modul matriks smk kelas x

SMK NEGERI 5 MALANG
Kata Pengantar
\
Modul Matematika
Untuk TKJ, RPL, dan ANIMASI
Hanya Untuk Kalangan Sendiri
Dilarang Mengcopy atau Memperbanyak Tanpa Seijin Penyusun
Matriks
MATRIKS
A. PENGERTIAN MATRIKS
1. Definisi Matriks
Matriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam
bentuk baris dan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di
tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ].
Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar
dalam matriks.
Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam
matriks.
Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst.
Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut :
Keterangan :
a
= Notasi matriks
i j
= Ordo matriks
i
= Banyak baris
j
= Banyak kolom
Contoh Soal 1:
A33
1 2 3
  5 7  6
 3 8  2
Ordo matriks adalah 3  3
1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1
5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1
3 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3
2. Jenis-jenis Matriks
1. Matriks Persegi
Yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
(m = n)
1 2 
Contoh : A22  

 2 3
2. Matriks Baris
Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris
Contoh : A  1 3 5 7
Halaman 2
Matriks
3. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu kolom
1
Contoh : A  3
 
5
4. Matriks Nol
Yaitu matriks yang seluruh elemennya adalah 0
0 0
Contoh : A  

0 0
B  0
5. Matriks Identitas / Satuan
Yaitu matriks bujur sangkar yang elemen pada diagonal utamanya
adalah 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol).
1 0
Contoh : A  

0 1
1 0 0
B  0 1 0
0 0 1
6. Matriks Diagonal
Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal
utamanya adalah 0 (nol)
  2 0
Contoh : A  

 0 1
1 0 0
B   0 2 0
 0 0 3
Matriks sama : matriks A = matriks B, maka elemen yang seletak sama.
a b 
 p q
 c d  =  r s   a  p, b  q, c  r , d  s




7. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya
sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
4 0
Contoh : A  

0 4
2 0 0
B  0 2 0
0 0 2
8. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Halaman 3
Matriks
Contoh :
1 2 4 
0  1 4 


0 0 6
9. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di
atas diagonal utamanya bernilai nol.
2 0 0
D   2 1 0 
 4 5  4
3. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo
yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua
matriks tersebut sama.
Contoh Soal 1:
1 2
Diketahui matriks A  

3 4
1  3
1 2
B
C 


3 4 
3 4
Tentukan:
a. Apakah matriks A = B?
b. Apakah matriks A = C?
Jawab:
a. Matriks A  matriks B karena ada satu elemen matriks A dan B yang
seletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 2 ≠ –3.
b. Matriks A = matriks B, karena anggota pada matriks A sama dan
seletak dengan anggota pada matriks B
Contoh Soal 2:
Diketahui matriks-matriks berikut.
2  7 
2  7
A
B

 . Jika A = B, tentukan nilai x dan y.
5 4 
x 2 y 
Jawab:
Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh:
x = 5 dan 2y = 4
y=2
Halaman 4
Matriks
Jadi, nilai x = 5 dan y = 2
4. Transpose Matriks
Adalah matriks baru yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom
Tranpose matriks di notasikan At (dibaca: A transpose).
Sehingga tranpose matriks A adalah At
a1
Jika A  
b1
a2
b2
 a1
a3 
t
, maka A  a 2

b3 
 a3
b1 
b2 
b3 
Jika matriks A berordo m × n maka transpos A memiliki ordo n × m.
Secara Umum bisa dituliskan :
Am n
, maka
At nm
Contoh Soal:
2 7 
1. A22  

1 4 
2. B23
maka
6 0 3


2 6 1
2 1 
At 22  

7 4 
maka
Bt 32
6 2 
 0 6
3 1
Latihan Soal 1
 2 8 3 4
1. Diketahui matriks A = 1 1 0 5 . Tentukan :


7 6  2 0
a) Ordo matriks A
b) Elemen kolom ke-4
c) Elemen yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3
d) Ordo matriks At dari matriks A
1 1  2 4 
0 1
1  3

