ANALISIS MODEL VEKTOR AUTO REGRESSION (VAR

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
2.1.1 Sistem Persamaan Linier
Salah satu masalah yang selalu dihadapi dalam mempelajari atau memecahkan problem
dalam bidang matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linier. Bentuk
umum persamaan linier adalah:
a1 x 1 + a2 x2 + a3 x 3 + . . . + an xn = b
(2.1)
dimana b merupakan faktor yang menghubungkan peubah-peubah x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n dan
a 1 , a 2 , a 3 , . . ., a n merupakan koefisien peubah dari persamaan (2.1). Kejadian yang
mungkin terjadi dari persamaan (2.1) adalah sebagai berikut:
1. Salah satu koefisien a i ≠ 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) misalnya a i ≠ 0, sehingga persamaan
dapat ditulis dengan: x 1 = a 1 -1b – a 1 -1 a 2 x 2 – a 1 -1 a 3 x 3 – a 1 -1 a 4 x 4 – . . . – a 1 -1 a n
x n . Dengan memberikan harga-harga sembarang untuk x 2 , x 3 , x 4 , . . ., x n , maka
harga x i dapat diketahui yang merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Kejadian
khusus dari persamaan ini adalah: ax = b, a ≠ 0 dengan penyelesaian: x = a-1 b
(unique solution).
2. Semua koefisien a i = 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) sedangkan koefisien b ≠ 0. Dengan
demikian persamaan (2.1) menjadi: 0 = b, b ≠ 0. Dalam hal ini persamaan tidak
mempunyai penyelesaian (no solution).
3. Semua koefisien a i = 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) dan b = 0. Dengan demikian persamaan
mula-mula menjadi 0 = 0. Artinya n buah bilangan di dalam R merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan (infinite number of solution).
Universitas Sumatera Utara
Contoh di bawah ini menunjukkan bahwa sistem persamaan linier dapat
mempunyai unique solution, no solution, infinite number of solution. Pandang sistem
persamaan linier dengan dua persamaan dengan dua peubah di bawah ini:
a11 x1 + a12 x2 = b1 

a21 x1 + a22 x2 = b2 
(2.2)
x2
unique solution
x1
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
Gambar 2.1 Garis berpotongan pada sebuah titik persekutuan
x2
no solution
x1
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
Gambar 2.2 Garis sejajar; tidak ada titik persekutuan
Universitas Sumatera Utara
x2
infinite number of solution
x1
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
Gambar 2.3 Garis berimpit; tidak dapat ditentukan banyaknya jumlah titik persekutuan
Sistem persamaan (2.2) diselesaikan dengan mengalikan persamaan pertama
dengan a 22 dan persamaan kedua dengan a 12 , sehingga diperoleh:
a11 a22 x1 + a12 a22 x2 = a22 b1 

a12 a21 x1 + a12 a22 x2 = a12 b2 
(2.3)
Bila persamaan pertama dikurang persamaan kedua, maka diperoleh:
a11 a22 x1 − a12 a21 x1 = a22 b1− a12 b2 

(a11 a22 − a12 a21 ) x1 = a22 b1 − a12 b2 
(2.4)
Jika a 11 a 22 – a 12 a 21 ≠ 0, maka harga x 1 dapat ditentukan yaitu:
x1 =
a22 b1 − a12 b2
a11 a22 − a12 a21
(2.5)
Dengan diperolehnya nilai x 1 dapat ditentukan nilai x 2 dari persamaan (2.2)
yang merupakan unique solution. Determinan persamaan (2.2) didefinisikan dengan:
a 11 a 22 – a 12 a 21
(2.6)
Dari hasil ini dapat ditentukan solusi persamaan (2.2) sebagai berikut:
1. Mempunyai unique solution jika dan hanya jika determinan≠ 0.
2. Tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai banyak penyelesaian jika dan
hanya jika determinan = 0.
Universitas Sumatera Utara
Suatu sistem persamaan linier (m x n) adalah kumpulan dari m buah sistem
persamaan dengan n peubah yang disajikan secara serentak. Secara umum sistem
persamaan linier tersebut berbentuk:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3 




