Matriks dan Determinan

MATRIKS DAN DETERMINAN
Pendahuluan
Banyak persoalan dalam matematika murni maupun terapan yang disajikan dalam sistem
persamaan linear. Misalnya, penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan
menghasilkan sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau eliminasi. Akan
tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih, metode ini
ternyata tidak efisien.
Untuk menyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih, kita akan
membahas metode reduksi baris atau eliminasi Gauss dan aturan Cramer. Sebelum membahas
kedua metode ini, kita akan membicarakan konsep matriks dan determinan.
Definisi
Diandaikan kita memiliki sistem persamaan linear berikut:
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7
4𝑥 − 𝑦 − 6𝑧 = 1 }
2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
Koefien-koefisien x, y, dan z dapat dituliskan sebagai
1 2
3
𝐴 = (4 −1 −6).
2 2 −3
Sistem bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom ini dikenal dengan sebutan matriks.
Matriks 𝑚 × 𝑛 adalah suatu susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas m baris dan n
kolom. Sebuah matriks A biasanya dituliskan dalam bentuk
𝑎11 𝑎12 𝑎13 …
𝑎21 𝑎22 𝑎23 …
𝐴=( …
… … …
𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 …
𝑎1𝑘
𝑎2𝑘 ).
…
𝑎𝑗𝑘
Setiap bilangan 𝑎𝑗𝑘 pada matriks disebut unsur atau elemen, dengan indeks i dan j berturut-turut
menunjukkan unsur yang terletak pada baris ke-j dan kolom ke-k matriks yang bersangkutan.
Jika banyaknya baris m sama dengan banyaknya kolom n, dikenal matriks bujur sangkar
berukuran 𝑛 × 𝑛 atau berorde n. Sebuah matriks yang hanya terdiri satu baris dinamakan matriks
baris. Sebaliknya, sebuah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom dinamakan matriks kolom.
Aljabar Matriks
1. Kesamaan Matriks
Dua matriks 𝐴 = (𝑎𝑗𝑘 ) dan matriks 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘 ) yang berukuran sama (memiliki jumlah
baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan hanya jika 𝑎𝑗𝑘 = 𝑏𝑗𝑘 . Sebagai
contoh,
𝑥 𝑟 𝑢
2 0 8
(𝑦 𝑠 𝑣 ) = (
),
−1 4 3
jika dan hanya jika x = 2, y = 1, r = 0, s = 4, u = 8, dan v = 3.
2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah matriks A dan B yang berukuran sama dapat dijumlahkan/dikurangkan untuk
menghasilkan
matriks
C
yang
unsur-unsurnya
merupakan
hasil
penjumlahan/pengurangan dari unsur matriks A dan B yang bersesuaian. Secara
matematis, jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, maka 𝐶 = 𝐴 ± 𝐵
dengan 𝑐𝑗𝑘 = 𝑎𝑗𝑘 ± 𝑏𝑗𝑘 .
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Perkalian matriks A dengan skalar k akan menghasilkan sebuah matriks baru B yang
unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur matriks A dengan k. Jadi, B =
kA.
4. Perkalian dua Matriks
Jika 𝐴 = (𝑎𝑗𝑘 ) sebuah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘 ) sebuah matriks berukuran
𝑛 × 𝑝, maka perkalian matriks A dengan matriks B, yaitu C = AB, didefinisikan sebagai
𝑐𝑗𝑘 = ∑𝑛𝑙=1 𝑎𝑗𝑙 𝑏𝑙𝑘 ,
dengan matriks C berukuran 𝑚 × 𝑝. Perkalian dua matriks dapat dilakukan jika dan
hanya jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B.
4 2
1 5
) dan 𝐵 = (
−3 1
2 7
Untuk 𝐴 = (
8
3
), diperoleh 𝐴𝐵 = (
−1
−4
34
4
).
−8 −13
Berbeda dengan aljabar bilangan biasa, perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif.
Akan tetapi, hukum asosiatif dan distributif tetap berlaku:
A(BC)= (AB)C, A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + AC.
Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika A adalah
matriks bujur sangkar. Ungkapan AA biasanya ditulis 𝐴2 . Dengan cara yang sama,
𝐴3 = 𝐴2 𝐴, 𝐴4 = 𝐴3 𝐴, dan sebagainya.
5. Matriks Transpos
Untuk matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu mengganti baris dengan
kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini
dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan 𝐴𝑇 . Dengan demikian, jika 𝐴 = (𝑎𝑗𝑘 )
maka 𝐴𝑇 = (𝑎𝑘𝑗 ). Sebagai contoh, jika
2 5
2 1 −8
) maka 𝐴𝑇 = ( 1 2).
