invers matriks

MATRIKS
DEFINISI MATRIKS :
Matriks adalah sekumpulan bilangan riil atau
bilangan kompleks yang disusun menurut baris
dan kolom sehingga membentuk jajaran (array)
persegi panjang
UKURAN MATRIKS :
Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom
disebut matriks m x n atau matriks berorde mxn
Matriks dinyatakan dalam bentuk :
banyaknya baris dan banyaknya kolom
Contoh Matriks orde m x n :
Amxn
 a11

 a21
  ...

 ...
a
 m1
a12
a22
...
...
am 2
...... a1n 

...... a2 n 
...
... 

...
... 

... amn 
1
2


7
0
5

1

2
1

0
4
0


0
3
3
9
3
matriks 3 x 2
1
2

matriks 2 x 3
1
2

3

matriks 3 x 3
Ciri-ciri matriks :




Matriks dituliskan dalam huruf kapital Bold
Matriks ditandai dengan simbol ( “ [aij]”)
Notasi 2 indeks suatu elemen matriks am x n
merupakan elemen matriks yang terletak
pada baris ke - m dan kolom ke - n
Elemen Matriks dituliskan dalam numerik
yang menyatakan suatu koefisien untuk
matriks baris dan matriks kolom dinyatakan
dengan huruf kecil tebal
Jenis-jenis Matriks
Matriks baris :
Suatu matriks yang terdiri dari satu baris.
Matriks kolom :
Suatu matriks yang terdiri dari satu kolom
Matriks berelemen tunggal :
Sebuah bilangan dapat di pandang sebagai
matriks berukuran 1 x 1,
yaitu matriks yang hanya mempunyai
1 baris dan 1 kolom saja.
Jenis – Jenis Matriks :
a. Matriks bujur sangkar : matriks yang
berorde m x m
b. Matriks Persegi panjang : matriks yang
berorde m x n
c. Matriks diagonal : matriks bujur sangkar
yang semua elemennya sama dengan nol,
kecuali elemen pada diagonal utamanya.
d. Matriks segitiga atas / segitiga bawah :
matriks bujur sangkar yang semua elemen
di bawah diagonal (segitiga atas) atau
dibawah diagonal (segitiga bawah) sama
dengan nol
Jenis – Jenis Matriks :
a. Matriks bujur sangkar : matriks yang
berorde m x m
b. Matriks Persegi panjang : matriks yang
berorde m x n
c. Matriks diagonal : matriks bujur sangkar
yang semua elemennya sama dengan nol,
kecuali elemen pada diagonal utamanya.
d. Matriks segitiga atas / segitiga bawah :
matriks bujur sangkar yang semua elemen
di bawah diagonal (segitiga atas) atau
dibawah diagonal (segitiga bawah) sama
dengan nol
e. Matriks Satuan / Identitas :
matriks diagonal yang semua elemen
diagonal utamanya sama dengan 1
1
0


0
0
1
0
0
0

1

0
atau 
0

1
0
1
0
1
0

0

f. Matriks nol :
matriks yang semua
elemennya sama dengan
nol.
0 0 0
0 0 0


0 0 0
Kesamaan Matriks


a
c

Menurut definisi dua buah matriks
dikatakan sama jika semua elemen
yang bersesuaian letaknya “sama”
Karena itu kedua matriks tersebut harus
berorde “sama”
b w


d  y
x

z
a=w
b=x
c=y
d=z
Penjumlahan & Pengurangan
Matriks :
Agar dua matriks dapat dijumlahkan dan
dikurangkan maka, orde kedua matriks
haruslah sama. Selanjutnya jumlah dan
selisihnya diperoleh dengan menambahkan
atau mengurangkan elemen - elemen yang
bersesuaian.
OPERASI ALJABAR
PADA MATRIKS
Hukum Komutatif Penjumlahan
A+B=B+A
Hukum Asosiatif Penjumlahan
A+(B+C)=(A+B)+C
Perkalian Matriks :