 

am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 +  + amn xn = bm 
(2.7)
dimana: a 11 , a 12 , a 13 , . . ., a ij , . . ., a mn merupakan konstanta dari sistem persamaan,
sedangkan x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n merupakan peubah dan b 1 , b 2 , b 3 , . . ., b m merupakan nilai
masing-masing sistem persamaan dengan i = 1, 2, 3, . . ., m dan j = 1, 2, 3, . . ., n.
Contoh:
2 x1 + x2 − 3 x3 = 5 

3 x1 − 2 x2 + 2 x3 = 5 
5 x1 − 3 x2 − x3 =16
(2.7)
Jika semua konstanta b i = 0, (i = 1, 2, 3, . . ., m), maka sistem persamaan
disebut sistem persamaan linier homogen. Andaikan x i = k i , (i = 1, 2, 3, . . ., n)
memenuhi sistem persamaan (2.7), maka himpunan harga x i = k i , ditulis dengan x =
(x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n ) disebut penyelesaian partikulir dari sistem persamaan itu. Himpunan
dari semua penyelesaian disebut dengan penyelesaian umum.
Suatu sistem persamaan linier homogen dengan orde m x n, bentuk umumnya
dapat ditulis sebagai berikut:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = 0 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = 0 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = 0 




 

am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 +  + amn xn = 0 
(2.8)
dimana: a ij merupakan konstanta dengan 1≤
i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sedangkan x i sebagai
peubah (1 ≤ i ≤ n).
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
2 x1 + x2 − 3x3 = 0

3 x1 − 2 x2 + 2 x3 = 0
5 x1 − 3 x2 − x3 = 0 
(2.8)
Bila sistem persamaan linier disajikan secara serentak dimana jumlah peubah
sama dengan jumlah persamaan, maka bentuk umumnya adalah:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3 




 

an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 +  + ann xn = bn 
(2.9)
dimana: a ij sebagai koefisien dan b i konstanta dari sistem persamaan linier dengan
peubah x j, i = j = 1, 2, 3, . . ., n. Dalam bentuk lain sistem persamaan linier ini dapat
disajikan sebagai berikut:
n
∑a
j =1
ij
x j = bi ,
i =1, 2, 3, ..., n.
2.1.2 Matriks
Penggunaan operasi matriks memberikan proses yang teratur dan logis yang dapat
diterima untuk penyelesaian komputer dalam sistem persamaan-persamaan simultan.
Pandang sistem persamaan linier dengan tiga persamaan, tiga peubah sebagai
berikut:
x1 + x2 − 3 x3 = 4 

2 x1 − 2 x2 + 2 x3 =1 
5 x1 − 3 x2 − x3 = 3 
(2.9)
Universitas Sumatera Utara
Jika koefisien sistem persamaan linier tersebut ditulis dalam bentuk array empat
persegi panjang (rectangular array), maka diperoleh:
1 1 − 3
2 − 2 2 


5 − 3 − 1 
yang menggambarkan tentang informasi sebelah kiri ketiga persamaan tersebut. Suatu
array empat persegi panjang yang diurutkan disebut matriks. Secara umum perhatikan
matriks m buah persamaan linier dengan n peubah di bawah ini:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3 




 

am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 +  + amn xn = bm 
(2.7)
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk array empat persegi
panjang dan dinamakan matriks A yaitu:
a11
a
 21

