A - B

BAB 3. MATRIKS
3.1 MATRIKS
Definisi: [Matriks]
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun
dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar.
Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh
banyaknya baris dan kolom yang membentuknya.
Notasi: huruf besar A, B, C, D, …
Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb.
A   aij mn
aij = elemen matriks A yg terletak pada baris ke-i,
kolom ke-j; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
mn = ukuran atau ordo matriks A,
yaitu
a 
a a
11
12

a21 a22

A


 am1 am 2
1n

a2 n 


amn 
Contoh: Tentukan matriks A yang elemennya
didefinisikan sebagai berikut:
 1, i  j
1. A   aij 33 , aij  
i, i  j
2. A   aij 44
1  i , i  j
, aij  
i  j , i  j
Departemen Matematika IPB
1
Definisi: [Anak matriks]
Anak matriks dari matriks A adalah suatu matriks baru
yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan
beberapa baris atau kolomnya.
Contoh: Tentukan anak matriks dari matriks
1 0 1


A   2 1 2
 3 1 5


yang diperoleh dengan :
a. menghilangkan baris 2 dan kolom 1.
b. menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2.
Matriks khusus
1.Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama
dengan banyaknya kolom.
Catatan:
a. Khusus untuk matriks segi, ordo nn, biasa
ditulis
ordo n.
b. Jika A= (aij)n×n maka elemen a11, a22, …, ann
disebut elemen diagonal utama matriks A.
2.Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua
elemen di bawah diagonal utamanya nol.
3.Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua
elemen di atas diagonal utamanya nol.
4.Matriks identitas: Matriks yang semua elemen
diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya
bernilai nol.
Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan In
Departemen Matematika IPB
2
3.2 OPERASI MATRIKS
3.2.1 Penjumlahan dan perkalian skalar
Definisi: [Penjumlahan dan perkalian skalar]
Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran
mn dan
 a11

a21

A


 am1
a1n 

a2 n 


amn 
a12
a22
am 2
 b11 b12

b21 b22

B


 bm1 bm 2
b1n 

b2 n 


bmn 
Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A +B dan
perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA,
didefinisikan sebagai berikut:
 a11  b11

a21  b21

A B 


 am1  bm1
 ka11

ka21

kA 


 kam1
ka12
ka22
kam 2
a12  b12
a22  b22
am 2  bm 2
a1n  b1n 

a2 n  b2 n 


amn  bmn 
ka1n 

ka2 n 


kamn 
Definisikan pula operasi pengurangan sebagai berikut:
-A = (-1) A dan A - B = A + -(B)
Departemen Matematika IPB
3
Hukum penjumlahan dan perkalian skalar
Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang
berukuran sama dan k1, k2 adalah skalar, maka
1. (A + B) + C = A + (B + C)
2. A + (-A) = O
3. A + B = B + A
4. k1 (A + B) = k1 A + k1 B
5. (k1 + k2) A = k1 A + k2 A
6. (k1 k2) A = k1 (k2 A)
7. 0 A = O
dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang
semua elemennya nol.
3.2.2 Perkalian matriks
Definisi: [Perkalian matriks]
Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berturutturut berukuran mp dan pn
 a11

a21

A


 am1
a12
a22
am 2
a1 p 

a2 p 


amp 
 b11 b12

b21 b22

B


 b p1 b p 2
b1n 

b2 n 


bpn 
Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan
sebagai berikut:
Departemen Matematika IPB
4
 a11 a12

a21 a22

AB 


 am1 am 2
 c11 c12

c21 c22




 cm1 cm 2
a1 p  b11 b12

a2 p  b21 b22


amp 
 bp1 bp 2
c1n 

c2 n 


cmn 
b1n 

b2 n 


bpn 
dengan
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j 
p
 aip bpj   aik bkj
k 1
Hukum perkalian matriks
Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang
ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah
ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka
1. Hukum Assosiatif
(AB) C = A ( BC)
2. Hukum distributif kiri
A (B + C) = AB + AC
3. Hukum distributif kanan
(B + C) A = BA + CA
4. k (AB) = (kA) B
Catatan: secara umum AB  BA.
Departemen Matematika IPB
5
3.2.3 Putaran (transpos) suatu matriks
Definisi: [Putaran (transpos) suatu matriks]
Misalkan A=(aij) adalah matriks berukuran mn.
Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis AT, adalah
matriks berukuran nm yang didefinisikan sebagai
berikut:
T
 a11

a21
T

A 


 am1
a12
a22
am 2
a1n   a11
 
a2 n   a12

 
 
amn   a1n
a21
a22
a2 n
am1 

am 2 


amn 
Sifat matriks putaran
1. (A + B)T = AT + BT
2. (AT)T = A
3. (k A)T= k AT , untuk suatu skalar k
4. (AB)T = BT AT
Contoh: Diketahui matriks A, B, C dan D sebagai
berikut:
 1 1 2 
A