2. Diketahui matriks B =
. Tentukanlah:
2  1 1
0


2
5
3 1
a) banyaknya baris dan kolom
b) elemen-elemen pada setiap baris
Halaman 5
Matriks
c) elemen-elemen pada setiap kolom
d) letak elemen-elemen berikut:
(i) - 2
(iii) 4
(ii) - 3
(iv) 5
3. Buatlah :
a. Matriks kolom
b. Matriks segitiga atas
c. Matriks segitiga bawah
d. Matriks diagonal utama
e. Matriks identitas berordo 3  3
4. Tentukan matriks transpose dari :
 4  2
c. B = 

3 0 
a. A = 4 1 3
6 
2 3 1
b. C = 1 
d. D = 
4 2 0 

3
5. Tentukan nilai a dan b dari matriks berikut :
 0 4  0 4
a. 


 a 3b  5 15
 a  6   7 
b. 
 
 8  8
2a 1  10 1 
c. 


 3  3b  3 12
6. Tentukanlah p dan x , jika At = B.
8 1 
2 p
a. A  
dan B  

0  6 
1
0 
p  x 
3 p
1  6
 1
b. A  
dan B  


8 2 
x  2 p 2 
7. Diketahui matriks :
 a log b b 
 3 10  a 
A 
, B 3
b  2c 
16
a
 8
Tentukan nilai a, b dan c agar matriks A sama dengan matriks B.
 3a 4c 
 6 3b 
 , dan A = B. Nilai b + c = …
 , B = 
8. Diketahui A = 
 0 2a 
0 b
Halaman 6
Matriks
 4x 2x  y  8 6 
 = 
 , maka nilai x, y, z berturut-turut adalah ....
9. Jika matriks 
2
x

2
z
5
12

 

 5 a 3  5 2 3 
 = 
 , nilai dari a2 + 3b - c = ....
10. Diketahui matriks 
 b 2 c   2a 2 ab 
B. OPERASI ALJABAR MATRIKS
1. Operasi Penjumlahan
Operasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila
matriks – matriksnya mempunyai ordo sama.
a
A 1
a3
a2 
a4 
a
A B   1
a3
b b 
B   1 2
b3 b4 
a2  b1 b2   a1  b1


a4  b3 b4  a3  b3
a2  b2 
a4  b4 
Contoh Soal 1:
3 5
 11  3
Diketahui matriks A = 
, matriks B = 

 . Hitung A + B!
7 2 
 7 9 
Jawab:
3 5  11  3  3  11 5  (3) 14 2 

A + B =


2  9   0 11
7 2  7 9  7  (7)
2. Operasi Pengurangan
Pengurangan dua matriks harus memiliki ordo sama
a
A 1
a3
a2 
a4 
a
A B   1
a3
b1
, B
b3
b2 
b4 
a2  b1 b2   a1  b1


a4  b3 b4  a3  b3
a2  b2 
a4  b4 
Contoh Soal 2:
  4 0
6 4
Diketahui A = 
; B =

 . Hitung A – B!
 3 6
 2 4
Jawab:
 4 0 6 4  4  6 0  4  10  4
A – B =
 =

 =
2 
 3 6   2 4   3  2 6  4  1
Halaman 7
Matriks
Contoh Soal 3 :
Tentukan matriks A dari persamaan matriks berikut
 4 6   2 4
A 


1  4   3 1 
Jawab:
 2 4   4 6   2  4 4  6    2  2
A =

 =
 =
5 
3 1 1  4  31 1 (4)  2
Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka
berlaku sifat-sifat berikut:
1. A + B = B + A (Komutatif )
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif )
3. A – B ≠ B – A (Anti Komutatif )
Latihan Soal 2
1. Diketahui matriks :
1 2
B =

 3 2
0 1 
C =
 . Hitung :
3 3
a. B + C
b. Bt + C
2. Diketahui matriks-matriks berikut.
 1  2
 5 5 
  3 4




A   2 1  ; B   2 1 ; dan C   2 3 


1 
 6 3
 4
 1  4
Tentukanlah:
a.
A+B
c.
A + (B + C)
b.
A + Bt
d.
(A + Bt) + C
3. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :
0 5
a.     
  4   4
 6 8 1 4 
b. 