Perkalian dengan skalar :
Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan
pada masing - masing elemennya.
Perkalian dua buah matriks :
Dua buah matriks dapat dikalikan satu
terhadap yang lain apabila; banyaknya kolom
dalam matriks yg pertama sama dengan
banyaknya baris dalam matriks kedua
(B+C)=B+C
(+)C=C+C
()C=(C)=(C)
(BC)=(B)C=B(C)
Keterangan :
 dan  adalah bilangan skalar
Hukum Asosiatif Perkalian
A(BC)=(AB)C
Hukum Distributif
A ( B + C ) = AB + AC
( B + C ) A = BA + CA
Perkalian matriks (3x2) dengan matriks(2x4)
menghasilkan matriks berorde (3 x 4).
Secara umum, perkalian matriks (l x m)
dengan matriks (mxn) akan menghasilkan
matriks berode (l x n)
Suatu matriks hanya dapat dikuadratkan jika
matriks tersebut merupakan matriks bujur
sangkar.
Jika A adalah matriks (m x n),
dan B adalah matriks ( n x m ) ,
maka perkalian A.B dan B.A
keduanya mungkin dilakukan,
bila m = n.
Perkalian matriks A.B
 B.A .
Perkalian matriks tidak komutatif.
Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear;
Hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah
matriks kolom x adalah sebuah kombinasi linear
dari matriks-matriks kolom dari A dengan koefisien
- koefisien yang berasal dari matriks x.
Matriks Terpartisi;
Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi
matriks - matriks yang lebih kecil dengan
menyelipkan garis horizontal dan vertikal di antara
baris dan kolom yang ditentukan.
TRANSPOSE MATRIKS
Jika baris dan kolom suatu matriks
dipertukarkan.
Maksudnya :
Baris pertama menjadi kolom pertama,
Baris kedua menjadi kolom kedua,
Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dst.
Aturan-aturan Aljabar
untuk Transpose :
1.
2.
3.
4.
5.
( A T )T = A
( A )T =  AT , dengan  adalah skalar
( A + B )T = AT + BT
( AB ) T = BT AT
(AT)-1 =(A-1)T
INVERS MATRIKS
Misalkan A matriks bujur sangkar,
matriks B yang memenuhi
AB = BA = I , disebut sebagai
invers dari A.
Matriks A yang mempunyai invers
disebut sebagai matriks taksingular
atau invertible, sedangkan yang
tidak mempunyai invers disebut
matriks singular.
Contoh :
 1  3
A

  1 4
Matriks B merupakan invers dari
matriks A sebab berlaku AB = I
4 3
B

1 1
3 5
B

1
2


Adalah
invers
dari
1

3
4
3
1
0


 

AB  
.





1
4
1
1
0
1


 

 2  5
AB  I
A


1
3


4 3  1  3 1 0
BA  
.




1
1

1
4
0
1


 

BA  I
Simbol lain untuk menyatakan invers
dari matriks A adalah A-1
AA
1
I
1
A A I
Jika A dan B dua matriks tak
singular, maka :
(i). AB tak singular
(ii).AB = BA
Jika :
a
A
c
b

d
dan ad – bc  0 , maka
b 
 d
1  d  b  ad  bc ad  bc 
1
A 





c
a
ad  bc  c a  

 ad  bc ad  bc 


Jika A adalah sebuah matriks n x n yang
dapat dibalik, maka untuk setiap matriks
B yang berukuran n x 1 pada sistem
persamaan AX = B mempunyai persis satu
pemecahan yaitu X= A-1B
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan linier berikut
x1 + 2x2 + 3x3 =5
2x1 + 5x2 + 3x3 =3
x1
+ 8x3 =17
Carilah invers dari
1.
2.
1

A  2

1
1

A 2

 1
2
5
0
6
4
2
3

3
8

4

 1
5

1
A
2

3
4
5
6
0
0

0

b11 b12 b13 


B  b21 b22 b23 
b31 b32 b33 
Adalah bukan invers dari
Karena BA ≠ I
Jika A dan B adalah matriks - matriks yang
dapat dibalik dan berukuran sama (n x n),
maka :
(AB)-1 = B-1. A-1
Matriks Elementer & metode mencari A-1




Definisi : Sebuah matriks n x n dinamakan matriks
elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari
matriks satuan n x n yakni In x n dengan melakukan
sebuah operasi baris elementer tunggal.
Jika A taksingular; det(A) ≠ 0 berarti A dapat
dibalik
Jika A.x = b memiliki satu pemecahan maka A
harus taksingular
Jika A.x = 0, maka hanya akan mempunyai
pemecahan trivial


Jika A taksingular maka A ekivalen baris dengan I,
terdapat matriks - matriks elementer E1,E2,…,Ek
sehingga:
EkEk-1…E1A = I  EkEk-1…E1I = A-1
Dengan demikian dapat dicari A-1 yaitu
(A | I ) akan menjadi (I | A-1)
• Jika E adalah matriks elementer yang berasal dari
matriks satuan I m x m yang telah dikenakan
suatu bentuk OBE; dan A adalah matriks m x n,
maka EA adalah matriks yang terjadi apabila
OBE di atas dikenakan pada A
• Setiap matriks elementer merupakan matriks
tak singular.
• Invers dari matriks elementer juga merupakan
matriks elementer
BAB 2
EKUIVALENSI
TRANSFORMASI ELEMENTER


1.
2.
3.
DEFINISI :
OPERASI YANG DIKERJAKAN PADA MATRIKS
MENURUT SALAH SATU CARA BERIKUT :
Menukar letak baris/kolom ke i dengan baris/kolom
ke j
Mengalikan setiap elemen baris/kolom ke I dengan
suatu bilangan k tidak sama dengan 0
Menambah setiap elemen baris/ kolom ke I dengan
k kali elemen baris/ kolom ke j ( k bilanagan
sembarang)


3 OPERASI TADI APABILA DIKERJAKAN
PADA BARIS SAJA MAKA DINAMAKAN
OPREASI BARIS ELEMENTER (OBE)
DAN JIKA DIKERJAKAN PADA KOLOM
SAJA DINAMAKAN OPERASI KOLOM
ELEMENTER (OKE)