuk setiap bil asli 𝑛 harus menggunakan
metoda induksi matematika.
PRINSIP INDUKSI:
Bila S himpunan bagian dari N dengan sifat-sifat:
(i)
1∈𝑆
(ii)
𝑘 ∈𝑆 →𝑘+1∈𝑆
Maka haruslah S=N.
METODA INDUKSI MATEMATIKA:
Misalkan diberikan fungsi proposisi 𝑃(𝑛), 𝑛 ∈ 𝑁. Bila
(i)
P(1) TRUE
(ii)
𝑃(𝑘 ) → 𝑃(𝑘 + 1) TRUE
Maka P(n) TRUE untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁.
CONTOH: BUktikan 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁.
BUKTI:
1
(i) P(1): 1 = (1 + 1) TRUE
2
(ii) Diketahui P(k) TRUE, yaitu
𝑘
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = (𝑘 + 1)
2
Diperhatikan P(k+1):
𝑛
2
(𝑛 + 1) berlaku
𝑘
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)
⏟
2
𝑘
2
(𝑘+1)
=
𝑘+1
2
(𝑘 + 2)
yakni P(k+1) TRUE. Jadi P(n) berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁.