aljabar linier

ALJABAR LINIER
BAB 1
MATRIKS
DEFINISI MATRIKS

SUATU DAFTAR BILANGAN
REAL ATAU KOMPLEKS
TERDIRI ATAS M BARIS DAN
N KOLOM, M DAN N
BILANGAN BULAT POSITIF,
DISEBUT MATRIKS BERTIPE
MXN
BENTUK MATRIKS TIPE M X N


Misalkan A matriks bertipe m x n
A =  a11 a12 ...... a1n 

 a21
 ...

 ...
a
 m1
a22
...
...
am 2

...... a2 n 
...
... 

...
... 
... amn 
Atau A = (aIJ), i = 1, 2,…, m ;
j = 1, 2,…, n


Matriks bujur sangkar adalah
matriks yang banyaknya kolom
sama dengan banyaknya baris.
Unsur-unsur a11, a22,…,ann dalam
matriks bujur sangkar disebut
unsur-unsur diagonal
n
a
i 1
11
 a22  ...  ann
disebut trace dari matriks bujur
sangkar
OPERASI ALJABAR
MATRIKS
1.
2.
3.
4.
KESAMAAN DUA MATRIKS
PENJUMLAHAN DUA BUAH
MATRIKS
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SEBUAH
BILANGAN
PERKALIAN DUA BUAH
MATRIKS
1. KESAMAAN DUA
MATRIKS
DEFINISI :

DUA MATRIKS A = (aIJ) dan B =
(bIJ) dikatakan SAMA bila :
a)
A dan B sejenis
b)
Setiap unsur yang seletak sama
Jadi, jika A(mxn) = B(pxq) maka
a) m = p dan n = q
b) aij = bij untuk setiap i dan j, i = 1,
2,…,m ; j = 1, 2,…,n

2. PENJUMLAHAN DUA
BUAH MATRIKS


1.
2.
DEFINISI : Misalkan A = (aIJ) dan B =
(bIJ) dua matriks bertipe sama.
Jumlahan dari A dan B adalah suatu
matriks C yang bertipe sama dengan A
dan B dengan C = (cIJ) dan cIJ = aIJ + bIJ ,
i = 1,2,…,m ; j ; 1,2,…,n
Catatan :
Penjumlahan dua buah matriks hanya
didefinisikan pada dua buah matriks
yang sejenis
Jumlah dua buah matriks yang sejenis
merupakan matriks dengan ukuran yang
sama
PERKALIAN MATRIKS DENGAN
SEBUAH BILANGAN


DEFINISI :
Hasil kali suatu bil k dengan
suatu matriks A adalah suatu
matriks yang didapat dengan
mengalikan setiap unsur dari A
dengan k, ditulis kA = Ak = (kaij)
= (aijk), i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n
PERKALIAN DUA BUAH
MATRIKS




Misalkan A bertipe m x n dan B bertipe n x
p, maka hasil kali dari matriks A dan B
adalah matriks C bertipe m x p
Perkalian matriks AB dapat didefinisikan,
jika banyaknya kolom matriks A sama dgn
banyaknya baris matriks B
Umumnya AB
BA
Inti perkalian dua buah matriks adalah
baris pada matriks A dengan kolom pada
matriks B

MATRIKS-MATRIKS
KHUSUS
MATRIKS NOL
Definisi :
Sebuah matriks disebut matriks
nol, jika unsur-unsur dari
matriks semua sama dengan
0, ditulis 0
1.
2. TRANSPOSE
DEFINISI :
Suatu matriks disebut matriks
transpoe dari matriks A, ditulis
At atau A*, adalah matriks yang
didapat dengan menukar barisbaris A menjadi kolom-kolom A
dan sebaliknya.

SIFAT-SIFAT TRANSPOSE

1.
2.
3.
4.
Bila matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B dan Kk
suatu bilangan, maka
(A*)* = A
(kA)* = kA*
(A + B)* = A* + B*
(AB)* = B*A*
3. MATRIKS SEGITIGA
ATAS


DEFINISI :
SUATU MATRIKS BUJUR
SANGKAR A = (aij) dikatakan
matriks segitiga atas, bila aij = 0
untuk setiap i > j, seperti
 a11 a12

 0 a22
 0
0

a13 

a23 
a33 
4. MATRIKS SEGITIGA
BAWAH


DEFINISI :
SUATU MATRIKS BUJUR
SANGKAR A = (aij) dikatakan
matriks segitiga bawah, bila aij =
0 untuk setiap i < j, seperti
 a11 0

 a21 a22
a
 31 a32
0 

0 

a33 
5. MATRIKS DIAGONAL
DEFINISI :
Suatu matriks yang sekaligus
matriks segitiga atas dan
segitiga bawah disebut matriks
diagonal, ditulis diag (a11,
a22,…,ann)

6. MATRIKS SATUAN



DEFINISI :
Matriks diagonal dengan elemen
diagonalnya sama dengan 1
disebut matriks identitas, atau
matriks satuan.
Simbol : In untuk ukuran matriks
nxn
7. MATRIKS INVERS

DEFINISI :
Bila a dan B matriks bujur
sangkar dengan AB = BA = I,
maka B disebut invers dari A,
ditulis B = A-1. Matriks A juga
merupakan invers dari B, ditulis
A = B-1
8. Matriks Simetri


Definisi :
Bila A matriks bujur sangkar
dengan A = A*, maka A disebut
matriks simetri. Bila A = (aij) matriks
simetri, maka aij = aji untuk setiap
i
j.

9. MATRIKS SKEW SIMETRI

DEFINISI :
Bila A matriks bujur sangkar
dengan A = -A*, maka A disebut
matriks skew simetri. Bila A =
(aij) matriks skew, maka aji = -aij
untuk setiap i dan j. Ini berarti aii
= -aii untuk setiap i. Jadi aii = 0
untuk setiap i.