Determinan Orde Ketiga

DETERMINAN
Bentuk determinan :
a11
a12
 a1n
a21
a22
 a2 n


am1
am 2  amn
Orde determinan tergantung dari jumlah baris dan kolom, misalnya determinan orde kedua
berarti ada dua baris dan dua kolom. (m=n=2)
Determinan diperkenalkan dan digunakan dalam kaitannya dengan sistem persamaan linier,
misalnya determinan orde kedua dapat diperkenalkan dan digunakan dalam kaitannya dengan
sistem dari dua persamaan linier.
Tinjau sistem persamaan linier sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
dalam dua peubah x1, x2 yang tak diketahui. Biasanya persoalan demikian dipecahkan dengan
cara sebagai berikut :
 Kalikan persamaan pertama dengan a22, persamaan kedua dengan –a12 dan dijumlahkan.
Hasil yang diperoleh adalah :
(a11a22 – a21a12)x1 = b1a22 – b2a12
 Kemudian kalikan persamaan pertama dengan - a21, persamaan kedua dengan a11 dan
dijumlahkan. Hasil yang diperoleh adalah :
(a11a22 – a21a12)x2 = b2a11 – b1a21
 Bila (a11a22 – a21a12) tidak nol, maka kita boleh membagi dan mendapatkan hasil yang
diminta, yaitu :
b1a22  b2 a12
b a b a
x2  2 11 1 21
a11a22  a21a12
a11a22  a21a12
Pernyataan dalam penyebut ditulis dalam bentuk :
x1 
a11
a12
a21 a22
Dan disebut determinan orde kedua, jadi :
a11
a12
 a11a22  a21a12
a21 a22
Keempat bilangan a11, a12, a21, a22 disebut unsur atau elemen dari determinan. Unsur-unsur
di garis horizontal membentuk baris dan unsur-unsur di garis vertikal membentuk kolom
dari determinan.
Penulisan penyelesaian x1 dan x2 dapat dituliskan lebih mudah dalam bentuk :
x1 
[email protected]
D1
D
x2 
D2
D
1
Dengan,
D
a11
a12
D1 
a21 a22
b1
a12
b2
a22
D2 
a11
b1
a21 b2
Rumus ini disebut aturan Cramer. Perhatikan bahwa D1 diperoleh dengan mengganti kolom
pertama dari D oleh kolom dengan unsur-unsur b1, b2 dan D2 diperoleh dengan mengganti
kolom kedua dari D dengan kolom tadi.
Jika b1 dan b2 keduanya nol, sistem dikatakan homogen. Dalam hal ini, sistem itu paling
sedikit mempunyai penyelesaian x1 = 0 dan x2 = 0. Sistem itu mempunyai penyelesaian lain
jika dan hanya jika D  0.
Jika paling sedikit satu dari b1 dan b2 tidak nol, maka sistem itu dikatakan tak homogen. Jadi
jika D  0, maka sistem itu mempunyai tepat satu penyelesaian.
Latihan :
Carilah nilai x dan y dengan cara determinan :
4x – 3y + 20 = 0
3x + 2y - 2 = 0
Determinan Orde Ketiga
Sebuah determinan orde ketiga mempunyai 3 baris dan 3 kolom, yaitu :
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31 a32 a33
Masing-masing elemen dalam determinan ini berkaitan dengan MINORnya, yang diperoleh
dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut.
Misalnya, minor dari a11 adalah
a22
a23
a32
a33
Yang diperoleh dari
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
[email protected]
2
dan seterusnya. Dengan cara yang sama untuk mendapatkan minor dari a22, kita tinggal
membuang baris dan kolom yang memuat a22, sehingga minornya adalah :
a11 a13
a31 a33
Menghitung determinan orde ketiga
Untuk menghitung determinan orde ketiga, kita tuliskan elemen-elemen dari baris yang atas,
kemudian masing-masing kita kalikan dengan minornya dan kita berikan tanda plus dan
minus bergantian pada suku-sukunya.
a11
