diktat kuliah - elista:.

Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
BAB 1
PENDAHULUAN
Teknik Komputasi: disebut juga dengan teknik numerik, jadi teknik yang meliputi
bidang yang berurusan dengan pemecahan masalah atau hampir
sama dengan notasi solusi atas pemecahan yang diungkapkan dalam
urusan matematik.
1.1 Matriks
Adalah suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.
Bentuk umumnya:
 a11

 a 21
A=  

 

a m1
a12
a13
a 22
a 23




am2
am3
 a1n 

 a2n 
 

 

 a mn 
A adalah notasi matriks sedang amn adalah elemen matriks. Deretan horisontal elemenelemen disebut baris dan deretan vertikal disebut kolom. Indeks m menunjukkan
nomor baris elemen berada, indeks n menunjukkan nomor kolom elemen berada, misal
a23 artinya elemen a berada pada baris 2 dan kolom 3.
Matriks diatas memiliki m baris dan n kolom, dan disebut juga dimensi m kali n (mn).
Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:
B = [ b1 b2  bn],
disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan dimensi kolom n = 1,
seperti:
 c1 
 
 c2 
C =  c3 
 
 
 
c m 
Matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti:
0 0 0 
A = 0 0 0 disebut dengan matriks nol.


0 0 0
1. Macam-Macam Matriks
a) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n, misal
matriks 33, adalah:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
1
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
 a11
A = a 21
 a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks.
MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam
sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom)
harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.
b) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali
diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:
a11
0
A= 
0

0
0
0
a 22
0
0
a 33
0
0
0 
0 
0 

a 44 
c) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar
tetapi bukan nol atau satu.
d) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal
utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk berikut
ini:
1
0
I= 
0

0
0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1
e) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah
diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
a11 a12
0 a
22
A= 
0
0

0
0
a13
a23
a33
0
a14 
a24 
a34 

a44 
f) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas
diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
 a11
a
21
A= 
 a 31

a 41
0
0
a 22
0
a 32
a 33
a 42
a 43
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
0 
0 
0 

a 44 
2
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
g) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:
 5 1 2
A = 1 3 7


2 7 8
h) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33
yang semua unsur diagonalnya aji = 0.
 0 1  2
A =  1 0  7 
 2 7 0 
i) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali
pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:
 a11
a
21
A= 
0

0
a12
0
a 22
a 23
a 32
a 33
0
a 43
0 
0 
, disebut juga dengan matriks tridiagonal.
a 34 

a 44 
j) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris
menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).
 a11

 a 21
Untuk matriks: A =  

 

a m1
a12
a13
a 22
a 23




am2
am3
 a1n 

 a2n 
 ,

 

 a mn 
 a11

 a12
maka transposenya (AT) adalah AT =  

 

a1n
a21
a22


a2 n
a31  am1 

a32  am 2 

 


 

a3n  amn 
k) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:
[A]T . [A] = [A] [A]T = [I]
l) Peningkatan matriks
Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-kolom) pada
matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi 33,
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
3
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
 a11
A = a 21
 a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks identitas
sehingga menjadi matriks 36, yang mempunyai bentuk sebagai berikut:
 a11
a
 21
a31
a12
a 22
a32
a13 | 1 0 0
a 23 | 0 1 0
a33 | 0 0 1
bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua matriks,
dengan demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks, tetapi hanya pada
satu matriks yang ditingkatkan.
2. Aljabar Matriks
MBS dapat dikenakan suatu operator matematika seperti penjumlahan, pengalian,
dan pengurangan.
a) Kesamaan dua matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama bila elemen-elemen matriks A sama
dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, aij = bji
untuk semua nilai i dan j.
b) Penjumlahan dan pengurangan matriks
Bila A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua matriks dengan dimensi mn, maka
untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A  B) dari kedua matriks
tersebut, adalah sama dengan matriks C = [cij] dengan dimensi mn, dimana
setiap elemen matriks C adalah jumlah (selisih) dari elemen-elemen yang
berkaitan dari A dan B.
C = A  B = [aij  bij] = [cij]
Contoh soal:
1 2 3
Jika A = 
 dan B =
0 1 4 
 2 3 0
  1 2 5


