Tateng Sukendar ST MM 14042020144454 Medan Distribusi Muatan Bidang

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS DIRGANTARA MARSEKAL SURYADARMA
Mata Kuliah
: Medan Elektromagnetik
Dosen
: Tateng Sukendar
Materi Kuliah
:
MEDAN DISTRIBUSI MUATAN BIDANG
Suatu lembaran dari muatan bidang xz, dengan rapat muatan permukaan (Surface Charge
Density) adalah s dengan satuan Coulomb per meter kuadrat (C/m2)
y(m)
dEy
P(0,y,0)

|𝑅| = ඥ𝑥 2 + 𝑦 2
dx
x(m)
(x,0,0)
dQ = s dx
z(m)
Jika kita lihat gambar diatas maka medan listrik setiap diferensial dQ pada permukaan dapat
dibuat persamaan sebagai berikut :
𝑑𝑄 =
𝑑𝑄
𝑎
4𝜋𝜀0 |𝑅|2 𝑅
Dengan dQ = s dx, sehingga medan listrik total pada titik P sumbu y adalah
𝐸𝑦 = ∫
𝑠
𝜌𝑠 𝑑𝑥
𝑎
4𝜋𝜀0 |𝑅|2 𝑅
Jika lembaran tersebut tak berhingga dengan x = -∞ dan x = ∞ maka didapat medan listrik
setiap diferensial dQ pada permukaan dengan persamaan sebagai berikut :
𝑑𝑄 cos 𝜃
2𝜋𝜀0 |𝑅|
𝑑𝐸𝑦 =
Dan untuk medan listrik total pada titik P pada sumbu y adalah :
𝐸𝑦 = ∫
𝑠
𝐸𝑦 =
𝜌𝑠 cos 𝜃
𝑑𝑥
2𝜋𝜀0 |𝑅|
𝜌𝑠
𝑦
∫ 2
𝑑𝑥
2𝜋𝜀0 𝑥 + 𝑦 2
𝑠
Dengan batas integral dari persamaan tersebut adalah x = -∞ dan x = ∞ sehingga didapat
persamaan sebagai berikut :
∞
𝜌𝑠
𝑦
𝐸𝑦 =
∫ 2
𝑑𝑥
2𝜋𝜀0
𝑥 + 𝑦2
−∞
𝜌𝑠
𝑥 ∞
−1
𝐸𝑦 =
[𝑡𝑎𝑛
]
2𝜋𝜀0
𝑦 −∞
𝐸𝑦 =
𝜌𝑠
[𝜋 − (−𝜋)]
2𝜋𝜀0
𝐸𝑦 =
𝜌𝑠
2𝜀0
Dengan menggunakan vector satuan an dari persamaan diatas dengan arah keluar dari bidang
normal dari bidang tersebut maka :
𝐸𝑦 =
𝜌𝑠
𝑎
2𝜀0 𝑛
Contoh Soal :
Daerah bujur sangkar dengan -1 ≤ x ≤ 1 m, -1 ≤ y ≤ 1 m, z = 0 mempunyai rapat muatan s = x
nC/m2 . Tentukan medan listrik pada titik P(0,0,1)m.
Penyelesaian :
Jika daerah bujur sangkar kita gambarkan maka :
y(m)
(1,1,0)
(-1,1,0)
x(m)
P(0,0,1)
R
(x,y,0)
dE
(1,-1,0)
(-1,-1,0)
z(m)
Jarak dari daerah segmen bujur sangkar ke titik P(0,0,1)m adalah
𝑅 = (0 − 𝑥)𝑎𝑥 + (0 − 𝑦)𝑎𝑦 + (1 − 0)𝑎𝑧
𝑅 = −𝑥𝑎𝑥 − 𝑦𝑎𝑦 + 𝑎𝑧
Dan |𝑅| = ඥ(−𝑥)2 + (−𝑦)2 + 1 = ඥ𝑥 2 + 𝑦 2 + 1
Dengan Vektor satuan dalam arah R adalah
𝑎𝑅 =
−𝑥𝑎𝑥 − 𝑦𝑎𝑦 + 𝑎𝑧
ඥ𝑥 2 + 𝑦 2 + 1
Muatan segmen bujur sangkar adalah dQ = s dx dy = 10-9 x dx dy. Maka medan listrik dalam
diferensial dQ pada permukaan ini adalah :
−𝑥𝑎𝑥 − 𝑦𝑎𝑦 + 𝑎𝑧
10−9 𝑑𝑥. 𝑑𝑦
𝑑𝑄 =
.
4𝜋𝜀0 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 1) ඥ𝑥 2 + 𝑦 2 + 1
Karena simetris hanya komponen Z dari medan listrik yang ada sehingga medan listrik total
pada titik P(0,0,1)m adalah :
1 1
10−9
𝑥 𝑑𝑥. 𝑑𝑦
𝐸=
∫∫ 2
𝑎
(𝑥 + 𝑦 2 + 1)3/2 𝑧
𝜋𝜀0
0 0
Misal a2 = y2 + 1 maka untuk menyelesaikan persamaan tersebut diatas adalah bisa
menggunakan teorema Phytagoras
ඥ𝑥 2 + 𝑎2
x