a12
a21 a22
a13
a22
a23  a11
a23
 a12
a21 a23
 a13
a21 a22
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
Selanjutnya kita sudah tahu bagaimana menyelesaikan determinan orde kedua, yaitu dengan
mengalikannya secara diagonal.
Latihan :
Hitunglah :
1.
1 3 2
3 2 5
2 7 5
4 5 7
2. 4 6 7
3. 4 6 3
2 4 8
2 9 2
8 9 1
Sebetulnya, jika kita mau, kita boleh menguraikan determinan atau sembarang baris atau
kolom dengan cara yang serupa, yaitu kita kalikan masing-masing elemen dengan minornya,
asal saja pada masing-masing perkalian kita berikan tanda + atau – yang sesuai. Tanda tempat
yang sesuai diberikan oleh :
+
+
+
…
…
+
+
…
…
+
+
+
…
…
+
+
…
…
dst…, dst.
Elemen kunci (pada sudut kiri atas) selalu +. Yang lainnya bergantian + atau – bila kita
bergerak sepanjang baris atau turun sepanjang kolom.
Determinan orde ketiga muncul dalam kaitannya dengan sistem dari tiga persamaan linear,
yaitu :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Dengan cara yang sama untuk menghitung dua persamaan linear, diperoleh :
x1 
D1
D
[email protected]
x2 
D2
D
x3 
D3
D
3
Dengan :
a11
a12
a13
b1
a12
a13
a11
b1
a13
a11
a12
b1
D  a21 a22
a23
D1  b2
a22
a23
D2  a21 b2
a23
D3  a21 a22 b2
a31 a32
a33
b3
a32
a33
a31 b3
a33
a31 a32
c3
Kesejalanan suatu sistem persamaan
Tinjaulah suatu sistem tiga persamaan dengan dua variabel.
3x- y–4=0
(i)
2x+3y–8=0
(ii)
x–2y+3=0
(iii)
Jika persamaan (ii) dan (iii) kita pecahkan dengan cara biasa, maka kita peroleh x = 1 dan y =
2. Seandainya sekarang hasil ini kita masukkan ke dalam ruas kiri persamaan (i), kita
dapatkan bahwa 3 x – y – 4 = 3 – 2 – 4 = -3 (dan bukan 0 seperti yang diminta oleh
persamaan tersebut). Jadi jawab persamaan (ii) dan (iii) tidak memenuhi persamaan (i).
Ketiga persamaan itu tidak mempunyai pemecahan bersama. Jadi ketiga persamaan tidak
sejalan (tidak konsisten). Tidak ada harga x dan y yang memenuhi ketiga persamaan itu
secara serempak.
Jika suatu sistem persamaan sejalan, mereka tentu mempunyai pemecahan bersama.
Sekarang tinjaulah ketiga persamaan berikut :
3x+ y–5=0
(i)
2x+3y–8=0
(ii)
x–2y+3=0
(iii)
Seperti tadi, pemecahan persamaan (ii) dan (iii) adalah x = 1 dan y = 2. Substitusi hasil ini ke
dalam persamaan (i) memberikan :
3x + y –5 = 3 + 2 – 5 = 0
yang berarti bahwa ketiga persamaan itu memiliki pemecahan bersama, yaitu x = 1 dan y = 2.
Ketiga persamaan itu dikatakan sejalan.
Untuk kasus yang umum yaitu :
a11 x + a12 y + b1 = 0 (i)
a21 x + a22 y + b2 = 0 (ii)
a31 x + a32 y + b3 = 0 (iii)
akan sejalan jika determinan yang dibentuk dari semua koefisiennya sama dengan nol.
Contoh : Tentukanlah harga k agar persamaan berikut sejalan (konsisten)
3x+ y+2=0
4x+2y–k=0
2 x – y + 3k = 0
agar sejalan maka determinan dari semua koefisiennya harus nol, yaitu :
3
1
4
2
2
k  0
2  1 3k
3
2
k
1
4 k
2
4
2
 1 3k
2 3k
2 1
3(6k – k) – 1 (12k + 2k) + 2(-4-4) = 0
15k – 14k – 16 = 0
k – 16 = 0
k = 16
[email protected]
0
4
Latihan soal :
Tentukanlah nilai k agar persamaan berikut sejalan
1.
x + (k+1)y + 1 = 0
2. x + y - k = 0
2kx +
5y–3=0
kx – 3 y + 11 = 0
3x +
7y+1=0
2x + 4 y – 8 = 0
Determinan berorde n
Suatu determinan orde n mempunyai bentuk :
a11
a12
 a1n
a21
a22
 a2 n