A = a31

 
am1

a12 a13  a1n 
a22 a23  a2 n 
a32 a33  a3n 

 
 
am 2 am 3  amn 
Susunan array yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n
kolom disebut matriks m x n atau matriks berorde m x n. Komponen ke-ij matriks A
dinotasikan dengan a ij , yang merupakan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A.
Dalam bentuk lain, matriks A dapat ditulis A = (a ij ).
Bila A adalah matriks m x n dimana m = n, maka matriks A disebut matriks
bujur sangkar (square matriks).
Universitas Sumatera Utara
Definisi 1
Andaikan A = (a ij ) matriks berorde m x n. Transpose dari A ditulis At, adalah matriks
berorde n x m yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Jelasnya
dapat ditulis: At = (a ij). Dalam bentuk lain:
a11
a
 21
Jika A = a31

 
am1

a12 a13  a1n 
a22 a23  a2 n 
a32 a33  a3n 

 
 
am 2 am 3  amn 
a11
a
 12
maka At = a13

 
a1n

a21 a31  am1 
a22 a32  am 2 
a23 a33  am 3 

 
 
a2 n a3n  amn 
Jelasnya, letak baris ke-i dari A adalah kolom ke-i pada At dan kolom ke-j dari A
adalah baris ke-j pada At.
Definisi 2
Matriks bujursangkar A beorde n x n disebut simetrik jika At = A. Suatu matriks
bujursangkar disebut upper triangular bila semua komponen di bawah diagonal nol
dalam bentuk lain ditulis: A = (a ij) upper triangular jika a ij = 0, i > j. Suatu matriks
bujursangkar disebut lower triangular bila semua elemen di atas diagonal nol dalam
bentuk lain ditulis: A = (a ij) jika a ij = 0, i < j. A = (a ij) matriks diagonal jika a ij = 0, i ≠
j.
Definisi 3
Andaikan A = (a ij ) dan B = (b ij ) adalah matriks berorde m x n. Jumlah A dan B adalah
matriks A + B dengan orde m x n yang dinyatakan dengan:
 a11 + b11 a12 + b12  a1n + b1n 
 a +b a +b  a +b 
2n
2n 
A + B = (aij + bij ) =  21 21 22 22
 





am1 + bm1 am 2 + bm 2  amn + bmn 
Universitas Sumatera Utara
Definisi 4
Jika A = (a ij ) matriks berorde m x n dan jika α adalah saklar, maka matriks αA berorde
m x n yang dinyatakan dengan:
αa11 αa12  αa1n 
αa αa  αa 
22
2n 
αA = α (aij ) =  21
 

 


αam1 αam 2  αamn 
Definisi 5
Andaikan A = (a ij ) matriks berorde m x n dengan elemen baris ke-i dinotasikan dengan
a i . Andaikan B = (b ij ) matriks berorde n x p dimana elemen kolom ke-j dinotasikan
dengan b j . Maka product (perkalian) A dan B adalah matriks C = (c ij ) dengan orde m x
p dimana c ij = a i b j . Elemen ke-ij dan AB adalah perkalian saklar baris ke-i dari A(a i )
dan kolom ke-j dari B(b j ). Hal ini dinyatakan dengan:
Cij = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + ... + ain bnj
Contoh:
Jika A = [a ij ] koefisien matriks berorde m x n dan x = (x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n ) adalah
matriks kolom berorde n x 1, sehingga product matriks Ax adalah matriks berorde m x 1
yaitu:
a11
a
 21
Ax = a31

 
am1

a12 a13  a1n 
a22 a23  a2 n 
a32 a33  a3n 

 
 
am 2 am 3  amn 
 x1 
x 
 2
 x3 
 

 xn 
 
a11 x1 + a12 x2 +  a1n xn 
a x + a x +  a x 
2n n 
 21 1 22 2
Ax = a31 x1 + a32 x2 +  a3n xn 



 
 
am1 x1 + am 2 x2 +  amn xn 


Universitas Sumatera Utara
Bila sistem persamaan di atas disamakan dengan b yang merupakan vektor
kolom, maka Ax = b yang dinyatakan dengan:
a11 x1 + a12 x2 +  a1n xn 
b1 
a x + a x +  a x 
b 
2n n 
 21 1 22 2
 2
a31 x1 + a32 x2 +  a3n xn  = b3 


 

 
 
