mat 602 dasar matematika ii

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II
Disusun Oleh:
Dr. St. Budi Waluya, M. Sc
Jurusan Pendidikan Matematika
Program Pascasarjana Unnes
1
HIMPUNAN
1.
2.
3.
Notasi Himpunan
Relasi Himpunan
Operasi Himpunan
A ⊆ B : ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
A = B : (i ) A ⊆ B (ii ) B ⊆ A
2
Quiz
1. Jika A
⊆B
maka tunjukkan
A=B\(B\ A)
3
Pengertian Fungsi
„
„
Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan
Fungsi
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke
B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di
dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di
dalam B, artinya :
∀x1 , x2 ∈ A,
jika
x1 = x2 , maka
f (x1 ) = f (x2 )
4
Pengertian Fungsi
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f:A→B
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut
daerah hasil (codomain) dari f.
Relasi di bawah ini merupakan fungsi
A
B
a
1
i
2
u
i
3
e
4
o
5
5
Pengertian Fungsi
Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :
A
a mempunyai
2 nilai
B
a
1
i
2
u
3
e
4
o
5
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut
jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah
dari f adalah himpunan bagian dari B.
6
Pengertian Fungsi
Jelajah : {y f (x ) = y, x ∈ A} ⊆ B
Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf
Contoh :
1. Carilah domain dan range dari fungsi :
1
f (x ) =
4x + 3
Jawab :
a. Mencari domain
7
Pengertian Fungsi
syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
4x + 3 ≠ 0
3
x≠−
4
3
3
Sehingga D f = ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − , ∞ ⎞⎟ atau ℜ − ⎧− 3 ⎫
⎨ ⎬
4⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝
⎩ 4⎭
b. Mencari Range
R f = ℜ − {0} atau
R f = (− ∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol
8
Contoh
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2
f (x ) =
3x + 1
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0
1
x≠−
3
1⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛
Sehingga Dt = ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ ⎜ − , ∞ ⎟
3⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝
9
Contoh
b. Range
x+2
f (x ) = y =
3x + 1
3 xy + y = x + 2
3 xy − x = 2 − y
x(3 y − 1) = 2 − y
2− y
x=
3y −1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y −1 ≠ 0
1
y≠
3
Jadi
1⎞ ⎛1 ⎞
⎛
R f = ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟
3⎠ ⎝3 ⎠
⎝
1⎫
⎧
Atau ℜ − ⎨ ⎬
⎩3⎭
10
Contoh
3. Carilah domain dan range dari fungsi :
f (x ) = − x 2 − 5 x − 6
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
− x2 − 5x − 6 ≥ 0
⇔ x2 + 5x + 6 ≤ 0
⇔ (x + 2)( x + 3) ≤ 0
TP = -2, -3
++
--3
++
-2
Jadi D f = [− 3,−2]
11
Contoh
b. Mencari Range
f (x ) = y = − x 2 − 5 x − 6
y 2 = − x2 − 5x − 6
(
)
⇔ x2 + 5x + y 2 + 6 = 0
Agar x ∈ ℜ , maka D ≥ 0
(
)
⇔ 25 − 4.1 y 2 + 6 ≥ 0
⇔ 25 − 4 y 2 − 24 ≥ 0
⇔ 1− 4 y2 ≥ 0
12
Contoh
⇔ (1 + 2 y )(1 − 2 y ) ≥ 0
1 1
TP = − ,
2 2
--
++
−1
2
-1
2
⎡ 1 1⎤
Jadi, R f = ⎢− , ⎥ ∩ [0, ∞ )
⎣ 2 2⎦
⎡ 1⎤
= ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
13
Macam-macam Fungsi
Macam-macam fungsi :
1. Fungsi polinom
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
-Fungsi konstan,
f (x ) = a0
-Fungsi linier,
f ( x ) = a0 + a1 x
-Fungsi kuadrat,
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2
14
Macam-macam Fungsi
2. Fungsi Rasional