 7 4  3  2
4. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :
Halaman 8
Matriks
 4 0  5  4 
a. 


 3 1  0 3 
y  4 x 4 y 
 x
b. 


 x 3 y  3 x  y 
5. Tentukan hasil pengurangan dari matriks berikut :
4 0 5  4
a. 


3 1 0 3 
y  4 x 4 y 
 x
b. 


 x 3 y  3 x  y 
 4  6
8 0 
B
6. Diketahui : A  


 3 1 
3  4
2  3
D

4 2 
2 0 
C

 3  2
Hitung :
a. A – B
c. (A + B) – C
b. A – (D – B)
d. (A – B) + (C – D)
7. Tentukan matriks A, B dari persamaan matriks berikut :
  4 1  5 0 
a. A  


 0 6  6 1 
 5 1
2 3
P
b. 


  2 0
0 5
8. Tentukan matriks P, S dari persamaan matriks berikut :
 4 2 5 6
a. B  


1 3 2 0
2 0 1 2 
b. 

S
1 3 5  6
9. Diketahui matriks-matriks berikut.
1 3 2 
1 3 2




A    1 0 4  dan B    1 0 4 
 5 4  3
 5 4  3




Tentukanlah matriks C yang memenuhi 3C - 2A = B.
 5 3  c
 + 
10. Diketahui penjumlahan matriks : 
 2 a d
b  14 14 
 =
.
 4   2  2 
Nilai a, b, c, dan d berturut-turut adalah .......
3. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen
matriks A dengan k.
a
K 1
a3
a2   K  a1

a4   K  a3
K  a2 
K  a4 
Halaman 9
Matriks
Contoh Soal :
 6 0
Jika diketahui K = 4 dan matriks A = 
 . Hitung K  A !
 3 7 
Jawab :
40  24 0 
 6 0  46

K  A = 4 



 3 7 4(3) 47 12 28
Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo
sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut
1. aD + aH = a(D + H)
2. aD + bD = (a + b)D
3. a(bD) = (ab)D
4. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanya jika
banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolom
matriks A.
Matriks Amn  Bn p  Cm p
Ordo hasil perkalian
b1
1. Jika matriks A1  2 = a1 a2  dan matriks B2  2 = 
b3
Maka A  B = a1
b
a 2   1
b3
 a1  b1  a2  b3
 a1
2. Jika matriks A2  2 = 
 a3
Maka
 a1
A  B =
 a3
b2 
b4 
b2 
b4 
a1  b2  a2  b4 
a2 
b1 b2 
dan matriks B2  2 = 


a4 
b3 b4 
a2 
b1 b2 
 


a4 
b3 b4 
a1  b1  a2  b3 a1  b2  a2  b4 
=

a3  b1  a4  b3 a3  b2  a 4  b4 
Halaman 10
Matriks
Contoh soal 1:
1 2
Diketahui matriks A = 2 3 , B = 
 . Hitung A  B !
 3 1
Jawab :
1 2
A  B= 2  3  

 3 1
= 2(1)  (3)3 22 (3)1
=  2 9 4 3 = 11 1
Contoh Soal 2 :
 2 4
6 2 
A= 
,B= 

 , hitung A  B !
3 6
3 1 
Jawab:
 2 4
6 2 
 
A B = 


3 6
3 1 
26  43 2 2  41
= 

36  63 3 2  61
12 12 4  4
= 

18 18 6  6
24 8 
= 

36 12
5. Perpangkatan Matriks Persegi
Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk
pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut.
A2 = A × A
A3 = A × A × A
An = A × A × A ... × A
Contoh soal:
 2 4
2
JIka A = 
 , hitung A !
3
6


