Sudut Rangkap

SUDUT RANGKAP
Yang dinamakan sudut rangkap, seperti 2A, 3B, 4C dsb, dimana di depan sudut ada
koefisien lain selain 1. Nah, untuk mencari sudut rangkap, kita masih menggunakan
bantuan rumus jumlah dan selisih dari dua buah sudut.
Kita akan mencoba menemukan rumus – rumus untuk sudut 2A dan 3A ya.
1. Menemukan Rumus dari Sin 2A
𝑆𝑖𝑛 (𝐴 + 𝐵) = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐵 = 𝐴
𝑆𝑖𝑛 (𝐴 + 𝐴) = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐴
𝑆𝑖𝑛 2𝐴 = 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴
Maka, diperoleh rumus:
𝑆𝑖𝑛 2𝐴 = 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴
2. Menemukan Rumus dari Cos 2A
𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 − 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐵 = 𝐴
𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐴) = 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴 − 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
Dengan menggantikan 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 = 1 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴, diperoleh:
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 1 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 1 − 2 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
Dengan menggantikan 𝑆𝑖𝑛2 𝐴 = 1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴, diperoleh:
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − (1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴)
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 1 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 2 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 1
Maka, diperoleh rumus:
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 1 − 2 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 2 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 1
3. Menemukan Rumus dari Tan 2A
𝑇𝑎𝑛 (𝐴 + 𝐵) =
𝑇𝑎𝑛 𝐴 + 𝑇𝑎𝑛 𝐵
1 − 𝑇𝑎𝑛 𝐴. 𝑇𝑎𝑛 𝐵
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐵 = 𝐴
𝑇𝑎𝑛 𝐴 + 𝑇𝑎𝑛 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛 𝐴. 𝑇𝑎𝑛 𝐴
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
𝑇𝑎𝑛 2𝐴 =
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 (𝐴 + 𝐴) =
Maka, diperoleh rumus:
𝑇𝑎𝑛 2𝐴 =
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
4. Menemukan Rumus dari Sin 3A
𝑆𝑖𝑛 (𝐴 + 𝐵) = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐵 = 2𝐴
𝑆𝑖𝑛 (𝐴 + 2𝐴) = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝐴 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑖𝑛 2𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑆𝑖𝑛 2𝐴 = 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 1 − 2 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝐴 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑖𝑛 2𝐴
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 (1 − 2 𝑆𝑖𝑛2 𝐴) + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 (2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴)
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 2 𝑆𝑖𝑛3 𝐴 + 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 = 1 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 2 𝑆𝑖𝑛3 𝐴 + 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 2 𝑆𝑖𝑛3 𝐴 + 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴(1 − 𝑆𝑖𝑛2 𝐴)
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 2 𝑆𝑖𝑛3 𝐴 + 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 2 𝑆𝑖𝑛3 𝐴
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 3 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 4 𝑆𝑖𝑛3 𝐴
Maka, diperoleh Rumus:
𝑆𝑖𝑛 3𝐴 = 3 𝑆𝑖𝑛 𝐴 − 4 𝑆𝑖𝑛3 𝐴
5. Menemukan Rumus dari Cos 3A
𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 − 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐵 = 2𝐴
𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 2𝐴) = 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝐴 − 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 2𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑆𝑖𝑛 2𝐴 = 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐶𝑜𝑠 2𝐴 = 2 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 1
𝐶𝑜𝑠 3𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 𝐴 (2 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 1) − 𝑆𝑖𝑛 𝐴 (2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴)
𝐶𝑜𝑠 3𝐴 = 2 𝐶𝑜𝑠 3 𝐴 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴 − 2 𝑆𝑖𝑛2 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑆𝑖𝑛2 𝐴 = 1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴
𝐶𝑜𝑠 3𝐴 = 2 𝐶𝑜𝑠 3 𝐴 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴 − 2 (1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴) 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐶𝑜𝑠 3𝐴 = 2 𝐶𝑜𝑠 3 𝐴 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴 − 2 𝐶𝑜𝑠 𝐴 + 2 𝐶𝑜𝑠 3 𝐴
𝐶𝑜𝑠 3𝐴 = 4 𝐶𝑜𝑠 3 𝐴 − 3 𝐶𝑜𝑠 𝐴
Maka, diperoleh Rumus:
𝐶𝑜𝑠 3𝐴 = 4 𝐶𝑜𝑠 3 𝐴 − 3 𝐶𝑜𝑠 𝐴
6. Menemukan Rumus dari Tan 3A
7.