0
3
4


 2 3 
2
 4 0 3 


 
B
C

5
1
D

1




 1 2 3 
 1 0 
3


 
Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak,
berikan alasannya.
a. 3A + BD
b. C + D
c. (2A + B)C
d. CTD
e. (AC)T
f. AAT
Departemen Matematika IPB
6
3.3 OPERASI BARIS DASAR (OBD)
Operasi baris dasar
1. Tukarkan baris ke-i dan ke-j
Notasi: Eij , i j
2. Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k  0
Notasi: Ei(k)
3. Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j
Notasi: Eij(k)
Catatan:
1. Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E1,
E2, …, En yang dikenakan pada matriks A dapat
ditulis
En … E2 E1(A)
2. Jika A matriks berordo mn, maka
Eij(A) = Eij(Im) A
Ei(k)(A) = Ei(k)(Im) A
Eij(k) (A) = Eij(k) (Im) A
En … E2 E1(A) = En … E2 E1(Im) A
Contoh:
1 2 3
Jika diketahui A   2 1 2 


1 1 4


Tentukan matriks B = E2(-1) E13(2) E12 (A).
Departemen Matematika IPB
7
Definisi: [Ekivalen baris]
Matriks A dikatakan ekivalen baris dengan matriks B,
notasi A B, apabila terdapat serangkaian operasi
baris dasar E1, E2, …, En, sehingga
B = En … E2 E1(A).
Contoh: Tentukan serangkaian operasi baris dasar
terhadap matriks A,
 1 2 3 


A   2 6 10 
 1 2 9 


sehingga A ekivalen baris dengan matriks segitiga atas
dengan elemen diagonal utamanya 1.
3.4 DETERMINAN MATRIKS SEGI
Definisi: [Determinan matriks 22]
 a11 a12  , maka det(A) = a11 a22 – a12 a21.
A

a
a
 21 22 
Definisi: [Determinan matriks nn]
Misalkan A= (aij)nn dan Aij adalah anak matriks A
yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan
kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen aij , notasi Mij
adalah
Mij = det(Aij)
dan kofaktor elemen aij , notasi αij adalah
αij = (-1)i+j Mij .
Jika
Departemen Matematika IPB
8
Maka
n
1. det( A)   aij ij , untuk sebarang i, i  1, 2,..., n
j 1
n
2. det( A)   aij ij , untuk sebarang j , j  1, 2,..., n.
i 1
Catatan:
1. Perhatikan bahwa tanda kofaktor mengikuti aturan
berikut.








  
  
  
  








2. Determinan matriks A, biasa juga ditulis |A|
Contoh: Tentukan determinan matriks berikut.
 3 2 1 


2. B   1 3 2 
 0 3 1 


1 2 
1. A  

3

1


0

1

3. C 
0

 1
1

0 0 1
1 1 1

1 1 1 
0
1
Departemen Matematika IPB
9
Sifat-sifat determinan
1. det(A) = det(AT).
2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan
sehingga didapat matriks B, maka det(B) = -det(A).
Catatan: det(Eij(A)) = -det(A)
3. Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan
dengan suatu skalar k sehingga didapat matriks B,
maka det(B) = k det(A)
Catatan: det(Ei(k)(A)) = k det(A)
det(kA) = kn det(A), A matriks nn
4. Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan
k kali baris/kolom lainnya sehingga didapat matriks
B, maka det(B) = det(A).
Catatan: det(Eij(k)(A)) = det(A)
5. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua
elemennya nol, maka det(A) = 0.
6. Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan
kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka
det(A) = 0
7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks
segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah
perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.
8. det(AB) = det(A).det(B)
Contoh:
1. Diketahui A dan B adalah matriks segi berordo 3.
Jika |A|=5 dan |B| = 2, tentukan |ABT| + |2B|.
Departemen Matematika IPB
10
2. Dengan menggunakan operasi baris dasar, ubah
matriks A menjadi matriks segitiga atas, kemudian
tentukan determinannya.
 2 1 4 


