tabel kebenaran proposisi gabungan

TABEL KEBENARAN
• Logika hanya berhubngan dengan bentukbentuk logika dari argumen-argumen, serta
penarikan kesimpulan tentang validitas dari
argumen tersebut.
• Logika tidak mempermasalahkan arti
sebenarnya dari pernyataan tersebut, ataupun
isi dari pernyataan.
– Binatang mempunyai 2 mata
– Manusia mempunyai 2 mata
– Dengan demikian, binatang sama dengan manusia
Perangkai Logika
Terdapat 5 perangkai logika, yaitu :
• And (dan)
• Or (atau)
• Not (tidak)
• If…then…/implies (jika…maka)
• …If and only if… (…jika dan hanya jika…)
Contoh 3-3
Jika hari hujan, maka Badu basah kuyub
Contoh 3-4
Badu menangkap bola dan menendangnya
Badu menendang bola dan menangkapnya
KONJUNGSI ()
• Pada TK And, hanya ada satu nilai True jika pasangan tersebut
keduanya bernilai True
DISJUNGSI (V)
Pada TK OR, bernilai False jika nilai keduanya
bernilai False
DISJUNGSI (V)
• Saya berada di Malang atau Surabaya
Exclusive or, karena tidak mungkin berada di dua
tempat dalam waktu yang bersamaan.
“atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”.
• Kamu memilih pizza atau hamburger
Inclusive or, karena masih mungkin memili salah satu
atau bahkan keduanya.
“atau” berarti “p atau q atau keduanya”
Exclusive OR
Operator logika disjungsi eksklusif: xor
Notasi: 
Tabel kebenaran:
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
NEGASI (~)
• Negasi hanya kebalikan dari nilai variabel
proposisional yang dinegasinya.
Example
Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi majemuk (p  q) 
(~q  r).
p
q
r
pq
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
~q ~q  r (p  q)  (~q  r)
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
IMPLIKASI
• Bentuk proposisi: “jika p, maka q”
• Notasi: p  q
• P : hipotesis, antesenden, premis, atau
kondisi
• Q : consequent
• Implikasi adalah pengkondisian satu
kemungkinan saja dari sebab dan akibat
IMPLIKASI
Cara-cara mengekspresikan implikasi p  q:
• Jika p, maka q
Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
• Jika p, q
Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
• p mengakibatkan q
(p implies q)
Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut
naik.
• q jika p
Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
IMPLIKASI
• p hanya jika q
Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya
jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
• p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup
(sufficient condition) )
Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari
rokok.
• q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu
(necessary condition) )
Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan
mengontrak pemain asing kenamaan
• q bilamana p
(q whenever p)
Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
IMPLIKASI
Ubahlah proposisi ketiga sampai keempat pada Contoh di atas ke
dalam bentuk proposisi “jika p maka q”
Penyelesaian:
• Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
• Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
• Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka
ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
IMPLIKASI
• Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api dari
rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin
meledak” atau “Jika api memercik dari rokok maka pom
bensin meledak”
• Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak
pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia
agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia
maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”.
• Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
IMPLIKASI
P
Q
PQ
True
True
True
True
False
False
False
True
True
False
False
True
IMPLIKASI

Hanya ada satu nilai False dari TK Implikasi,
yaitu jika P bernilai T dan Q bernilai F.
IMPLIKASI
Dosen: “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk
kuliah ini”.
Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau dia berbohong? Tinjau empat kasus
berikut ini:
Kasus 1: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai A untuk
kuliah tersebut(konklusi benar).
 pernyataan dosen benar.
Kasus 2: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat nilai A
(konklusi salah).
 dosen berbohong (pernyataannya salah).
Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat nilai A
(konklusi benar).
 dosen anda tidak dapat dikatakan salah (Mungkin ia melihat kemampuan anda secara ratarata bagus sehingga ia tidak ragu memberi nilai A).
Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidak mendapat nilai A
(konklusi salah).
 dosen anda benar.
IMPLIKASI

Perhatikan bahwa dalam implikasi yang
dipentingkan nilai kebenaran premis dan
konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat
diantara keduanya.

Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipun
secara bahasa tidak mempunyai makna:
“Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis”
“Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan”
IMPLIKASI
Tunjukkan bahwa p  q ekivalen secara logika
dengan ~ p  q.
Penyelesaian:
p
q
~p
pq
~pq
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
 “Jika p, maka q”  “Tidak p atau q”.
IMPLIKASI
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang
pertama mengumbar moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua
mempunyai moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut
menyatakan hal yang sama?
Penyelesaian:
p : Barang itu bagus
q : Barang itu murah.
Moto pedagang pertama: “Jika barang itu bagus maka barang itu tidak murah”
atau p  ~ q
Moto pedagang kedua: “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus”
atau q  ~ p.
p
q
~p
~q
p~q
q~p
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
 p  ~ q  q  ~ p.
 Kedua moto tersebut menyatakan hal yang sama.
EKUIVALENSI
P
Q
PQ
True
True
True
True
False
False
False
True
False
False
False
True
EKUIVALENSI
• Nilai Ekuivalensi mempunyai nilai T jika
pasangan A dan B bernilai sama, baik T
maupun F, jika pasangan berbeda, nilainya
pasti F
• Perangkai Ekuivalensi disebut biconditional
karena ia mengkondisikan dua ekspresi logika
• Tunjukkan bahwa p  q ekivalen secara logika dengan (p  q)  (q  p).
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
F
T
pq
T
F
T
T
qp
T
T
F
T
(p  q)  (q  p)
T
F
F
T
• Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p
maka q dan jika q maka p”.
Cara-cara menyatakan bikondisional p  q:
•
p jika dan hanya jika q.
Bandung terletak di Jawa Barat jika dan hanya jika Jawa Barat
adalah sebuah propinsi di Indonesia.
•
p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah
kelembaban udara tinggi.
•
Jika p maka q, dan sebaliknya.
Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan
sebaliknya.
Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika
q”:
(a) Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika
anda membeli es krim maka udara di luar panas.
(b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan
adalah anda melakukan banyak latihan.
(c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya
koneksi jika anda naik jabatan.
(d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu
sebaliknya.
(e) Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya
membutuhkannya.
Penyelesaian:
(a) Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.
(b) Aanda memenangkan pertandingan jika dan hanya jika anda
melakukan banyak latihan.
(c) Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.
(d) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.
(e) Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya
membutuhkan kereta hari itu.