a
Dari gambar tersebut maka didapat :
x = a tan ; dx = a sec2 d;
tan  = x/a; cos  =
sec  =
ඥ𝑥2 +𝑎2
𝑎
𝑎
ඥ𝑥2 +𝑎2
; 𝑎 sec 𝜃 = √𝑥2 + 𝑎2
Jadi
1 1
10−9
𝑥 𝑑𝑥. 𝑑𝑦
𝐸=
∫∫ 2
𝑎
(𝑥 + 𝑦 2 + 1)3/2 𝑧
𝜋𝜀0
0 0
1 1
10−9
(𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝜃) (𝑎 𝑠𝑒𝑐2 𝑑). 𝑑𝑦
𝐸=
∫∫
𝑎𝑧
𝜋𝜀0
𝑎3 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃
0 0
1 1
10−9
𝑠𝑖𝑛 𝜃. 𝑑𝜃. 𝑑𝑦
𝐸=
∫∫
𝑎𝑧
𝜋𝜀0
𝑎
0 0
1
10−9
𝑐𝑜𝑠 𝜃 1
𝐸=
∫[
] 𝑑𝑦. 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
𝑎 0
0
1
1
10−9
1
𝐸=
∫[
] 𝑑𝑦. 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
ඥ𝑥 2 + 𝑦 2 + 1
0
0
1
10−9
1
1
𝐸=
∫[
−
] 𝑑𝑦. 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
ඥ𝑦 2 + 2 ඥ𝑦 2 + 1
0
1
10−9
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝐸=
∫[
−
] 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
ඥ𝑦 2 + 2 ඥ𝑦 2 + 1
0
Untuk penyelesaian dy kita gunakan :
ඥ𝑦 2 + 1
ඥ𝑦 2 + 2
y
y
β
α
1
√2
Dari gambar diatas maka didapat :
y = tan α; dy = sec2 α dα
𝑦 = √2 𝑡𝑎𝑛𝛽; 𝑑𝑦 = √2 𝑠𝑒𝑐 2 𝛽 𝑑𝛽
tan α = y; cos α =
tan β =
sec β =
𝑦
1
; cos β =
√2
; sec α = ඥ𝑦2 + 1
ඥ𝑦2 +1
√2
ඥ𝑦2 +2
ඥ𝑦2 +2
√2
; sec β = ඥ𝑦2 + 2
Dengan memasukkan nilai-nilai diatas pada persamaan tadi maka didapat :
1
10−9
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝐸=
∫[
−
] 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
ඥ𝑦 2 + 2 ඥ𝑦 2 + 1
0
1
10−9
𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 𝑑𝛼 √2 𝑠𝑒𝑐 2 𝛽 𝑑𝛽
𝐸=
∫[
−
] 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
𝑠𝑒𝑐 𝛼
√2 sec 𝛽
0
1
10−9
𝐸=
∫[𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑑𝛼 − 𝑠𝑒𝑐 𝛽 𝑑𝛽]𝑎𝑧
𝜋𝜀0
0
1
10−9
𝐸=
∫[ln (𝑠𝑒𝑐 𝛼 + tan 𝛼) − ln (𝑠𝑒𝑐 𝛽 + tan 𝛽)]10 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
0
1
1
10−9
1
1
𝐸=
∫ [𝑙𝑛 (
+ tan 𝛼) − 𝑙𝑛 (
+ tan 𝛽)] 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
cos 𝛼
cos 𝛽
0
0
1
1
10−9
ඥ𝑦 2 + 2 𝑦
2
𝐸=
∫ [𝑙𝑛 (ඥ𝑦 + 1 + 𝑦) − 𝑙𝑛 (
+ )] 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
√2
√2
0
0
10−9
1
√3
𝐸=
{[𝑙𝑛(√2 + 1) − 𝑙𝑛 ( + )] − [𝑙𝑛(1) − ln (1)]} 𝑎𝑧
𝜋𝜀0
√2 √2
𝐸=
10−9
[𝑙𝑛(2,4142) − 𝑙𝑛(1,9319)]𝑎𝑧
𝜋𝜀0
𝐸 = 8,24. 𝑎𝑧 𝑉/𝑚