5 2 1
−8 1
𝐴=(
Sifat-sifat matriks transpos: (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇 , (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴𝑇 , dan (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴.
Untuk matriks kompleks, yaitu matriks yang unsur-unsurnya bilangan kompleks, terdapat operasi
konjugat kompleks dan konjugat hermite.
Operasi konjugat kompleks pada matriks kompleks C yang dinyatakan dengan 𝐶̅ akan
menghasilkan matriks baru B yang elemen-elemennya adalah konjugat kompleks dari C. Jadi,
𝐵 = (𝑏𝑗𝑘 ) = 𝐶̅ = (𝑐̅𝑗𝑘 ). Matriks 𝐶̅ dikenal sebagai matriks konjugat kompleks dari C.
Operasi konjugat hermite pada matriks kompleks C merupakan kombinasi dari operasi
konjugat kompleks dan transposnya sehingga sehingga menghasilkan matriks baru B. Dengan
demikian, 𝐵 = (𝐶̅ )𝑇 atau 𝐵 = 𝐶 † . Elemen-elemen matriks B adalah (𝑏𝑗𝑘 ) = (𝑐̅𝑘𝑗 ). Matriks B ini
dikenal sebagai matriks konjugat hermite dari C.
Sebagai contoh, jika
2 + 3𝑖
3
𝐴=(
4 − 5𝑖
2 − 3𝑖
) maka 𝐴† = (𝐴̅)𝑇 = (
5𝑖
3
2 + 3𝑖
4 + 5𝑖 𝑇
) =(
4 + 5𝑖
−5𝑖
3
).
−5𝑖
Matriks-matriks Khusus
Matriks bujur sangkar, matriks baris, dan matriks kolom biasanya dikelompokkan ke dalam
matriks khusus. Ada beberapa matriks khusus yang lain, yaitu:
1) Matriks diagonal, yaitu matriks yang semua unsurnya nol kecuali unsur-unsur yang
terletak pada diagonal utama. Contoh,
1 0 0
𝐴 = (0 3 0).
0 0 4
Jumlah semua unsur diagonal utama sebuah matriks bujur sangkar dinamakan trace
matriks yang bersangkutan.
2) Matriks segitiga, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau
di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal
utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di
atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.
3) Matriks satuan, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya pada diagonal utama
sama dengan 1, sedangkan unsur-unsur yang lain sama dengan nol. Matriks satuan
biasanya diberi simbol I. Sebagai contoh,
1
0
𝐼=(
0
).
1
4) Matriks nol, yaitu matriks yang unsur-unsurnya sama dengan nol dan biasanya diberi
simbol O. Untuk matriks A yang ukurannya sama dengan O, berlaku 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴
dan 𝐴𝑂 = 𝑂𝐴 = 𝑂.
5) Matriks simetri, yaitu matriks bujur sangkar yang memenuhi sifat 𝐴𝑇 = 𝐴. Jika 𝐴𝑇 = −𝐴,
A disebut matriks taksimetri.
6) Matriks kofaktor, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai 𝐴𝑐 = 𝐴𝑗𝑘 .
𝑎11
𝑎
Jika 𝐴 = ( 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎22
𝐴11 = (−1)1+1 |𝑎
32
𝑎13
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝑎23 ) maka 𝐴𝑐 = (𝐴21 𝐴22 𝐴23 ), dengan
𝑎33
𝐴31 𝐴32 𝐴33
𝑎23
𝑎21 𝑎23
1+2
|,
𝐴
=
(−1)
|
12
𝑎33
𝑎31 𝑎33 |, dan seterusnya.
7) Matriks adjoint, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose matriks kofaktor. Jadi,
adj 𝐴 = 𝐴𝑐𝑇 .
1 −2
1 3
1
), 𝐴𝑐 = (
), dan adj 𝐴 = 𝐴𝑐𝑇 = (
−3 1
2 1
−2
Untuk 𝐴 = (
−3
).
1
8)
Jika adj 𝐴 = 𝐴, matriks A dikatakan self-adjoint.
9)
Jika 𝐴2 = 𝐼, matriks A dikatakan involuntary.
10)
Jika 𝐴 = 𝐴̅, matriks A dinamakan matriks real.
11)
Jika 𝐴𝐴𝑇 = 𝐼, matriks A dinamakan matriks orthogonal.
12)
Jika 𝐴 = (𝐴̅)𝑇 = 𝐴† , matriks A dinamakan matriks hermite.
13)
Jika 𝐴𝐴† = 𝐼, matriks A dinamakan matriks uniter.