 


bm 
 
am1 x1 + am 2 x2 +  amn xn 
Definisi 6
Identitas matriks bujursangkar berorde n x n adalah matriks berorde n x n dimana
semua elemen diagonal adalah 1 (satu) dan elemen yang lain 0 (nol) dan dapat
dinotasikan dengan:
1 jika i = j
I n = (b ij) dimana bij = 
0 jika i ≠ j
; i = j = 1, 2, 3, . . ., n
(2.10)
Teorema 1
Andaikan A matriks bujursangkar berukuran n x n, maka:
A In = In A = A
Catatan: Fungsi I n pada matriks n x n sama dengan fungsi bilangan 1 (satu) dalam
bilangan riel (sebab: 1 . a = a . 1 = a, ∀ a ε R).
Bukti:
Andaikan c ij elemen ke-ij dari A I n , maka dapat ditulis:
c ij = a i1 b i1 + a i2 b i2 + . . . + a ij b ij + . . . + a in b in
dari persamaan (2.10) jumlah c ij = a ij , sehingga A I n = A. Dengan cara yang sama dapat
diperlihatkan A I n A = A. Jelas terbukti.
Notasi: Untuk lebih singkatnya identitas ditulis I.
Definisi 7
Misalkan A dan B matriks berukuran n x n. Andaikan bahwa: A B = B A = I. B disebut
invers dari mariks A dinotasikan dengan A-1, untuk lebih jelasnya ditulis: AA-1 = A-1A =
Universitas Sumatera Utara
I. Jika matriks A mempunyai invers maka matriks A disebut invertible. Dari definisi di
atas diperoleh bahwa (A-1)-1 = A bila A invertible.
Teorema 2
Bila matriks A invertible, maka inversnya unique (tunggal)
Bukti:
Andaikan B dan C invers dari matriks A. Akan diperlihatkan B = C. Dari definisi
diketahui bahwa AB = BA = I dan AC = CA = I. Maka B(AC) = BI = B dan B(AC) = IC
= C. B(AC) = (BA)C sebab berlaku hukum assosiatif dalam perkalian matriks. Dengan
demikian B = C, sehingga pernyataan diatas terbukti.
Teorema 3
Andaikan A dan B matriks berorde n x n yang invertible. Maka AB invertible dan (AB)-1
= B-1 A-1.
Bukti:
Untuk membuktikannya, akan diarahkan ke definisi 7.
B-1A-1 = (AB)-1 jika dan hanya jika B-1A-1(AB) = (AB)(B-1A-1) = I.
(B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1IB = B-1B = I dan
(AB)(B-1A-1) = A (BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I
Pandang sistem persamaan (2.9) dengan n persamaan dan n peubah, dapat
dinyatakan dengan: AX = b dan andaikan A invertible. Maka persamaan dapat ditulis
dalam bentuk: A-1AX = A-1b (kedua ruas persamaan dikali dengan A-1)
IX = A-1b
; A-1A = I
X = A-1b
; IX = X
Sehingga dapat disimpulkan, bila A invertible, sistem pesamaan AX = b
mempunyai unique solution: X = A-1 b
Universitas Sumatera Utara
2.2 Metode Cramer
Sebelum diuraikan bagaimana metode cramer digunakan dalam meyelesaikan sistem
persamaan linier non-homogen, maka akan diuraikan terlebih dahulu faktor-faktor yang
mendukung metode cramer.
Teorema 4
Jika A invertible det A ≠ 0, maka det A-1 =
1
det A
Bukti:
Dari sifat-sifat aljabar diketahui bahwa:
1 = det I = det A A-1 = det A det A-1 dimana hal ini ekivalen dengan: det A-1 =
1
det A
Sebelum digunakan determinan untuk menghitung invers, akan didefinisikan
tentang adjoint matriks A = (a ij). Misalkan B = (A ij ) matriks kofaktor dari A sehingga:
 A11
A
 21
B =  A31

 
 A1n

A12 A13  A1n 
A22 A23  A2 n 
A32 A33  A3n 



 
A2 n A3n  Ann 
Definisi 8
Andaikan A matriks berorde n x n dan B matriks kofaktor. Adjoint A ditulis adj A
adalah transpose matriks B berorde n x n yaitu:
 A11
A
 12
t
adj A = B =  A13