𝑇𝑎𝑛 (𝐴 + 𝐵) =
𝑇𝑎𝑛 𝐴 + 𝑇𝑎𝑛 𝐵
1 − 𝑇𝑎𝑛 𝐴. 𝑇𝑎𝑛 𝐵
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐵 = 2𝐴
𝑇𝑎𝑛 𝐴 + 𝑇𝑎𝑛 2𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛 𝐴. 𝑇𝑎𝑛 2𝐴
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑇𝑎𝑛 2𝐴 =
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
𝑇𝑎𝑛 𝐴 + (
2 𝐴)
1
−
𝑇𝑎𝑛
𝑇𝑎𝑛 3𝐴 =
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛 𝐴. (
)
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 (𝐴 + 2𝐴) =
𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
𝑇𝑎𝑛 𝐴. (
)+(
)
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 3𝐴 =
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
1. (
) − 𝑇𝑎𝑛 𝐴. (
)
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 𝐴 − 𝑇𝑎𝑛3 𝐴 + 2 𝑇𝑎𝑛 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 3𝐴 =
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴 − 2 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
3 𝑇𝑎𝑛 𝐴 − 𝑇𝑎𝑛3 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 3𝐴 =
1 − 3 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
1 − 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 3𝐴 =
3 𝑇𝑎𝑛 𝐴 − 𝑇𝑎𝑛3 𝐴
1 − 3 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝑇𝑎𝑛 3𝐴 =
3 𝑇𝑎𝑛 𝐴 − 𝑇𝑎𝑛3 𝐴
1 − 3 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
Maka, diperoleh Rumus:
Contoh Soal:
Buku Matematika Peminatan Kelas XI Karya Nanang Priatna Penerbit Grafindo
Halaman 45
3
Diketahui 𝛼 adalah sudut lancip dan sin 𝛼 = 5. Tentukan nilai dari:
a. Sin 2𝛼
b. Cos 2𝛼
c. Tan 2𝛼
Jawab:
Perbandingan Sinus adalah perbandingan sisi depan dengan sisi miring suatu segitiga
sin 𝛼 =
𝑑𝑒
𝑚𝑖
Perhatikan segitiga berikut:
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh:
𝑠𝑎2 = 𝑚𝑖 2 − 𝑑𝑒 2
𝑠𝑎2 = 52 − 32
𝑠𝑎2 = 25 − 9
𝑠𝑎2 = 16
𝑠𝑎 = 4
Maka, diperoleh:
Cos 𝛼 =
𝑠𝑎 4
=
𝑚𝑖 5
Tan 𝛼 =
𝑑𝑒 3
=
𝑠𝑎 4
𝑎. Sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼
3
4
24
Sin 2𝛼 = 2. ( ) . ( ) =
5
5
25
𝑏. Cos 2𝛼 = cos2 𝛼 − sin2 𝛼
4 2
3 2
Cos 2𝛼 = ( ) − ( )
5
5
Cos 2𝛼 =
16 9
7
−
=
25 25 25
2 tan 𝛼
1 − tan2 𝛼
3
2. (4)
Tan 2𝛼 =
3 2
1 − (4)
6
4
Tan 2𝛼 =
9
1 − 16
𝑐. Tan 2𝛼 =
𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡
Tan 2𝛼 =
24
16
16 9
16 − 16
24
Tan 2𝛼 = 16
7
16
24
Tan 2𝛼 =
7