14)
Jika 𝐴 = −𝐴̅, matriks A dinamakan matriks imajiner murni.
15)
Jika 𝐴2 = 𝐴, matriks A dinamakan matriks idempotent (indepotent matrix).
Determinan
Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai
determinan, biasa ditulis det (A) atau |𝑎𝑗𝑘 |. Determinan matriks A ditulis sebagai
𝑎11
𝑎21
det𝐴 = || 𝑎31
…
𝑎 𝑗1
𝑎12
𝑎22
𝑎32
…
𝑎 𝑗2
… 𝑎1𝑘
… 𝑎2𝑘
… 𝑎3𝑘 |.
… … |
… 𝑎 𝑗𝑘
Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A) ≠
0, A disebut matriks taksingular.
Minor
Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian
dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan
baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari
unsur 𝑎𝑗𝑘 dan dinyatakan dengan ungkapan 𝑀𝑗𝑘 . Sebagai contoh,
𝑎11
𝑎21
det𝐴 = |𝑎
31
𝑎41
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎42
𝑎13
𝑎23
𝑎33
𝑎43
𝑎14
𝑎24
𝑎34 |
𝑎44
maka minor unsur 𝑎32 adalah 𝑀32 , yaitu
𝑀32
𝑎11
= |𝑎21
𝑎41
𝑎13
𝑎23
𝑎43
𝑎14
𝑎24 |.
𝑎44
Jika minor dari 𝑎𝑗𝑘 dikalikan dengan (−1)𝑗+𝑘 hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑘 dan
dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑘 . Jadi,
𝐴𝑗𝑘 = (−1)𝑗+𝑘 𝑀𝑗𝑘 .
Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan
bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau
suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis,
det 𝐴 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 𝐴𝑗𝑘 , untuk sembarang j.
Sebagai contoh, kita akan menghitung
𝑎11
det 𝐴 = |𝑎
21
Untuk j =1, diperoleh
𝑎12
𝑎22 |
det 𝐴 = ∑2𝑘=1 𝑎1𝑘𝐴1𝑘 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 ,
dengan 𝐴11 = (−1)1+1 |𝑎22 | = 𝑎22 dan 𝐴12 = (−1)1+2 |𝑎21 | = −𝑎21. Jadi,
det 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21.
Sifat-sifat Determinan
1)
Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, det 𝐴 =
det 𝐴𝑇 .
2)
Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama
dengan nol.
3)
Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur,
determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4)
Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.
5)
Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan,
determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.
6)
Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.
7)
Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua
suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran
sama.
8)
Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan
kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau
kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.
9)
Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka det(𝐴𝐵) = det(𝐴) +
det(𝐵).
10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktorkofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,
∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑞𝑘 𝐴𝑝𝑘 = 0 atau ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘𝑞 𝐴𝑘𝑝 = 0, jika 𝑝 ≠ 𝑞.
Jika 𝑝 = 𝑞, hasilnya sama dengan det 𝐴.
Invers Matriks
Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah
matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai 𝐴−1 . Jadi, jika A adalah
matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 =
𝐴−1 𝐴 = 𝐼. Invers matriks memiliki sifat, (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 dan (𝐴−1 )−1 = 𝐴.
Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode reduksi
baris dan metode determinan.
Metode Reduksi Baris
Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung
invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan
mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga
menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasioperasi berikut:

menukarkan dua baris,

mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan 𝑘 ≠ 0, dan

menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.
Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi 𝐵𝑗,𝑘 dan 𝑎𝐵𝑗 ± 𝑏𝐵𝑘 .
Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya
baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.
Metode Determinan
Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det 𝐴 ≠ 0. Invers matriks A dapat ditentukan
dengan rumus 𝐴−1 =
adj (𝐴)
det 𝐴
.
Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear dengan n variabel adalah suatu himpunan persamaan linear yang
berbentuk
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟2
{ 21 1
….
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟𝑛
Jika 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑛 = 0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika
𝑟𝑛 ≠ 0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks, yaitu
𝑎11
𝑎
21
( …
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
…
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
𝑟1
𝑥1
𝑥
… 𝑎2𝑛
𝑟2
2
… … ) ( … ) = (… )
𝑥𝑛
𝑟𝑛
… 𝑎𝑚𝑛
atau AX = R.
Untuk menyelesaian system persamaan linear di atas digunakan dua cara, yaitu metode reduksi
baris dan aturan Cramer (lihat Bambang Ruwanto. 2002. Matematika untuk Fisika dan Teknik I.
Yogyakarta: Adicita hal. 131-135)