 
 An1

A21 A31  An1 
A22 A32  An 2 
A23 A33  An 3 

 
 
An 2 An 3  Ann 
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
2 4 3 
Misalkan: A = 0 1 − 1
3 5 7 
Dari matriks di atas diperoleh: A 11 = 12, A 12 = 3, A 13 = -3, A 21 = -13, A 22 = 5, A 23 =
2, A 31 = -7, A 32 = 2, A 33 = 2.
maka:
 12 3 − 3 
B = − 13 5 2  dan Adj A = Bt =

 − 7 2 2
 12 − 13 − 7 
 3
5 2 

− 3 2 2 
Teorema 5
Andaikan A matriks berorde n x n. A invertible jika dan hanya jika det A ≠ 0. Jika det A
≠ 0 maka:
A-1 =
1
adj A
det A
Bukti:
 1

1
Karena A ≠ 0, maka: (A) 
( A (adj A) ) = 1 (det A) I = I .
adj A =
det A
 det A
 det A
Sebab diketahui bahwa jika A B = I
maka B = A-1. Dengan demikian:
1
adj A = A−1
det A
Pandang sistem persamaan linier non-homogen dengan n persamaan dan n
peubah dibawah ini:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3 




 

an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 +  + ann xn = bn 
(2.9)
Universitas Sumatera Utara
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk:
Ax = b
(2.11)
dimana:
a11
a
 21
A = a31

 

an1
a12 a13  a1n 
 x1 
b1 


b 

a22 a23  a2 n 
 x2 
 2
a32 a33  a3n  , x =  x3  , b = b3 

 
 


 


 
bn 
an 2 an 3  ann 
 xn 
 
Jika det A ≠ 0 maka persamaan (2.11) mempunyai unique solution yang
ditentukan oleh: x = A-1 b.
Misalkan D = det A. Didefinisikan matriks baru yaitu:
b1
b
 2
A1 = b3


bn

a11
a
 21
An = a31

 
an1

a12
a22
a32

an 2
a12
a22
a32

an 2
a13  a1n 
a11

a
a23  a2 n 
 21

a33  a3n , A2 = a31



 
 
an1
an 3  ann 

b1 a13  a1n 
b2 a23  a2 n 
b3 a33  a3n  , . . .,

 
 
bn an 3  ann 
a13  b1 
a23  b2 
a33  b3 


 
an 3  bn 
A i adalah matriks yang diperoleh dengan menempatkan pada kolom ke-i dari A dengan
matriks kolom b. Misalkan D 1 = det A 1 , D 2 = det A 2 , . . ., D n = det A n .
Teorema 6 (Cramer’s Rule)
Andaikan A matriks berorde n x n dan det A ≠ 0. Penyelesaian tunggal (unique
solution) dari sistem persamaan Ax = b ditentukan oleh:
Universitas Sumatera Utara
x1 =
D1
D
D
D
, x2 = 2 , x3 = 3 , . . . , xn = n
D
D
D
D
Bukti:
Penyelesaian dari Ax = b adalah x = A-1 b dimana:
 A11
A
12
1
1 
−1
 A13
A b = (adj A) b =
D
D 
 
 A1n

A21
A22
A23

A2 n
A31  An1 
A32  An 2 
A33  An 3 


 
A3n  Ann 
b1 
b 
 2
b3 
 

bn 
 
Sehingga (adj A)b adalah merupakan n-vektor yaitu:
(A
1j
A2 j
b1 
b 
 2
A3 j  Anj ) . b3  = b1 A1 j + b2 A2 j + b3 A3 j +  + bn Anj
 

bn 
 
Pandang matriks A j :
a11
a
 21
a j = a31

 
an1

a12  b1  a1n 
a22  b2  a2 n 
a32  b3  a3n 



 
an 2  bn  ann 
kolom ke-j
Bila ditentukan determinan dari A j pada kolom ke-j, diperoleh:
1. D j = b 1 (kofaktor dari b 1 ) + b 2 (kofaktor dari b 2 ) + b 3 (kofaktor dari b 3 ) + . . . +
b n (kofaktor dari b n ).
2. Kofaktor dari b j diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari A j
(sebab b i berada pada kolom ke-j di A j). Tetapi kolom ke-j dari A j adalah b,
sehingga diperoleh minor ij, M ij dari A.
maka kofaktor dari b i pada A j = A ij sehingga:
D j = b 1 A 1j + b 2 A 2j + b 3 A 3j + . . . +b n A nj .
Universitas Sumatera Utara
Komponen ke-i dari (adj A)b adalah D i dan diperoleh:
 D1   D1 / D 
 x1 
D  D / D
x 
2
2