Bentuk umum :
p(x )
q(x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh :
f (x ) =
(x + 1)2
x3 + x 2 + 1
3. Fungsi harga/nilai mutlak
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f (x ) = 3 x − 1 + 2 x − 2
15
Macam-macam Fungsi
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
⎣x ⎦
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
⎣x ⎦ = n ⇔ n ≤ x ≤ n + 1
⎣5⎦ = 5
⎣− 1,2 ⎦ = −2
⎣3,2⎦ = 3
5. Fungsi Genap
Disebut fungsi genap jika f (− x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
terhadap sumbu y
16
Macam-macam Fungsi
Contoh :
f (x ) = x 2
f (x ) = x
f ( x ) = cos( x )
6. Fungsi Ganjil
Disebut fungsi ganjil jika f (− x ) = − f ( x ) dan grafiknya
simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin ( x )
f (x ) = x3
17
Macam-macam Fungsi
7. Fungsi Komposisi
Diberikan fungsi f ( x ) dan g ( x ), komposisi fungsi antara
f ( x ) dan g ( x ) ditulis ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) Domain dari
( f o g )(x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain
g (x ) sehingga g (x ) di dalam D f
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R g ∩ D f ≠ φ
18
Fungsi Komposisi
Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Rg ∩ D f ≠ φ
19
Fungsi Komposisi
Dengan cara yang sama, (g o f )(x ) = g ( f (x ))
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R f ∩ Dg ≠ φ
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{
= {x ∈ D
}
f (x ) ∈ D }
D f o g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f
Dg o f
f
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{
= {f (t ) ∈ R
} atau R
t ∈ R } atau R
R g o f = g (t ) ∈ R g t ∈ R f
go f
R f og
f og
f
g
{
= {y ∈ R
}
y = f (t ), t ∈ R }
= y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
f
g
20
Fungsi Komposisi
Sifat-sifat fungsi komposisi :
( f o g )(x ) ≠ (g o f )(x )
(( f o g ) o h)(x ) = ( f o (g o h))(x )
Contoh :
1. Jika diketahui f (x ) = x
go f
g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
dan f o g beserta domain dan range-nya!
D f = [0, ∞ )
R f = [0, ∞ )
Dg = ℜ
R g = (− ∞,1]
21
Contoh
Karena R f ∩ D g = [0, ∞ ) ≠ φ , maka fungsi g o f
terdefinisi
(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g (
)
x = 1− x
a. Mencari Domain g o f
{
D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{
}
}
= x ∈ [0, ∞ ) x ∈ ℜ
{
}
= x ≥ 0−∞ < x < ∞
22
Contoh
{
}
= x≥0 x ≥0
= {x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [0, ∞ ) ∩ [0, ∞ )
= x ∈ [0, ∞ )
b. Mencari Range g o f
{
}
= {y ∈ (− ∞,1] y = 1 − t , t ∈ [0, ∞ )}
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
Rg o f
2
Jadi R g o f = y ∈ (− ∞,1] ∩ (− ∞,1]
= y ∈ (− ∞,1]
23
Contoh
Karena R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞ ) = [0,1] ≠ φ , maka fungsi
f o g terdefinisi dengan
( f o g )(x ) = f (g (x )) = f (1 − x 2 ) =
c.Domain f o g
{
D f o g = x ∈ D g g (x ) ∈ D f
{
= {x ∈ ℜ 1 − x
}
1− x2
}
= x ∈ ℜ 1 − x 2 ∈ [0, ∞ )
2
}
≥0
= {x ∈ ℜ − 1 ≤ x ≤ 1}
= ℜ ∩ [− 1,1]
= [− 1,1]
24
Contoh
d. Range f o g
{
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
{
}
}
= y ∈ [0, ∞ ) y = t , t ∈ (− ∞,1]
{
}
= y ≥ 0 y = t ,0 ≤ t ≤ 1
= {y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1}
= [0, ∞ ) ∩ [0,1]
= [0,1]
25
Contoh
2. Jika diketahui fungsi
f (x ) = x x
Df = ℜ
g (x ) = x − 1
Rf = ℜ
Rg = ℜ
Dg = ℜ
Tentukan g o f beserta domain dan range-nya!