am1
am 2  amn
Dan didefinisikan untuk n = 1 oleh D = a11 dan untuk n  2 oleh
D = aj1Cj1 + aj2Cj2 + …………..+ajnCjn (j = 1,2, ……, atau n)
atau
D = a1kC1k + a2kC2k + …………..+ankCk (k=1,2, ……, atau n)
dengan
Cjk = (-1)j+k Mjk
Mjk merupakan determinan berorde n-1, yaitu minor dari elemen ajk.
Cjk merupakan kofaktor (minor bersama tanda tempatnya) ajk di dalam D.
Sifat Umum Determinan
Menjabarkan determinan yang elemen-elemennya sangat banyak akan sangat menjemukan,
tetapi bila kita mengetahui sifat-sifat determinan, kita dapat menyederhanakan
perhitungannya. Berikut ini diberikan beberapa sifat pokok determinan.
Teorema 1 (tranposisi)
Nilai suatu determinan tidak berubah jika baris-barisnya ditulis sebagai kolom-kolomnya
dalam urutan yang sama.
a1 a2
b1
b2

a1
b1
a2 b2
Teorema 2 (Perkalian oleh suatu konstanta)
Jika semua unsur dari satu baris (atau satu kolom) dari suatu determinan dikalikan oleh faktor
k yang sama, maka nilai dari determinan yang baru, sama dengan k kali nilai determinan yang
diketahui.
ka1 kb1
a b
k 1 1
a2 b2
a2 b2
Teorema 3
Jika semua unsur dalam suatu baris (atau suatu kolom) dari suatu determinan adalah nol,
maka nilai determinan itu sama dengan nol.
[email protected]
5
Teorema 4
Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau suatu kolom) dari suatu determinan dinyatakan
sebagai suatu binomial, maka determinan itu dapat ditulis sebagai jumlah dari dua
determinan.
a1  d1
b1
c1
a1
b1
c1
b1
c1
a2  d 2 b2
c2  a2
b2
c2  d 2 b2
c2
a3  d3
c3
b3
c3
c3
b3
a3
d1
d3
b3
Teorema 5 (Penukaran baris atau kolom)
Jika sebarang dua baris (atau dua kolom) determinan dipertukarkan, maka nilai determinan itu
dikalikan dengan –1.
a2 b2
a1

b1
a1
b1
a2 b2
Teorema 6 (Baris-baris atau kolom-kolom yang sebanding)
Jika unsur-unsur yang berkaitan dari dua baris (atau dua kolom) suatu determinan adalah
sebanding, maka nilai determinan itu sama dengan nol.
a1 ka1
0
a2 ka2
Teorema 7 (Penambahan baris atau kolom)
Nilai suatu determinan tidak berubah jika unsur-unsur dari suatu baris (atau kolom) diubah
dengan menambahkan pada unsur-unsur tadi sebarang konstanta kali unsur-unsur yang
berpadanan dari sebarang baris (atau kolom secara berturut-turut) lainnya.
a1  kb1
b1
a2  kb2 b2