Jawab:
Halaman 11
Matriks
 2 4  2 4
A2 = 


3 6 3 6
2.2  4.3 2.4  4.6
= 

3.2  6.3 3.4  6.6 
4  12 8  24 
=

6  18 12  36
16 32
=

24 48
Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalah
konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut.
•
P+Q=Q+P
•
(P + Q) + R = P + (Q + R)
•
P(Q+ R) = PQ + PR
•
(P + Q)R = PR + QR
•
P(Q - R) = PQ - PR
•
(P - Q)R = PQ - QR
•
a(P + Q) = aP + aQ
•
a(P - Q) = aP - aQ
•
(a + b)P = aP + bP
•
(a - b)P = aP - bP
•
(ab)P = a(bP)
•
a(PQ) = (aP)Q = P(aQ)
•
(PQ)R = P(QR)
Latihan Soal 3
1. Tentukan hasil perkalian dari :
3
a. 2    = …
4
  4
d. -5    = …
3
2 3 
b. 4  
= …
1 4
e.
 2a 1 
c. 3  
= …
 2 b 
1
1
 2 a 12 
f. -6  
=…
1 2 

b
3 3 
6 3 
1
 
=…
3 4 9
Halaman 12
Matriks
 3 1
0 4 
2. Jika A = 
, dan B = 


 4 2
1 4
Hitung :
a.
A B
b. 2(A + B)
3. Jika M matriks berordo 2  2, tentukan M dari persamaan berikut :
 5 1  1  4 
a. 2M  
  2 3 
10
0

 

 4 7 16 10
b. 3M  


 2 6  4 0 
4 8
a b 
 2
4. Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut 

.
12 16
c d 
5. Tentukan hasil perkalian dari matriks – matriks berikut :
4
a. 2 4  
3
d.
 4 
3 

  2a 
4 5 
b. 2 3 1 0 1 
1 2
2
e. 2 4 1  4
 1 
a
2 3 
 3 0 3 
c. 
0 4 


1 2 2 
1 2
6. Jika diketahui matriks
1 4 
 4 2
1 0
A =
, B =
, C =



2 3
1 0 
0 1 
Tentukan :
a. A  B
d. At  C
b. B2
e. B  (C + A)
c. A  B + B
f. -4 (B  A)
d. A  (B  C)
h. (B  (C + A))t
6
 12  30
7. Jika 2a    3b      tentukan nilai a dan b.
10
 6 24
Halaman 13
Matriks
 x   2 1  3  4
 x
   +   . Maka nilai   adalah …
8. Jika   = 
 y   0 2  2 1
 y
9. Diketahui matriks-matriks berikut.
1 a  b
 a 1 0 
1 0 
 , B  
 , dan C  

A  
c 
b
 c d
1 1 
Jika A  B t  C 2 , tentukan nilai a, b, c, dan d.
10. Nilai k yang memenuhi persamaan :
 2  4  2 1    8 6

 
 adalah …
 = 
  3 0   3 k    6 3
Sifat – sifat tranpose matriks
Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut.
1.
(A+B)t = At + Bt
2.
(At)t
3.
(cA)t = cAt dengan c adalah konstanta
4.
(AB)t = BtAt
= A
Contoh Soal :
2 5
2 3 
Jika matriks A = 
dan B = 
 . Tunjukkan bahwa :

1 3
4 1
a. (At)t = A
b. (A + B)t
c. (A  B)t = Bt  At
Jawab:
a. At
(At)t
2 4 
=

3 1
2 3 
=

4 1
Jadi (At)t = A
b. A + B
2 3  2 5
=


4 1 1 3
At + Bt
Halaman 14
2 1
2 1
 
=


5 3
5 3
Matriks
4 8 
=

5 2
4 5
=

8 2 
4 5
(A + B)t = 

8 2 
Jadi, (A + B)t = At + Bt
2 5
2 3 

c. A  B = 
1 3



4 1
2 1
2 4 

Bt  At = 

3 1
5 3


25  33 
 2 2  31
=

4 2  (1)1 45  (1)1
 2 2 13 2 4 1(1) 
=

5  2  33 5 4  3(1)
4  3 10  9 
=

 8 1 20  3
 4  3 8 1 
=

10  9 20  3
7 19
=

7 17
7 7
=

19 17 
7 7
(A  B)t = 

19 17 
Jadi, (A  B)t = Bt  At
Latihan Soal 4
4 6
 4 0
 3  1
Jika A = 
, B =
dan C = 