R f ∩ D g = ℜ ∩ ℜ = ℜ ≠ φ , sehingga g o f terdefinisi
a. Domain g o f
D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{
= {x ∈ ℜ
}
}
x x ∈ℜ
= ℜ∩ℜ = ℜ
26
Contoh
b. Range g o f
{
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
= {y ∈ ℜ y = t − 1, t ∈ ℜ}
}
= ℜ∩ℜ = ℜ
27
Grafik dari fungsi
1. Garis Lurus
y = mx + c
persamaan garis lurus yang melewati (0,c)
contoh :
y = x+3
3
-3
28
Garis Lurus
( y − y1 ) = m(x − x1 )
Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 )
y − y1
x − x1
=
y 2 − y1 x 2 − x1
Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 ) & ( x 2 , y 2 )
2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y = ax 2 + bx + c
Diskriminan → D = b 2 − 4ac
29
Grafik Fungsi Kuadrat
D⎞
⎛ b
Titik puncak = ⎜ −
,− ⎟
⎝ 2a 4a ⎠
y
a >0
x
D>0
D=0
D<0
30
Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y = x 2 + x + 1
a =1 jadi a > 0 → grafik menghadap ke atas
D = b 2 − 4ac
= 12 − 4
= -3 < 0
→ tidak menyinggung sumbu x
31
Grafik Fungsi Kuadrat
„
Titik potong dengan sumbu koordinat
‰ Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada
‰
Titik potong dengan sumbu y
x=0→y=1
dengan demikian grafik melalui (0,1)
D⎞
⎛ b
,
−
−
⎟
• Titik puncak = ⎜
⎝ 2a 4a ⎠
⎛ 1 3⎞
= ⎜− , ⎟
⎝ 2 4⎠
32
Grafik Fungsi Kuadrat
Gambar grafik fungsi
y = x + x +1
2
x = ay 2 + by + c
b ⎞
⎛ D
Titik puncak = ⎜ −
,− ⎟
⎝ 4a 2a ⎠
1
3
-1 −
1
Untuk persamaan kuadrat
4
b
Sumbu simetri = −
2a
2
33
Grafik Fungsi Majemuk/banyak
aturan
3. Grafik Fungsi Majemuk
Contoh :
1. Gambarkan grafik fungsi f ( x) = x
⎧ x ,x ≥ 0
x =⎨
⎩− x , x < 0
y=-x
y=x
34
Grafik Fungsi Majemuk
2. Gambarkan grafik fungsi
x≤2
⎧ 1
f (x ) = ⎨
⎩x + 2 x > 2
Grafiknya terdiri dari 2
bagian, yaitu garis y = 1
untuk x ≤ 2 dan garis
y = x + 2 untuk x > 2
y = x+2
y =1
2
35
Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
x2 − 4
f (x ) =
x−2
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga
domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2
Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :
f (x ) =
(x + 2)(x − 2)
(x − 2)
36
Grafik Fungsi Majemuk
atau f ( x ) = x + 2 , jika x ≠ 2
Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.
Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y = x + 2
kecuali titik (2,4).
