Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK II

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI BAHASAN :
A. Persamaan Linear
B. Pertidaksamaan Linear
Modul.MTK X 02
1
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya.
Kalimat tertutup adalah kalimat matematika yang sudah dapat ditentukan nilai
kebenarannya.
A. Persamaan Linear
1. Definisi Persamaan Linear
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda “sama dengan” atau “=”.
Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi
satu.
2. Macam-Macam Persamaan Linear
a. Persamaan Linear dengan Satu Variabel
Bentuk umum:
ax  b  c
Dengan :
a, b, c : konstanta
x
: variable / peubah
Contoh:
1) 2x  3  7
3) 4 x  6  2 x
2) 25  5x
4) 6 x  36  0
b. Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Bentuk umum :
ax  by  c
Dengan :
a, b, c : konstanta
x, y
: variable / peubah
Contoh:
1) 3x  2 y  18
3) 2x  3 y  3x  12
2) 7 y  5x
4) 6x  5 y  40  3x
Modul.MTK X 02
2
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
c. Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
Bentuk umum:
ax  by  cz  d
Dengan :
a, b, c, d : konstanta
x , y, z
: variable / peubah
Contoh:
1) x  3 y  z  11
3)
3x  3 y  3z  33  0
2) 2x  5 y  3z  20
4) 5x  50  2 y  3z
3. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear satu variable berikut.
a) 2x  4  0
 2x  4
x
4
2
x2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 2
b) 3 y  6  12
 3 y  12  6
 3y  6
6
3
 y2
y
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 2
c) 7 x  3  5x  9
 7 x  5x  9  3
 2 x  12
12
2
 x6
x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 6
Modul.MTK X 02
3
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
2) Jumlah dua bilangan asli yang berurutan adalah 11, tentukan kedua bilangan
tersebut.
Jawab :
Misal : bilangan asli pertama : x
bilangan asli kedua
: x +1
Diketahui : jumlah kedua bilangan : 11
x  x  1  11
 2 x  1  11
 2 x  11  1
 2 x  10
10
2
 x5
x
Bilangan asli pertama : x = 5
Bilangan asli kedua
:x+1=5+1=6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 5,6
3) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel berikut
2x  3 y  6 .
Jawab :
Mencari dua titik yang memotong sumbu x dan y, yaitu:
Titik potong sumbu y  x  0
x  0  2x  3 y  6
 20   3 y  6
 3 y  6
6
3
 y  2
 y
Sehingga, titik potong sumbu y adalah (0,-2)
Titik potong sumbu x  y  0
y  0  2x  3 y  6
 2 x  30  6
 2x  6
6
2
 x3
x
Sehingga, titik potong sumbu x adalah (3,0)
Pasangan titik (x,y) untuk grafik 2x  3 y  6
x
Modul.MTK X 02
0
3
1
2
4
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
y
-2
0
(x,y)
(0,-2)
(3,0)

4
3

4

1, 
3

2
3

 2,

2

3
y
1
2
3
1
3
1

2
3

1
3
2x  3 y  6
0

1
3

2
3
1
3
2
3
1
4
3
5
3
2
7
3
8
3
3
10
3
x
1

4
3

5
3
2

7
3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
0,2, 1, 4 ,  2, 2 , 3,0, ...

3 
3
Latihan
1) Tentukan apakah kalimat berikut merupakan kalimat terbuka atau kalimat tertutup.
a) 3x  9  x  6 x  3
c) 72  8  9
b) 7  x  8
d) 12  11  20
2) Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut.
a) 3x  y  4
b)  4n  4  5n  2n  8
Modul.MTK X 02
d) 5a  1  10
e) 203 y  1  505  y 
5
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
c) 3 6k  9  4  8k  4
1
1
f)
3  4w 11  5w