 . Tentukan :
1 2 
 2 1
 2 4 
1. (At)t
6. Bt  At
2. (Bt)t
7. At  B
3. (A + B)t
8. (A + B + C)t
4. (A  B)t
9. (A  B)t + (A  C)t
5. (A  C)t
10. (Bt  At ) – (At  B)
C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
1. Determinan Matriks
Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian
elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen
pada diagonal sekunder.
Halaman 15
Matriks
Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.
Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
a. Determinan matriks berordo dua
Diagonal sekunder
A22
a b 


c d 
det A = |A|= ad bc
maka
Diagonal utama
Contoh :
 2 3
Jika matriks A = 
 cari determinan matriks A !
 4 6
Jawab:
det A = |A|= ad bc = 2634 = 12 – 12 = 0
b. Determinan matriks berordo tiga  menggunakan aturan Sarus
A33
 a11 a12
= a21 a22

a31 a32
 a11
det A =|A|= a21
 a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
_
a13  a11
a23  a21
a33  a31
_
_
a12
a22
a32
+
+
+
det A=|A|= a11  a12  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32  a31  a22  a13  a32  a23  a11  a33  a21  a12
Contoh Soal :
 2 1 4
Tentukan determinan matriks A  4 2 1  .
5 1 3
Jawab:
_
 2 1 4 2 1
det A  4 2 1 4 2
5 1 3 5 1
+
Halaman 16
Matriks
= 223115 441524112341
det A
= 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12
= -21
Contoh 3:
2a  10 4
Diketahui matriks A = 
.
a 
 3
Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Jawab:
det A = 0
det A =
2a  10 4
3
a
 ((2 a – 10) × a) – (–3 × 4)
= 2a 2 – 10a + 12
Oleh karena det A = 0 maka
2a 2 – 10a + 12  0
a 2 – 5a + 6  0
(a – 3)( a – 2)  0
a – 2 = 0 atau a – 3 = 0
a =2
a =3
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3.
2. Adjoint Matriks
Adjoint disingkat Adj.
Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :
a b 
 d  b
Jika matriks A = 
, maka Adj A = 


c d 
 c a 
Contoh Soal :
Tentukan matriks adjoint dari :
4 7 
1. A = 
 , maka
1 2 
 2  7
Adj A = 

1 4 
Halaman 17
Matriks
 10 3
2. B = 
 , maka
  2 1
 3 1  3
 1
Adj B= 
= 

 (2) 10  2 10 
 2 1
3. C = 
 , maka
 7 4 
 (1)
 4
4 1 
Adj C = 
= 


2 
 (7)
7 2 
3. Invers Matriks
Jika A sebuah matriks maka invers matriks A adalah A–1 dan
A–1 = I, dimana I adalah matriks identitas.
Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers.
•
Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh
karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
•
Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena
itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
a b 
–1
Misalkan matriks A = 
 invers dari A adalah A , yaitu
c d 
A–1 =
 d  b
1
ad  bc  c a 
dengan det A ≠ 0
Contoh Soal :
2 7 
Diketahui matriks A = 

1 4 
Maka invers matriks A A–1
=
1  d  b
ad  bc  c a 
=
1  4  7
24  71 1 2 
=
1  4  7
8  7 1 2 
1  4  7
= 
1 1 2 
 4  7
=

1 2 
Halaman 18
A
Matriks
Sifat-Sifat Invers suatu Matriks
Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB
dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.
1. (AB)
–1
=B
–1
·A
–1
2. (BA)
–1
=A
–1
·B
–1
Persamaan Matriks
Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵
Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1
Contoh Soal:
Jika 𝑃. [6 7] = [2 3], maka P = ….
Jawab:
8 9
4
6
𝑃. [
8
5
7
2 3
]=[
]
9
4 5
𝑃. A =B
𝑃 = 𝐵. 𝐴−1
1
2 3
9 −7
=[
].
[
]
4 5 6.9−7.8 −8 6
1 2 3
9 −7
=− [
][
]
2 4 5 −8
6
1 −6 4
=− [
]
2 −4 2
3 −2
=[
]
2 −1
Latihan Soal 5
1. Tentukan determinan matriks berordo 2x2 berikut :
 4 3
a. B = 