 2
1   
−1





x = x3 = A b =
D3 = D3 / D 
D   

 
     

 Dn   Dn / D 
 xn 

  
 
2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Pandang sistem persamaan linier non-homogen di bawah ini:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3 




 

an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 +  + ann xn = bn 
(2.9)
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien matriks sebagai
berikut:
a11
a
 21
a31

 
an1

a12
a22
a32

an 2
a13  a1n 
a23  a2 n 
a33  a3n 


 
an 3  ann 
b1 
 x1 
b 
x 
 2
 2
 x3  = b3 
 
 


bn 
 xn 
 
 
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks yang diperbesar
(augmented matrix) yang bentuknya seperti di bawah ini:
Universitas Sumatera Utara
a11
a
 21
a31

 
an1

a12
a13  a1n
a22
a23  a2 n
a32
a33  a3n

an 2


an 3  ann
b1 
b2 
b3 

 
bn 
Untuk menentukan nilai-nilai x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n , maka matriks yang diperbesar
(augmented matrix) di atas harus diubah kedalam bentuk echelon dengan proses
pengerjaan sebagai berikut:
1. Gunakan a 11 sebagai pivot pertama untuk mengeliminasi elemen-elemen a 21 , a 31 ,
a 41 , . . ., a n1 menjadi 0 (nol).
Proses sebagai berikut:
a. M 21 (-a 21 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a 21 /a 11 ) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris kedua.
b. M 31 (-a 31 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a 31 /a 11 ) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris ketiga.
c. M 41 (-a 41 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a 41 /a 11 ) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris keempat. Hal ini dilakukan hingga elemen ke-n.
d. M n1 (-a n1 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a n1 /a 11 ) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris ke-n.
maka diperoleh matriks di bawah ini:
a11
0

0

 
0

a12
a13  a1n
a22
a23  a2 n
a32
a33  a3n

an 2


an 3  ann
b1 
b2 
b3 

 
bn 
2. a 22 digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a 12 , a 32 ,
a 42 , . . ., a n2 menjadi 0 (nol), dengan operasi:
a. M 12 (-a 12 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a 12 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris pertama.
Universitas Sumatera Utara
b. M 32 (-a 32 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a 32 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ketiga.
c. M 42 (-a 42 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a 42 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris keempat.
d. M n2 (-a n2 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a n2 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ke-n.
maka diperoleh matriks di bawah ini :
a11 0
0 a
22

0 0

  
0 0

a13  a1n
a23  a2 n
a33  a3n


an 3  ann
b1 
b2 
b3 

 
bn 
3. a 33 digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a 13 , a 23 ,
a 43 , . . ., a n3 menjadi 0 (nol) dengan operasi;
a. M 13 (-a 13 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a 13 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris pertama.
b. M 23 (-a 23 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a 23 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ketiga.
c. M 43 (-a 43 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a 43 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris keempat.
d. M n3 (-a n3 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a n3 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ke-n.
maka diperoleh matriks di bawah ini:
a11 0
0 a
22

0 0

  
0 0

0  a1n
0  a2 n
a33  a3n


0  ann
b1 
b2 
b3 

 
bn 
Operasi di atas terus dilakukan hingga a nn sebagai elemen pivot ke-n, untuk
mengeliminasi a 1n , a 2n , a 3n , . . ., a (n-1)n menjadi 0 (nol) dengan operasi:
Universitas Sumatera Utara
a. M 1n (-a 1n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a 1n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris pertama.
b. M 2n (-a 2n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a 2n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris kedua.
c. M 3n (-a 3n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a 3n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ketiga.
d. M (n-1)n (-a (n-1)n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a (n-1)n /a nn ) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris ke-(n – 1).
sehingga diperoleh bentuk matriks di bawah ini:
a11( n −1) 0
0  0