Maka:
2  3 3  0  3 5 3
 1 2
A+B= 
 = 

0  (1) 1  2 4  5  1 3 9
2  3 3  0   1  1 3 
 1 2
AB= 
 = 

0  (1) 1  2 4  5  1  1  1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 6 9 
A+A+A= 
 + 
 + 
 = 

0 1 4 0 1 4 0 1 4 0 3 12
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
4
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
c) Perkalian matriks
Perkalian matriks A dengan skalar g didapat dengan mengalikan semua elemen
dari A dengan skalar g, jika gA = C, maka cij = gaij.
Contoh soal:
2  2
2  2 10  10
Jika A = 
dan g = 5, maka C = gA = 5 

 = 

4 3 
4 3  20 15 
Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan bila cacah kolom A sama dengan
cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable.
Perkalian suatu matriks 1m, yaitu A = [ a11 a12  a1m] dengan matriks m1
yaitu:
 b11 
 
 b21 
B =  b31  adalah sebuah matriks C berukuran 11, yang berbentuk:
 
  
 
bm1 
C = [a11b11 + a12b21 +  + a1mbm1] atau
[a11 a12
 b11 
 
 b21 
 a1m]  b31  = [a11b11 + a12b21 +  + a1mbm1]
 
  
 
bm1 
Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen dari baris dikalikan
dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.
Contoh soal:
 1 
[2 3 4]   2 = [2(1) + 3(2) + 4(3)] = [2 + (6) + 12] = [8]
 
 3 
Perkalian antara matriks mp, yaitu A = [aij] dan matriks pn, yaitu B = [bij]
adalah matriks mn, yaitu C = [cij] dengan nilai cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj =
p
 aikbkj.
k 1
Dimana untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
5
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Contoh soal:
 2 1 4
A= 
, B=
  1 3 2
2
1
 1 3  dan X =


 4  1
 x1 
x 
 2
 x 3 
2(2)  1(3)  4(1)  17 3
 2(1)  1(1)  4(4)
AB = 
 = 

 1(1)  3(1)  2(4)  1(2)  3(3)  2(1)  4 5
1(1)  2(3)
1(4)  2(2)   0 7 8 
 1(2)  2(1)

BA =  1(2)  3(1)
 1(1)  3(3)  1(4)  3(2) =   5 8 2 

4(2)  (1)(1) 4(1)  (1)(3) 4(4)  (1)2  9 1 14
 x1 
 2 1 4    2 x1  x 2  4 x3 
AX = 

  x2  = 
 1 3 2  x   x1  3x 2  2 x3 
 3
1.2 Transformasi Elementer
Transformasi elementer pada sebuah matrik tidak mengubah baik orde maupun bentuk
matriks.
Transformasi elementer ialah:
a) Pertukaran tempat baris ke-i dengan baris ke-j diberi simbol Hij, pertukaran tempat
kolom ke-i dengan kolom ke-j diberi simbol Kij.
1 2 3
1 2 3
3 2 1 
Contoh: [A] = 4 5 6 H32 → [A] = 7 8 9 K31 → [A] = 6 5 4




7 8 9
4 5 6
9 8 7
b) Perkalian setiap unsur baris ke-i dengan bilangan skalar k (k ≠ 0) diberi simbol
Hi(k) perkalian setiap unsur kolom ke-i dengan bilangan skalar k (k ≠ 0) diberi
simbol Ki(k)
1 2 3
Contoh soal: [A] = 4 5 6
7 8 9
H2 (2)
1 2 3 
→ [A] = 8 10 12 setiap baris ke-2 dikalikan dengan 2
7 8 9 
K3 (-2)
1 2  6 
→ [A] =  4 5  12 setiap kolom ke-3 dikalikan dengan -2
7 8  18
c) Penambahan pada setiap unsur baris ke-i dengan k kali (k skalar) unsur yang sesuai
dari baris ke-j diberi simbol Hij(k).
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
6
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Penambahan unsur yang sesuai dari kolom j pada setiap unsur kolom ke-i dengan k
kali (k skalar) diberi simbol Kij(k).
1 2 3
Contoh soal: [A] = 4 5 6