A  3 1 5
1 2 3


3. Dengan menggunakan sifat determinan, buktikan
bahwa:
a b c
e b h
d
e
f  d
a
g
g
h
k
c
k
f
4. Tentukan |A|, jika diketahui
 5 1 0 


E2(3) E13 E21( 2) ( A)   0 2 1 
 0 0 1


3.5 PANGKAT MATRIKS
Definisi: [Pangkat matriks]
Misalkan A matriks berordo mn. Pangkat atau rank
matriks A didefinisikan sebagai ordo terbesar anak
matriks A yang determinannya tidak nol.
Notasi: p(A) (dibaca: pangkat matriks A)
Departemen Matematika IPB
11
Contoh: Tentukan pangkat matriks berikut.
 1 1 0 


2.  0 1 1 
0 2 2


1 0 1 2 
1. 

1
1
0
0


 5 1 0 


3.  0 2 1 
 0 0 1


Teorema: [Menentukan pangkat matriks]
Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar
sama dengan pangkat matriks asal.
Catatan: Jika A  B, maka p(A) = p(B).
Contoh: Dengan menggunakan operasi baris dasar,
tentukan pangkat matriks berikut.
 1 1 2 


1.  3 1 0 
 4 2 2 


 1 1 2 1


2.  3 1 0 1
 4 2 2 1


3.6 MATRIKS INVERS
Definisi: [Matriks invers]
Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A
dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers,
jika terdapat matriks B sedemikian sehingga
AB = BA = In . Matriks B disebut invers matriks A.
Notasi: B = A-1 (dibaca: invers matriks A)
Departemen Matematika IPB
12
Sifat-sifat matriks invers
1. Invers suatu matriks taksingular bersifat tunggal.
2. Jika matriks A dan B adalah matriks taksingular,
maka
a. (A-1)-1 = A
b. (AB)-1 = B-1 A-1
c. (AT)-1 = (A-1)T
Menentukan invers matriks
1. Metode Matriks Adjoint
Metode Matriks Adjoint
Metode Penghapusan
● Teorema: [Metode matriks adjoint]
Misalkan A = (aij) adalah matriks segi berordo n.
Jika det(A)  0 dan matriks C = (αij), dengan αij
adalah kofaktor elemen aij , maka invers matriks
A adalah
1
1
A 
CT
det( A)
CT disebut matriks adjoint dari matriks A.
● Contoh: Dengan menggunakan metode matriks
adjoint tentukan invers matriks berikut.
 2 1 3


A  0 2 1
1 1 2


Departemen Matematika IPB
13
2. Metode Penghapusan
● Konsep dasar:
``
1. Jika A  In , maka terdapat serangkaian operasi
baris dasar sehingga
Ek Ek 1 E2 E1 ( A)  I n
2. Berdasarkan sifat operasi baris dasar
Ek Ek 1 E2 E1 ( I n ) A  I n
3. Misalkan P  Ek Ek 1 E2 E1 ( I n ) , maka In  P
dan PA = In.
4. Dari 2 dan 3, AIn dan In P, dengan operasi
baris dasar yang sama, sehingga dapat ditulis
sekaligus
(A|In)  (In|P)
5. Berdasarkan sifat invers matriks
A1  I n A1  ( PA) A1  P( AA1 )  PI n  P
● Prosedur menentukan invers matriks A:
1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A|In).
2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar pada
matriks (A|In) sehingga bagian kiri matriks
tersebut berubah menjadi In , yaitu (In|P).
3. Tuliskan A-1 = P.
Departemen Matematika IPB
14
● Contoh: Dengan menggunakan metode
penghapusan tentukan invers matriks berikut.
 2 1 3


A  0 2 1
1 1 2


3.7 LATIHAN
1. Jika A, B dan C adalah matriks segi berordo 2, serta
 2 1
ABA  

0
1


1
dan
A1CA  I 2  B
tentukan matriks C.
3. Buktikan det(A-1) = 1/det(A).
4. Misalkan A adalah matriks segi berordo 4 dan
det(A) = -6 serta B = E3(2)E21(3)E41(A). Dengan
menggunakan sifat-sifat determinan tentukan:
a. det(B)
b. det((AB)-1).
 1 0 1


A1   1 1 1 
 0 1 0


5. Jika diketahui
Tentukan matriks A menggunakan metode matriks
adjoint dan metode penghapusan.
Departemen Matematika IPB
15