 2 0
 5 2
d. C = 

 3 4
0 1 
b. P = 

3 4
1 0
e. F = 

0 1 
 4 2
c. N = 

 4 1 
 4 6
f. R = 

 2 3
 12a 9
2. Bila matriks R = 
 , hitunglah determinan matriks R.
 2a 1
3. Tentukan determinan matriks berordo 3x3 berikut :
Halaman 19
Matriks
1 0 1
a. A = 2 2 4


0 3 3
 2 1 0
c. D = 3 2 0


4 3 1
0
0 0

b. M = 2  3 4 


5 4  2
2 1 3
d. E = 4 2 5
6  3 1
4. Tentukan adjoint matriks dari matriks – matriks berikut :
4 1 
a. A = 

 3 2
2 6 
d. B = 

3 1
0 1
b. C = 

3 2 
1 0
e. D = 

0 1 
 2  4
c. N = 

 3 1
5. Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut.
a.
 2x 3
1
5
6
d.
6 x
0
6
5 x
0
6. Tentukan matriks invers dari setiap matriks berikut :
2 3
a. A = 

3 5
12 5 
d. B = 

 7  3
1 0
b. C = 

0 1 
1 2 
6  4 
e. N = 
P =


4 17
0 7 
8 5 
c. R = 

 3  2
7. Diketahui matriks :
 4 2
A 

1 2
dan
2 1 
B

0 1
Tentukan matriks invers dari :
a. (A + B)
c. (B – A)
b. (A – B)
d. (A  B)
5  x x 
9  x
 , jika determinan A dan
 dan B= 
8. Diketahui A= 
3x 
7 4 
 5
determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah ....
Halaman 20
Matriks
 2 3
10 12 
 X = 
 dengan X matriks persegi
9. Diketahui matriks 

1
2
9
1




berordo 2. Matriks X adalah ....
1 2
 1 2 
 , B= 
 . Jika C=A-1 dan D=Bt , maka
10. Diketahui matriks A= 
3
5
3

4




C+D = ....
D. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN
MENGGUNAKAN MATRIKS
Ada dua persamaan yaitu :
ax  by  P
cx  dy  Q
Bila ditulis dalam bentuk matriks :
a b   x   P 
 c d   y  = Q 

    
Maka :
 x
–1
 y = A
 
P
Q 
 
Contoh Soal :
1. Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut.
2x – 3y = 4
3x – y = –1
–2x + 2y = 2
Jawab:
2  3 
Matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut adalah 3  1  .
 2 2
2. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara matriks
2 x y
=8
5 x  3 y = 21
2 1  x 
8
Jawab : 
=  



5 3  y 
21
Halaman 21
Matriks
 x
1  P 
 y  = A Q 
 
 
=
1  3 1  8 
ad  bc  5 2  21
=
1  3 1  8 
23 51  5 2  21
1  3 1  8 
= 
1  3 2  21
 3 1  8 
=1 
  
 3 2  21
38  (1) 21
=

  58  2 21 
 24  21
=

40  42
3
= 
2
Jadi, x = 3
dan
y =2
3. Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp.
30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia harus
membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks !
Jawab :
5 x  3 y  30.500
2 x y = 7.500
Dalam bentuk matriks :
5 3  x 
30500
2 1  y  =  7500 

 


Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga
diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika AX = B maka x1 
A1
A
, x2 
A2
A
, ..., x j 
Halaman 22
Aj
A
.
Matriks
A j matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j
dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B.
Contoh soal :
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
aturan Cramer!
3x - 4y = 5
5x + 6y = 1
Jawab:
Terlebih dahulu, tentukan |A|, |A1|, dan |A2|
A
3 4
5
A1 
A2 
 3.6  (4).5  18  20  38
6
5 4
1
6
3 5
5 1
Jadi, x 
 5.6  (4).1  30  4  34
 3.1  5.5  3  25  22
A1
A