6
8
3) Jumlah tiga bilangan asli berurutan adalah 21. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
B. Pertidaksamaan Linear
1. Definisi Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda “
”.
≤, <, >, ≥, 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≠
Pertidaksamaan Linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya memiliki
pangkat tertinggi satu.
2. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear hamper sama dengan
mancari himpunan penyelesaian persamaan linear, yaitu mencari nilai untuk
variabelnya agar kalimat terbuka tersebut menjadi kalimat tertutup yang bernilai
benar.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear biasanya juga dituliskan dalam
bentuk interval atau selang.
Beberapa bentuk atau jenis interval.
Pertidaksamaan
Selang / Interval
𝑎≤𝑥≤𝑏
a
b
a
b
a
b
a
b
𝑎<𝑥<𝑏
𝑎≤𝑥<𝑏
𝑎<𝑥≤𝑏
𝑥≥𝑎
a
𝑥<𝑏
b
Catatan:
Tanda pertidaksamaan berubah atau dibalik jika
pada ruas kiri atau kanan dibagi bilangan
negatif.
Modul.MTK X 02
6
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut untuk 𝑥 ∈ 𝑅.
a) 2x  4  0
 2x  4
4
2
x2
x
-2
-1
0
1
2
3
4
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 < 2, 𝑥 ∈ 𝑅}
b) 3x  6  12
 3 x  12  6
 3x  6
6
3
x2
x
-2
-1
0
1
2
3
4
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 > 2, 𝑥 ∈ 𝑅}
c) 7 x  3  5x  9
 7 x  5x  9  3
 2 x  12
12
2
 x6
x
-1
0
1
-5
-4
2
3
4
5
6
7
8
-1
0
1
2
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 ≤ 6, 𝑥 ∈ 𝑅}
d) 3x  4  16  8x
 3 x  8 x  16  4
 5 x  20
20
5
 x  4
x
-6
-3
-2
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 ≤ −4, 𝑥 ∈ 𝑅}
e) 2 x  4  5x  8  2x  14
(kita ubah menjadi 2 pertidaksamaan linear)
@ 2 x  4  5x  8
Modul.MTK X 02
@ 5x  8  2 x  14
7
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
 2 x  5x  8  4
 5 x  2 x  14  8
 3 x  12
 3x  6
12
3
 x  4
x
6
3
x2
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Jadi, HP = {𝑥|−4 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 ∈ 𝑅}
2) Selesaikanlah pertidaksamaan berikut |2𝑥 + 1| ≥ |𝑥 − 3|.
Jawab:
Langkah 1: Ingat bahwa |𝑥| = √𝑥 2 sehingga,
|2𝑥 + 1| ≥ |𝑥 − 3| ⇔ √(2𝑥 + 1)2 ≥ √(𝑥 − 3)2 (( )2 kedua ruas u/ menghilangkan akar)
⟺ (2𝑥 + 1)2 ≥ (𝑥 − 3)2
⟺ 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 ≥ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9
⟺ 4𝑥 2 − 𝑥 2 + 4𝑥 + 6𝑥 + 1 − 9 ≥ 0
(bentuk kuadrat)
⟺ 3𝑥 2 + 10𝑥 − 8 ≥ 0
⟺ (3𝑥 − 2)(𝑥 + 4) ≥ 0
Langkah 2 : Menentukan pembuat nol
@ 3𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 3𝑥 ≥ 2
⟺𝑥≥
@ 𝑥 + 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −4
2
3
Langkah 3 : Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan
+
-
+
2
3
−4
2
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 ≤ −4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ }
3
3) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 3x  2 y  6
Langkah 1 : Mengubah pertidaksamaan linear tersebut kedalam bentuk persamaan
linear untuk menggambar garis yang diminta.
3𝑥 − 2𝑦 ≤ 6 → 3𝑥 − 2𝑦 = 6
Langkah 2 : Mencari titik potong sumbu x dan sumbu y.
Titik potong sumbu 𝑥, 𝑦 = 0 → 3𝑥 − 2𝑦 = 6
3𝑥 − 2(0) = 6
3𝑥 = 6
6
𝑥=3
Modul.MTK X 02
8
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
𝑥 = 2 … (2,0)
Titik potong sumbu 𝑦, 𝑥 = 0 → 3𝑥 − 2𝑦 = 6
3(0) − 2𝑦 = 6
−2𝑦 = 6
6
𝑦 = −2
𝑦 = −3 … (0, −3)
𝑦
4
3
3𝑥 − 2𝑦 ≤ 6
2
1
−4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
𝑥
−1
−2
−3
−4
Langkah 3 : Mencari daerah penyelesaian dengan cara menguji garis tersebut dengan
sebuah titik.
Misalkan titik (3, −4)
3𝑥 − 2𝑦 ≤ 6 → 3(3) − 2(−4) ≤ 6
9+8≤6
17 ≤ 6
(tidak memenuhi)
Misalkan titik (1, −1)
3𝑥 − 2𝑦 ≤ 6 → 3(1) − 2(−1) ≤ 6
3+2≤6
5≤6
(memenuhi)
Latihan
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut, untuk 𝑥 ∈ 𝑅.
a) 19 − 3𝑘 < 2 − 5(𝑘 + 1)
d) −2(5𝑥 + 4) − 3𝑥 > 1 − (6𝑥 − 5)
b) 6𝑑 − 2(𝑑 − 2) > 3(𝑑 − 12)
e)
2𝑞−3
5
≤
12+𝑞
2
c) 9(ℎ + 1) − 3ℎ < 10(ℎ − 1) − 5
Modul.MTK X 02
9
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
2) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 3𝑥 + 3𝑦 ≥ 9.
3) Selesaikanlah pertidaksamaan berikut |𝑥 − 2| ≤ |𝑥 + 1|
Modul.MTK X 02
10