Penggunaan matriks dalam penyelesaian

Salah satu penggunaan matriks yaitu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Berikut
ini merupakan beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan
matriks.
1. Sistem persamaan linear dengan dua variabel
Diberikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) sebagai berikut.
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
SPLDV di atas dapat diselesaikan dengan cara invers matriks dan determinan (aturan
Cramer).
a. Menyelesaikan SPLDV menggunakan cara invers matriks
Sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai
berikut.
𝑎11
(𝑎
21
A
X
𝑎12 𝑥
𝑏1
)
(
)
=
(
)
𝑎22 𝑦
𝑏2
B
Diperoleh persamaan matriks AX = B ⇔ X = A-1B. A dinamakan matriks koefisien.
b. Menyelesaikan SPLDV menggunakan cara determinan (aturan Cramer)
Didefinisikan determinan utama (D), yaitu determinan dari koefisien-koefisien x
dan y.
𝑎11
D = |𝑎
21
𝑎12
𝑎22 |
Didefinisikan determinan variabel x (Dx), yaitu determinan yang diperoleh dengan
menggantikan koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan
bilangan-bilangan di ruas kanan.
Dx = |
𝑏1
𝑏2
𝑎12
|
𝑎22
Didefinisikan determinan variabel y (Dy), yaitu determinan yang diperoleh
dengan menggantikan koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama
dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.
𝑎
Dy = | 11
𝑎21
𝑏1
|
𝑏2
Nilai x dan y ditentukan dengan rumus: x =
𝐷𝑥
𝐷
dan y =
suatu SPL dapat dilihat dari nilai-nilai determinannya.
𝐷𝑦
𝐷
. Banyaknya penyelesaian
1) Jika D ≠ 0 maka SPL mempunyai satu penyelesaian.
2) Jika D = 0, Dx≠ 0, dan Dy≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelesaian.
3) Jika D = Dx = Dy = 0 maka SPL mempunyai tak berhingga penyelesaian.
2. Sistem persamaan linear dengan tiga variabel
Diberikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel (SPLTV) sebagai berikut
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y+ a33z = b2
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan cara invers matriks dan determinan (aturan
Cramer).
a. Menyelesaikan SPLDV menggunakan cara invers matriks
Sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai
berikut.
𝑎11
𝑎
( 21
𝑎31
A
X
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑥
𝑏1
𝑎23 ) (𝑦) = (𝑏2 )
𝑎33 𝑧
𝑏3
B
Diperoleh persamaan matriks AX = B ⇔ X = A-1B. Dengan ini dapat ditentukan
nilai-nilai x, y, dan z, dengan syarat matriks A nonsingular.
b. Menyelesaikan SPLTV menggunakan cara determinan (aturan Cramer)
Seperti halnya pada sistem persamaan linear dua variabel didefinisikan:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎
Determinan utama: D = | 21 𝑎22 𝑎23 |
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏1
Determinan variabel x: Dx = |𝑏2
𝑏3
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
𝑎11
Determinan variabel y: Dy = |𝑎21
𝑎31
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
𝑎11
𝑎
Determinan variabel z: Dz = | 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑏1
𝑏2 |
𝑏3
Nilai x dan y ditentukan dengan rumus: x =
𝐷𝑥
𝐷
,y=
𝐷𝑦
𝐷
, dan z =
𝐷𝑧
𝐷
.
Contoh soal
Diketahui sistem persamaan
2x + 3y = 8
-3x + y = -1
Tentukan nilai x dan y!
Jawaban:
a. Dengan menggunakan aljabar SPLDV
Metode Eliminasi
2x + 3y = 8
-3x + y = -1
Kalikan kedua sistem persamaan tersebut sehingga terbentuk kesamaan
pada nilai y.
Dikali 1: 2x + 3y = 8
Dikali 3: -9x + 3y = -3
-
11x = 11
Maka
x =1
Metode substitusi
Substitusikan nilai x yang didapat ke salah satu sistem persamaan di atas.
2x + 3y = 8
2.1 + 3y = 8
3y = 8 – 2
3y = 6
y=2
maka didapat nilai x = 1 dan y = 2.
b. Dengan menggunakan invers matriks
Bentuk matriks sistem persamaan linear tersebut adalah
2 3 𝑥
8
(
) (𝑦) = ( )
−3 1
−1
2 3 −1 2 3 𝑥
2 3 −1 8
) (
) (𝑦) = (
) ( )
−3 1
−3 1
−3 1
−1
𝑥
1
1 −3
8
⇔ I(𝑦) = 2+9 (
)( )
3 2
−1
𝑥
1
8+3
⇔(𝑦) = 11 (
)
24 − 2
𝑥
1 11
⇔(𝑦) = 11 ( )
22
𝑥
1
⇔(𝑦) = ( )
2
⇔(
Jadi, x = 1 dan y = 2
c. Dengan menggunaka determinan (cara Cramer)
2 3
D=|
|
−3 1
= 2.1 – 3.(-3)
=2+9
= 11
8 3
Dx = |
|
−1 1
= 8.1 – 3.(-1)
=8+3
= 11
2
8
Dy = |
|
−3 −1
= 2.(-1) – 8.(-3)
= -2 + 24
= 22
x=
y=
𝐷𝑥
𝐷
𝐷𝑦
𝐷
11
= 11 = 1
22
= 11 = 2
jadi, x = 1 dan y = 2.
Sumber:
Ngapiningsih, dkk. 2010. PR MATEMATIKA untuk SMA/MA. Intan Pariwara:
Klaten.