( n −1)
0  0
 0 a22
 0
( n −1)
a33
 a3( nn −1)
0

 




( n −1)
0
0  ann
 0
b1( n −1) 

b2( n −1) 
b3( n −1) 
 

bn( n −1) 

dari matriks di atas ini nilai-nilai x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n dinyatakan dengan:
x1 = b1( n −1) / a11( n −1) ,
( n −1)
,
x2 = b2( n −1) / a22
( n −1)
,
x3 = b3( n −1) / a33
( n −1)
, . . .,
x4 = b4( n −1) / a44
( n −1)
.
xn = bn( n −1) / ann
2.4 Bahasa C
Bahasa C merupakan perkembangan dari bahasa BCPL yang dikembangkan oleh
Martin Richards pada tahun 1967. Selanjutnya bahasa ini memberikan ide kepada Ken
Thompson yang kemudian mengembangkan bahasa yang disebut bahasa B pada tahun
1970. Perkembangan selanjutnya dari bahasa B adalah bahasa C oleh Dennis Ricthie
sekitar tahun 1970-an di Bell Telephone Laboratories Inc. (sekarang adalah AT&T Bell
Laboratories). Bahasa C pertama kali digunakan di komputer Digital Equipment
Universitas Sumatera Utara
Corporation PDP-11 yang menggunakan system operasi UNIX. Hingga saat ini
penggunaan bahasa C telah merata di seluruh dunia. Selain itu, banyak bahasa
pemrograman populer seperti PHP dan Java menggunakan sintaks dasar yang mirip
bahasa C.
2.4.1 Struktur Program Bahasa C
Setiap bahasa komputer mempunyai struktur program yang berbeda. Jika struktur dari
program tidak diketahui, maka akan sulit untuk memulai menulis suatu program
dengan bahasa yang bersangkutan. Struktur dari program memberikan gambaran secara
luas dari bentuk program.
Struktur dari program Bahasa C dapat dilihat dari kumpulan sebuah atau lebih
fungsi-fungsi. Fungsi pertama yang harus ada dalam program Bahasa C sudah
ditentukan namanya, yaitu bernama main(). Suatu fungsi dalam program Bahasa C
dibuka dengan kurung kurawal ({) dan di tutup dengan kurung kurawal (}). Di antara
kurung-kurung kurawal dapat dituliskan statemen-statemen program Bahasa C. Berikut
ini adalah struktur program Bahasa C.
a. Struktur Program Bahasa C
main()
{
fungsi utama
statemen-statemen;
}
Fungsi_Fungsi_Lain()
{
statemen-statemen;
fungsi-fungsi lain yang
ditulis oleh pemrogram
}
Universitas Sumatera Utara
b. Program Bahasa C yang Sederhana
statemen-statemen dalam program
Bahasa C berbentuk kata kunci
komentar
/* Program Bahasa C Yang Sederhana */
#include<stdio.h>
main()
nama fungsi
{
float Celcius, Fahrenheit;
printf(“Masukkan Nilai Celcius ?”);
pendeklarasian variabel
scanf(“%f”,&Celcius);
/* Menghitung Konversi */
Fahrenheit = Celcius * 1.8 + 32;
printf(“%f celcius adalah %f fahrenheit\n”, Celcius, Fahrenheit);
}
bagian suatu fungsi
contoh perintah
Jika program ini dijalankan akan didapatkan hasil:
Masukkan Nilai Celcius ? 10
10.000000 celcius adalah 50.000000 fahrenheit
2.4.2 Fungsi Input/Output
a. printf()
Universitas Sumatera Utara
Fungsi
: Mencetak output ke layar
Include
: #include<stdio.h>
Hasil
: Menghasilkan jumlah byte dari output tersebut, bila gagal print
menghasilkan end of file
Contoh
:
printf(“SUKSES SELALU”);
Tabel 2.1 Kode-Kode Format untuk Fungsi printf()
Kode Format
