Determinan

Minggu III-IV
DETERMINAN
B. Determinan
1. Pengertian determinan :
Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya
dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks
bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai
matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka
matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent)
Misalnya, A matriks berukuran 2 x2,
a
A =  11
a21
a12 
, maka determinan matriks A,
a22 
A  a11a22  a12 a21
Untuk matriks yang berordo lebih tinggi (matriks 3x3), cara untuk
mendapatkan determinannya adalah dengan cara :
a. Metode Sarrus.
a11
a12
a13 a11
a12
A  a21
a22
a23 a21
a22
a31
a32
a33 a31
a23
-
=
-
-+
+
+
(a11  a22  a33 )  (a12  a23  a31 )  (a13  a21  a23 )  (a12  a21  a33 ) 
(a11  a23  a32 )  (a13  a22  a31 )
Contoh :
2
A  4
0
3
72
3
5
64
5
2
00
2
= 2.5.0 + (-3).6.0 + 7.4.(-2) – 7.5.0 – 2.6.(-2) – (-3).4.0
= 0 + 0 -56 – 0 + 24 +0
= - 32
b. Minor dan Kofaktor
Dapat dibentuk suatu sub determinan dari matriks yang disebut
sebagai minor. Sehingga Minor
M ij
adalah determinan dari
submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan
kolom ke-j dari matriks tersebut.
Dimana M 11 adalah minor dari a11 ; M 12 adalah minor dari a12
dan M 13 adalah minor dari a13 , dan seterusnya.
M 11 
a22
a23
a32
a33
M 12 
a21 a23
a31 a33
M 13 
a21 a22
a31 a32
Apabila suatu minor diberi tambahan tanda (-1)i+j, maka disebut
kofaktor C ij .
Maka
Cij  (1) i  j M ij ; jika jumlah i+j genap maka Cij  M ij ,
karena (-1) dipangkatkan dengan bilangan genap akan sama
dengan 1.
Sedangkan jika jumlah i+j adalah ganjil maka Cij   M ij , karena
jika (-1) dipangkatkan dengan bilangan negatif maka hasilnya
akan sama dengan (-1).
2
2. Sifat-sifat Determinan
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :
a.
Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari
transposenya, det (A) = det (At).
b.
Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari
suatu
baris/kolom
dari
baris/kolom
lainnya
tidak
akan
mempunyai pengaruh pada determinan.
c.
Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari
suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga
absolut dari determinan.
d.
Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu
matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di
bawah
diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemenelemen dari diagonal utama.
e.
Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol,
determinan adalah nol.
f.
Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu
secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.
3. Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung
determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks =
jumlah perkalian elemen-elemen dari
sembarang
baris/kolom
dengan
kofaktor-kofaktornya.
Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :
3
A  a11 C11  a12 C12  a13 C13
menggunakan baris 1
Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris
ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.
Tanda-tanda kofaktor secara berurutan adalah :






  
   
  

  
contoh :
1  4 1 
A = 1  2 3 


5 1  1
C 21  (1) 21 M 21  (1)
C 22  (1) 2 2 M 22  (1)
4
1
1
1
1
1
5 1
C 23  (1) 23 M 23  (1)
 (1)( 6)  6
1 4
5
 (1)(3)  3
1
 (1)( 21)  21
A  a 21 C 21  a 22 C 22  a 23 C 23
A  (1)( 3)  (2)( 6)  (3)( 21)  54
4