a1
b1
a2
b2
Contoh penggunaan teorema 7
Hitunglah
427 429
369 371

427 429  427
369 371  369
427 2

369 2

427  369 2  2
369
2

58
0
369 2
 116
Contoh penggunaan teorema 2 dan teorema 7
4 2 2
2 1 1
2 1 1
2 1 1
2 11 1
2 4 2  2 2 4 2  2.2 1 2 1  4.2 1 2 1  8 1 2  1 1 
2 2 4
2 2 4
2  2.1
0
1
8 1  2.1
1
1 8 1
1  2.2  1 2
[email protected]
0
2 2 4
0
1
1
18
 3 1 2
1
1 1 2
1
 3 1
8
1
1 1 2 2
1
 3 1 11
8
1 1
4 0
 8.4  32
6
Contoh :
Carilah nilai x dari determinan orde 3 berikut :
x
5
3
5
x 1
3
4
1 0
x2
Jawab :
Untuk jenis pertanyaan ini, kita coba mendapatkan faktor yang sama, jika mungkin. Sebagai
contoh, jika baris 2 dan 3 kita tambahkan pada baris 1, kita peroleh :
( x  2) ( x  2) ( x  2)
x 1
5
1
3
4
Keluarkan faktor yang sama (x + 2)
1
( x  2) 5
0
x2
1
1
x 1
1
0
3 4 x2
Jika kolom 2 dan kolom 3 kita kurangi dengan kolom 1, maka :
1
( x  2) 5
11
11
1
x 1 5
1 5
 ( x  2) 5
0
x4
0
4  0
3 43 x23
 3 1 x 1
Penjabaran sepanjang baris atas mengubahnya menjadi determinan orde kedua :
x4 4
( x  2)
0
1 x 1
Jika determinannya kita buka, maka diperoleh :
(x+2)[(x-4)(x+1)-4] = 0
(x+2) (x2 – 3 x – 8) = 0
x+2 = 0 atau x2 – 3x – 8 = 0
yang akhirnya memberikan x = -2 atau x = 0,5 (3  41)
[email protected]
7
Latihan Ujian :
1. Hitunglah :
1 1 2
1 2 3
(a) 2 1 1
(b) 3 1 2
1 2 1
2 3 1
2. Carilah harga x dengan cara determinan jika diberikan :
2 x + 3 y - z – 13 = 0
x–2y+2z+3=0
3 x + y + z – 10 = 0
3. Gunakanlah determinan untuk memecahkan secara lengkap :
x-3y+4z–5=0
2x+ y+z-3=0
4 x + 3y + 5z – 1 = 0
4. Carilah harga k agar persamaan-persamaan berikut sejalan
3x+5y+k=0
2x+ y-5=0
(k+1) x + 2y – 10 = 0
5. Pecahkanlah persamaan :
x 1  5
6
1
x
2
0
3
2
x 1
Soal-soal lanjutan (tugas mandiri)
1. Hitunglah :
3
5
7
1 428
861
(i) 11
9
13
(ii ) 2 535
984
15 17 19
2. Hitunglah :
25 3 35
(i) 16 10  18
3 642 1107
155 226 81
(ii ) 77
112 39
34 6 38
74 111 37
3. Pecahkan dengan cara determinan
4 x – 5 y + 7 z = -14
9 x + 2 y + 3 z = 47
x - y - 5 z = 11
4. Gunakanlah determinan untuk memecahkan sistem persamaan
4 x – 3 y + 2 z = -7
6 x + 2 y - 3 z = 33
2 x - 4 y - z = -3
[email protected]
8
5. Pecahkan dengan cara determinan
3 x + 2 y - 2 z = 16
4x+3y+3z=2
2 x - y + z = -1
6. Carilah harga  agar persamaan-persamaan berikut sejalan
5 x + (+1) y - 5 = 0
(-1) x + 7 y + 5 = 0
3x + 5 y +1=0
7. Tentukanlah harga k agar persamaan-persamaan berikut memiliki pemecahan
4 x - (k-2) y - 5 = 0
2x+
y - 10 = 0
(k+1) x - 4 y – 9 = 0
8. (a) Carilah harga-harga k yang memenuhi persamaan
k
1 0
1 0
1 k
0 1 k
(b) Faktorkanlah
1
1
1
a
b
c
3
3
c3
a
b
9. Pecahkanlah persamaan
x
2
3
2 x3
0
6
3
4
x6
10. Carilah harga-harga x yang memenuhi persamaan
x 3 x 2 x
3
3
1  0
2
2
2
11. Nyatakanlah
1
1
1
2
2
c2
a
b
sebagai perkalian faktor - faktor linear
(b  c) (c  a) (a  b)
12. Suatu jaringan resistif menghasilkan persamaan
2(i3 – i2) + 5(i3 – i1)
= 24
(i2 – i3) + 2 i2 + (i2 – i1) = 0
5 (i1 – i3) + 2 (i1 – i2) + i1 = 6
Sederhanakanlah persamaan tersebut dan kemudian gunakanlah determinan untuk
memperoleh harga i2 teliti sampai dengan dua angka berarti.
13. Tunjukkanlah bahwa (a + b + c) adalah faktor dari determinan
b  c a a3
c  a b b3
a  b c c3
2
2
[email protected]
2
9
14. Carilah harga k agar persamaan-persamaan berikut sejalan
x + (1+k) y + 1 = 0
(2 + k)x +
5 y – 10 = 0
x+
7 y + 9=0
15. Nyatakanlah
1  x2
yz 1
1 y
2
zx 1 sebagai perkalian empat faktor linear
1 z
2
xy 1
16. Pecahkanlah persamaan
x 1 x  2
3
2
x3
x 1  0
x3
1
x2
17. Jika x, y, z memenuhi persamaan
(0,5 M1 + M2) x – M2 y = W
-M2 x + 2 M2 y + (M1 – M2) z = 0
-M2 y + (0,5M1 + M2) z = 0
Hitunglah x dinyatakan dalam W, M1 dan M2
18. Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan
2 i1 + 3 i2 + 8 i3 = 30
6 i1 - i2 + 2 i3 = 4
3 i1 – 12 i2 + 8 i3 = 0
Dengan menggunakan determinan, carilah harga i1 dan dari sini carilah pemecahan
lengkap ketiga persamaan tersebut.
19. Jika k(x-a) + 2x – z = 0
k(y-a) + 2y – z = 0
k(z-a) – x – y + 2 z = 0
tunjukkanlah bahwa x = [ak(k+3)]/[k2 +4k+2]
20. Carilah suatu sudut di antara  = 0 dan  =  yang memenuhi persamaan
1  sin 2 
cos 2 
4sin 2
sin 
1  cos 
4 sin 2
sin 
cos 
1  4 sin 2
2
2
2
[email protected]
2
0
10