A
34 17
 22
11

dan y  2 

A
38
19
38 19
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut
adalah x 
17
11
dan y   .
19
19
Latihan Soal 6
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
cara invers matriks.
2 x  2 y  8
1. 
 x  2y  6
3x  4 y  9
3. 
 2x  y  6
 3a  2b  7
2. 
 2a  b  5
2 x  5 y  12  0
4. 
 3x  2 y  7  0
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
menggunakan aturan Cramer.
x  2 y  4  0
5. 
2 x  y  3  0
 2x  3y  0
6. 
3 y  4 x  12  0
Halaman 23
Matriks
 x3
6. 
3 y  2 x  6
2 x  y  1
7. 
x  3 y  8
9. Harga 3 rim kertas HVS folio dan 2 rim kertas CD Rp. 35.000,- harga
4 rim kertas HVS folio dan 5 rim kertas CD Rp. 56.000,- jika
pernyataan tersebut di tulis dalam bentuk matriks adalah ….
10. Pada liburan semester, sekolah A dan sekolah B mengadakan
karyawisata ke Bali. Sekolah A menyewa 10 bus dan 5 mobil. Sekolah
B menyewa 7 bus dan 3 mobil. Biaya sewa kendaraan sekolah A
sebesar Rp41.250.000,00, sedangkan sekolah B Rp28.250.000,00.
Jika diasumsikan biaya sewa per bus dan per mobil kedua sekolah
tersebut sama, tentukan harga sewa 1 bus dan 1 mobil.
RANGKUMAN MATERI
1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk
persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.
2. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar
dalam matriks.
3. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak
dalam matriks.
4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks:
Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris.
•
Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.
•
Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan
banyak kolomnya.
•
Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
•
Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal
utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama
dengan 0.
•
Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal
utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya
bernilai nol.
•
Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen
diagonalnya bernilai nol.
•
Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen
di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Halaman 24
Matriks
•
Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemenelemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
5. Operasi Pada Matriks
a. Penjumlahan dan Pengurangan
- Syarat : ordo harus sama
- Entry yang bersesuaian di operasikan.
b. Perkalian dengan skalar
Masing masing entry dikalikan dengan skalar
c. Perkalian Matriks degan Matriks
- Syarat : A(m x n) B(n x p) = C(m x p)
- Baris ke-i kalikan dengan kolom ke-j (element seletak), kemudian
jumlahkan
6. Transpose Matriks
Baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris.
7. Sifat – sifat tranpose matriks :
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (K A)t = KAt
4. (A  B)t = Bt  At
8. Invers Matriks.
a
b
Jika A = 
 , maka invers dari matriks A adalah
c d 
A-1 =
d
1
ad  bc  c
b 
a 
Dengan Determinan A, Det A = ad – bc
9. Sifat-Sifat Invers suatu Matriks
Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan
BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.
1. (AB)
–1
=B
–1
·A
–1
2. (BA)
–1
=A
–1
·B
–1
10.
Persamaan Matriks
-
Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵
-
Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1
Halaman 25
Matriks
EVALUASI BAB MATRIKS
A. SOAL PILIHAN GANDA
 1 1 
1. Diketahui A = 2 3 dan B = 
 , nilai A – 2B adalah …
 0 2
0 7 
4 1 
3 0 
a. 

0 5 
d. 

3 0 
4 1
0 1
b. 

0 5 
e. 

0 3 
0 1
c. 

0 5 
1 2
2 3
5
2
2. Jika A = 
 , B = 0 1  , dan C =  1 0  , maka bentuk yang paling
3 4 




sederhana dari (A + C) – (A + B) adalah
5 4
3
a. 

5 4
7 1
4 7 
b. 

2 5 
4
1
d. 

 1 1
e. 

1 1
0
c. 

 4 4
3. Jika A =
 2 1 3 
 4 2 0  ,


 1 1
dan B =  3 2 , maka matrik A.B adalah
 1 2 
a.
 2 2 
 6 6


2 4
d.  3 4
 3 0 
b.
 4 6
 2 0


 6 3 3 
e. 14 7 9 
 9 5 3
2 3 3
c. 

4 4 0 
2 3
2
4. Jika matriks A = 
 , maka A adalah
4 5 
4
9
a. 

16 25 
4
6
b. 

8 10 
d. 16 21
28 37
4
6
e. 

16 25 
Halaman 26
Matriks
16 21
c. 