7 8 9
H32 (-1)
1 2 3
→ [A] = 4 5 6


3 3 3
baris ke-2 dikalikan (-1) lalu dijumlahkan baris ke-3.
1 2 4 
K31 (1) → [A] =  4 5 10  kolom ke-1 dikalikan (1) lalu dijumlahkan kolom ke-3.
7 8 16 
TUGAS:
Selesaikan dengan menggunakan metode transformasi elementer berdasarkan baris (H)
menjadi Matriks Segitiga Bawah (MSB):
 a 11 0
1 2 1


[A] = 2 4 8 → a 21 a 22


a 31 a 32
6 2 4
0 
0 
a 33 
1.3 Determinan
Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur dalam sebuah bujur
sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal serta mempunyai satu harga tertentu.
1. Sifat-sifat determinan
a) Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama dengan nol,
maka harga determinan = 0
2
4 1
2 0 4
D = 2 3 5 = 0
0 0 0
D= 3 0 1
5 0 2
=0
b) Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah menjadi kolom atau
semua kolom diubah menjadi baris.
D=
1 1
2 3
=1
D=
1 2
1 3
=1
c) Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada
suatu determinan akan mengubah tanda determinan.
D=
1 1
2 3
=1
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
→ ditukar baris
D=
2 3
1 1
= –1
7
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
→ ditukar kolom
D=
1 1
3 2
= –1
d) Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama (identik), maka
harga determinan itu = 0
1 2 4
1 1 3
D= 1 2 4 =0
3 5 6
D= 2 2 5 =0
4 4 6
Ada 2 baris yang sama
Ada 2 kolom yang sama
e) Bila semua unsur sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor
tidak bernilai 0, maka harga determinan dikalikan dengan bilangan itu.
D=
1 1
2 3
↔ baris 1 dikalikan 2 → D =
=1
↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =
2 2
2 3
=6–4=2
2 1
=6–4=2
4 3
f) Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang baris atau kolom
dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0) dan menambahkannya pada atau
mengurangi dari sembarang baris (kolom) yang lain.
D=
1 2
3 4
= –2
↔ ekspansi baris H21 (-2) D =
D=
↔ ekspansi kolom K21 (-1) D =
1 2
3 4
1 2
1 0
1 1
3 1
=
= –2
= –2
2. Perhitungan nilai determinan
a) Metode Sarrus
Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan tingkat atau orde
tiga saja.
a11
D=
a12
a13 a11
a12
a 21 a 22
a 23 a 21 a 22
a 31 a 32
a 33 a 31 a 32
D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 . a31) –
(a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
8
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Contoh soal:
[A] =
1
2
4
1
3
1
2
4
1
→→
1
2
4
1
3
1
2
4
1
1
2
1 3
2 4
= (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1)
= (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2
= – 5.
b) Metode Chio
Harus dibuat MSA
 1 2 4 
A =   1 3  1 
 2  4 1 
H21 (1)
~
H31 (-2)
1  2 4 
0 1
3 

0 0  7
= Harga determinannya menjadi = 1.1.(– 7) = – 7 (Kalikan diagonal
utamanya)
Contoh soal:


A= 



2
0
 2 4  4 1 
3 5
1 1 

1 3 0 2 
1
H21 (2)
~
H31 (3)
~
H41 (–1)
3
1  2 3
0 0
2

0  1 10

0  1  3
0
1
1

2
Karena tidak boleh ada bilangan 0 pada a22 maka diadakan pertukaran baris
dengan baris (baris ke 2 dan ke 3 ditukar)
Setelah diadakan pertukaran baris, maka dikalikan (–1).
1  2 3
0  1 10
(–1) 
0 0
2

0  1  3
1  2 3
0  1 10
(–1) 
0 0
2

0 0  13
0
1 
1

2
→→
0
1
1

1
[A] = (–1) . 1 . (–1) . 2 .
→→
15
2
1  2 3
0  1 10
H42 (–1)
(–1) 
~
0 0
2

0 0  13
H43 132 
~
1  2 3
0  1 10
(–1) 
0 0
2

0 0 0
0
1
1

1
0
1 
1

15
2
= 15.
c) Metode minor (ekspansi)
Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris
ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1),
simbol yang ditulis Mij.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
9
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Contoh soal:


1). A = 



2
0
 2 4  4 1 
3 5
1 1 

1 3 0 2 
1
3
 1 2 0 
→ → Minor (M23) =   3 5 1 
 1  3 2 
 2 3 0 
→ → Minor (M41) =  4  4 1 
 5
1 1 
a 11
2). D =
a 12
a 13
a 21 a 22
a 23
a 31 a 32
a 33
Harga determinannya adalah:
D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] –
[(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)]
= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] +
[a13 (a21 . a32 – a22 . a31)]
= a11
a 22
a 23
a 32
a 33
– a12
a 21 a 23
a 31 a 33
+ a13
a 21 a 22
a 31 a 32
= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)
1.4 Invers Matriks
Pada aljabar biasa bila terdapat hubungan antara dua besaran a dan x ialah kebalikan.
Contoh soal:
3  2 6 
1) Menggunakan determinan, hitung [A] bila [A] = 4 1
1 

2 1  2
Penyelesaian:
-1
Nilai determinan A = |A| = –17.
1
Dengan algoritma [A]-1 =
adj [A]
A
1 1 
A11 (baris 1 dan kolom 1 ditutup) = (+1) 
 = –3
1  2
4 1 
A12 = (–1) 
 = 10, A13 = (+1)
 2  2
4 1
 2 6 
=
2,
A
=
(–1)
21
 1  2 = 2
2 1




3 6 
 3  2
  2 6
A22 = (+1) 
= –18, A23 = (–1) 
= –7, A31 = (+1) 


 =–8
 2  2
2 1 
 1 1
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
10
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
 3  2
4 1  = 11


 3 6
A32 = (–1) 
 = 21, A33 = (+1)
4 1
 A11
[A] = A 21
 A 31
A12
A 22
A 32
 3
2

 8
 3
T
→ → [A] =  10

 2
A13 
A 23  → → [A] =
A 33 
2
 18  7
21 11 
10
 8
 18 21 
 7 11 
 3 2  8
 312
1 
1
[A]-1 =
adj [A] → → [A]-1 =
10  18 21  → → = 1017

17
A
 2  7 11 
 117
2
2

21 
17

11 
17 
8
17
18
17
7
17
17
2 1
2) Menggunakan transformasi elementer, hitung [A]-1 bila [A] = 

2 3
A : I  ~ I : X 
Penyelesaian:
 2 1 : 1 0
1 0 : x x 
~
2 3 : 0 1
0 1 : x x 




 2 1 : 1 0
2 3 : 0 1


H1
12 
1
= 
0
~
H21 (-1)
H12  12  1 0 :
0 1 :
~

3
4
1
2
2
:
1
2
:
1
1 :
1
1
2
2
2
0
1 
2


2
1
1
0 H2  1 
1
2
= 

2 :  1 1
~
0
1
4
Tugas:
1  2 4 
Hitung [A] bila [A] = 2  1 2  , dengan:
4  4  2
-1
a) Menggunakan determinan, dengan algoritma [A]-1 =
1
adj [A]
A
b) Menggunakan transformasi elementer, dengan algoritma A : I  ~ I : X 
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
11
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
1.5 Metode Invers Matriks
Persamaan umum:
a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1
a21 x1+ a22 x2 +  + a2n xn = b2
:
:
an1 x1 + an2 x2 +  + ann xn = bn
dapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut:
 a11 a12  a1n   x1   b1 

   
a21 a22  a2 n   x2  b2 

atau AX = B
 

  

   
an1 an 2  ann   xn  bn 
dengan:
A adalah matriks koefisien nn.
X adalah kolom vektor n1 dari bilangan tak diketahui.
B adalah kolom vektor n1 dari konstanta.
Nilai pada vektor kolom X dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan
dengan matriks inversi, yaitu A1AX = A1B, karena A1A = I, maka nilai-nilai dari
elemen X = A1B,
Contoh soal:
Diketahui suatu persamaan, yaitu: 2x + y = 4
2x + 3y = 8
2 1  x   4 
B
Maka persamaan diatas dapat ditulis = 
+   =   →A+X=B→X=

A
2 3  y  8 
A
X
B
2 1
1  3  1  3 4  1 4 
1
-1

Untuk nilai A = 
→
[A]
=
adj
[A]
=
= 

1 
4  2 2   1
A
2 3
2
 2
x 
Sehingga nilai   dapat dicari yaitu:
 y
 1   4  1 
3
4
 4
8  =  2  ,

1
1
 2

2    
Jadi nilai x = 1 dan y = 2.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
12