Kegunaan
%c
Menampilkan sebuah karakter
%s
Menampilkan nilai string
%d
Menampilkan nilai desimal integer
%i
Menampilkan nilai desimal integer
%f
Menampilkan nilai pecahan
b. scanf()
Fungsi
: Membaca data dari stdin
Include
: #include<stdio.h>
Hasil
: Data tersebut, bila salah atau menjumpai end of file maka hasilnya
adalah NULL
Contoh
:
printf(“Jari-Jari Lingkaran: “);
scanf(“%f”, & jari);
c. getch()
Fungsi
: Membaca karakter dari keyboard, hasilnya tidak ditampilkan dilayar
Include
: #include<conio.h>
Hasil
: Karakter yang diketikkan
Contoh
:
printf(“Ketikkan suatu huruf (A-Z)“);
getch();
d. getche()
Fungsi
: Membaca karakter dari keyboard, hasilnya tidak ditampilkan dilayar
Universitas Sumatera Utara
Include
: #include<conio.h>
Hasil
: Karakter yang dibaca dari layar
Contoh
:
printf(“Tekan Sembarang Tombol“);
x = getche();
e. putch()
Fungsi
: Mencetak karakter di layar
Include
: #include<conio.h>
Hasil
: Karakter yang dicetak, bila terjadi kesalahan fungsi ini memberi nilai
end of file
Contoh
:
putch(karakter);
f. puts()
Fungsi
: Mencetak string ke stdout
Include
: #include<stdio.h>
Hasil
: Bila berhasil akan memberikan nilai non-negatif, bila gagal akan
menghasilkan end of file
Contoh
:
char teks[ ] = “Selamat”;
puts(teks);
2.4.3 Jenis-Jenis Variabel dalam Bahasa C
Variabel-variabel dalam Bahasa C digolongkan menjadi dua bagian yaitu variabel
numerik dan variabel teks.
1. Variabel numerik digolongkan atas:
a. Bilangan Bulat atau Integer
Integer mampu menampung bilangan bulat yang berkisar antara -32.786 sampai
dengan 32.786.
Universitas Sumatera Utara
b. Floating Point
Dalam bentuk bilangan berpangkat, floating point dapat menampung data dari
10
-38
sampai dengan 1038, sedang dalam bentuk desimal dapat menampung hingga
enam desimal.
Contoh : nilai_max = 102.234567
hasil
= 1.34566e – 20
c. Double Precision
Dalam bentuk bilangan berpangkat, double precision dapat mengolah angka
berkisar 10-308 sampai dengan 10308, sedang dalam bentuk desimal dapat menampung
15 digit.
Contoh : teliti
= 1234.5678901234
std_dev
= 1.34567e – 100
2. Variabel teks dibedakan atas:
a. Karakter (Tunggal)
Variabel ini digunakan untuk menampung sebuah karakter ataupun variabel
yang dikonversikan dalam bentuk bilangan (ASCII code).
b. String
String merupakan rangkaian dari beberapa karakter yang diakhiri dengan
karakter NULL (‘\0’). Untuk menggunakan variabel-variabel di atas dalam Bahasa C
maka variabel haruslah diperkenalkan kepada Bahasa C yang dikenal dengan istilah
deklarasi variabel.
Contoh:
int gaji
nama variabel
type variabel
Bila dideklarasikan variabel total sebagai integer, variabel nilai_akhir sebagai
floating point, variabel jumlah sebagai double precision, ini dinyatakan dengan:
int total;
float nilai_akhir;
double jumlah;
Tabel 2.2 Tipe Variabel
Universitas Sumatera Utara
Tipe Variabel
Simbol Deklarasi
Format Specifier
Integer
int
%d
Floating Point
float
%f
Double Precision
double
% lf
Karakter
char
%c
Universitas Sumatera Utara