16 25 
1
4
5. Invers dari matriks A = 
 adalah
 3 2 
a. 
1  1 3
10  4 4 
b.
1  2 4 
10  3 1 
c.
1  1 3 
10  4 2 
d. 
e. 
1  2 4
10  3 1 
1  1 3
10  4 2 

6. Invers dari matrik B = 
 adalah
5
1


1
a.
3 1
11 11


2
5
11 11
b.
 2 1
 5 3


c.
1
 2
 11 11 


3
 5
 11 11 
a
2
3
1
d. 

 5 2
e.
b  6 5 
2 
1
11 11 


5  1
11
11 
12 27 
7. Jika 
.

 maka harga a dan b adalah
 3 2 2 4  14 23
a. a = 1 dan b = 6
d. a = 3 dan b = -3
b. a = -3 dan b = 15
e. a = 2 dan b = 0
c. a = -2 dan b = 12
2 k 
1 2 
 1  8 
.
2 
8. Diketahui A = 
 , B = 3 4  , dan C =  1
1 0 



Jika AB = C, maka
nilai k yang memenuhi adalah
a. 4
d. -1
b. 2
e. -2
c. 1
a 2 3 
6 2 3 


9. Diberikan K = 5 4 b  , dan L = 5 4 2a  . Jika K = L, maka c adalah
8 3c 11
8 4b 11 
a. 16
d. 13
b. 15
e. 12
c. 14
Halaman 27
Matriks
3 1 
0
1
10.Diketahui A = 
 , dan B =  1 2 , dan X matriks berordo (2 x 2) yang
2 4 


memenuhi persamaan matriks 2A – B + x = 0, maka x sama dengan ...
6
1
 6 1
a. 

 5 6 
d. 

 5 6
6 1
 6 1 
b. 

5 6
6
e. 

 5 6
1
c. 

 5 6
2
 1 1 
1
11.Diketahui A = 
 , dan B =  0 2 , maka nilai A – 2B = ...
0 1


4 1 
0 3 
a. 

0 5 
d. 

0 3 
4 1
 4 1
b. 

0 5 
e. 

0 3 
0 1
c. 

0 5 
1
3 
 2 0 
3 1
12.Jika A = 
 , B =  1 3  , dan C = 1 2 maka A(B – C) = ...
 2 4 




 5 14
1
a. 

10 18 
 5 4
6 

 7
b. 
10
1
2 
d. 

 2 2 
10 
e. 

 10 20 
16 
c. 

 2 22 
2 1 
4 3
5 1 
13.Diketahui A = 
 , B = 2 3 , dan C = 4 2 . Nilai AB – C = ...
 3 2




 4 5 
5
d. 
8

12 13
a. 

 7 8 
4
4 5 
3
b. 

 1 0 
 5
e. 

7 8 
8 
c. 

 12 13
 4 3x  y 
6 
14.Jika A = 
8
 4
dan matriks B = 
x  y
12
.
6 
....
a. 3
d. 6
b. 4
e. 9
c. 5
Halaman 28
Jika A = B, maka nilai x =
Matriks
 2a
15.Diketahui matrik K =  1

 2
b
d d
c 

6 

4
3a
dan matriks L = 
6x 2c
2b 
.
b 
Jika
matriks K = L, maka nilai x = ....
a. -6
d. 2
b. -4
e. 6
c. -2
B. SOAL URAIAN
1 
2x 4
6 2 
z
1. Jika matriks A = 
, B =
, C =



 7 2
x 3 y
3 x  y 
Jika A – B = 2C, maka akan diperoleh himpunan jawab x, y, z  ......
2. Diketahui matriks :
1 0
 3 1
 11  3
I =
, A =
, B =



0 1 
 6 5 
 2 1 
Nilai 3A – B = …
 2 4
1 0 2 
3. Diketahui matriks M = 
, N =


 3 1 
1 3  2
Hasil perkalian M  N adalah …
 2x
4. Diketahui A =  2
x
1
  6  7
, B =

 , jika det.(A) = det.(B) maka nilai x
3
 x 5 
adalah …
1  3 
5. Invers matriks 
 adalah …
2  7 
Halaman 29