y = x+2
4
2
37
Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = 1 − 3 x
Kita definisikan :
⎧1 − 3 x
1− 3 x = ⎨
⎩1 + 3 x
x≥0
x<0
1
y = 1 + 3x
− 13
y = 1 − 3x
1
3
38
Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f ( x ) , a > 0
y = f (x − a )
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y = f (x + a )
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
y = f (x ) + a
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
y = f (x ) − a
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
39
Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f ( y ) , a > 0
x = f ( y − a)
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x = f ( y + a)
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
x = f (y)+ a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x = f (y) − a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
40
Contoh Translasi
1. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = x 2 − 4 x + 5
(
)
= x 2 − 4x + 4 − 4 + 5
= (x − 2) + 1
2
y = (x − 2)
y = x2
y = (x − 2)
4
2
2
→ y = x 2 digeser sejauh
2
2 ke kanan
41
Contoh Translasi
Kemudian y = ( x − 2 )
2
digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk y = ( x − 2 ) + 1
2
2
y = (x − 2 ) + 1
4
y = (x − 2 )
2
2
42
Contoh Translasi
2. Gambarkan grafik fungsi f ( x ) = 1 − 3 x
Kita lihat dahulu grafik y = 3 x
3
y = −3 x
:
y = 3x
43
Contoh Translasi
Grafik y = 1 − 3 x dapat
dipandang sebagai grafik
y = −3 x yang digeser
1
ke atas sejauh 1 satuan
y =1− 3 x
y = −3 x
44
Limit
„
∀ ε>0, ∃ δ>0 sehingga
| f(x) – L | < ε apabila 0 < | x – c | < δ.
45
Contoh:
Tunjukan bahwa
lim
x→3
(x
2
)
+ 2 x = 15
Bukti:
Ix2 + 2x - 15I = I(x + 5)(x - 3)I
= Ix + 5I Ix - 3I
Misal untuk δ ≤ 1, Ix – 3I<1 atau x ∈ (2, 4)
Jadi x+5 ∈ (7, 9) atau x+5 < 9
Ix2 + 2x - 15I = I(x + 5)(x - 3)I
< 9δ
apabila 0 < Ix - 3I < δ ≤ 1
46
Ambil ε>0 sebarang
ε
Pilih δ = min{1,
9},
maka untuk 0 < Ix - 3I < δ
Ix2 + 2x - 15I = I(x + 5)(x - 3)I
< 9δ
apabila 0 < | x - 3| < δ ≤ 1
Ambil sembarang ε > 0
Pilih δ = min
diperoleh :
⎧ ε ⎫
⎨1, ⎬
⎩ 9⎭
. maka untuk 0 < | x - 3| < δ ,
| x2 + 2 x − 15 | = |(x + 5) (x - 3)|
< 9δ ≤ ε.
Ini menunjukkan bahwa
lim
x→3
x + 2 x = 15
2
47
Contoh
Bukti :
Tulis f(x)=b , ∀x ∈ R
Ambil sembarang ε > 0.
Pilih δ = 1 > 0.
Dipunyai 0 < |x - c| < 1.
Jelas | f(x) – b | = | b – b | = 0 < 1 = ε
Jadi ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∋ |f(x) – b|< ε apabila 0< |x - c|< δ
48
2. Buktikan
lim
x→c
x2 = c2
Bukti :
Tulis f(x) = x2
Ambil sembarang ε > 0
Pilih δ = min
⎧⎪
⎫⎪
1
⎨1,
⎬
c + 2 ⎪⎭ .
⎪⎩
Dipunyai 0 < |x - c| < δ
Dicari batas |x + 1| pada 0 < |x - c| < 1
Jelas 0 <|x – c| < 1 ⇔ c – 1 < x < c + 1
⇔ c<x+1<c+2
49
⇔ |x + 1| < |c +2| ≤ |c| + 2.
Jadi | f(x) – c2 = x2 - c2
= |x – c| |x + c|
< δ (|c| + 2)
Jadi∀ ε > 0 ∃ δ > 0
Jadi
lim
x→c
x =c
2
∋ |f(x) – b|< ε apabila 0< |x - c|< δ.
2
50
Soal Latihan
Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini
1 f (x ) = 3 + 2 − 4 x
2 f (x ) =
,
x ( x − 3)
x −1
5 Diketahui
1
+2
x
3
f (x ) = 3x −
4
f (x ) = x 2 − 5 x + 6
f ( x) = 4 − x
g ( x) = x
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari
f o g dan domain dari f o g.
Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini
6 f (x ) = x (x + 2 )
7
f (x ) = 3 − x − 2
51
Sistem bilangan
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
Q:
a
q = , a, b ∈ Z , b ≠ 0
b
R = Q ∪ Irasional
Contoh Bil Irasional
2 , 3, π
52
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
π
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
53
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
selang
(− ∞, a )
{x x ≤ a}
{x a < x < b}
{x a ≤ x ≤ b}
{x x > b}
{x x ≥ b}
{x x ∈ ℜ}
(− ∞, a]
(a, b)
[a, b]
(b, ∞)
[b, ∞)
(∞, ∞)
Grafik
a
a
a
b
a
b
b
b
54
Sifat–sifat bilangan real
•
Sifat-sifat urutan :
‰
‰
‰
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
55
Pertidaksamaan
„
„
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
A( x ) D( x )
<
B(x ) E (x )
„
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
56
Pertidaksamaan
„
„
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
,
P( x)
<0
Q( x)
dengan cara :
57
Pertidaksamaan
‰
‰
2.
3.
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis
bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
58
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1
13 ≥ 2 x − 3 ≥ 5
⇔ 13 + 3 ≥ 2 x ≥ 5 + 3
⇔ 16 ≥ 2 x ≥ 8
⇔8≥ x≥4
⇔4≤ x≤8
Hp = [4,8]
4
8
59
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
− 2 < 6 − 4x ≤ 8
⇔ −8 < −4 x ≤ 2
⇔ 8 > 4 x ≥ −2
⇔ −2 ≤ 4 x < 8
1
⇔− ≤x<2
2
⎡ 1 ⎞
Hp = ⎢ − ,2 ⎟
⎣ 2 ⎠
− 12
2
60
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
3 2x − 5x − 3 < 0
2
⇔ (2 x + 1)( x − 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x = −
2
++
--
−
1
dan
x=3
++
3
2
⎛ 1 ⎞
Hp = ⎜ − ,3 ⎟
⎝ 2 ⎠
61
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x ≤ 3x + 6
⇔ 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x dan 6 − 7 x ≤ 3x + 6
⇔ 2 x + 7 x ≤ 6 + 4 dan − 7 x − 3x ≤ −6 + 6
⇔ 9 x ≤ 10 dan
10
⇔x≤
dan
9
10
dan
⇔x≤
9
− 10 x ≤ 0
10 x ≥ 0
x≥0
62
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
10 ⎤
⎛
Hp = ⎜ − ∞, ⎥ ∩ [0, ∞ )
9⎦
⎝
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
⎡ 10 ⎤
Hp = ⎢0, ⎥
⎣ 9⎦
63
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1
2
5. x + 1 < 3 x − 1
1
2
⇔
−
<0
x + 1 3x − 1
(
3 x − 1) − (2 x + 2 )
<0
⇔
(x + 1)(3x − 1)
x −3
⇔
<0
(x + 1)(3x − 1)
1
TP : -1,
3
--
++
-1
Hp =
-1
3
++
3
⎛1 ⎞
(− ∞,−1) ∪ ⎜ ,3 ⎟
⎝3 ⎠
,3
64
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
6.
x +1
x
≤
2− x 3+ x
x +1
x
⇔
−
≤0
2− x 3+ x
(
x + 1)(3 + x ) − x(2 − x )
⇔
≤0
(2 − x )(3 + x )
2x 2 + 2x + 3
⇔
≤0
(2 − x )(x + 3)
65
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Untuk pembilang 2 x 2 + 2 x + 3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
-2
Hp = (− ∞,−3) ∪ (2, ∞ )
66
Pertidaksamaan nilai mutlak
„
„
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak
x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
⎧ x ,x ≥ 0
x =⎨
⎩− x , x < 0
67
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
„
1
2
x =
x2
x ≤ a, a ≥ 0 ↔ − a ≤ x ≤ a
3
x ≥ a, a ≥ 0 ↔ x ≥ a atau x ≤ − a
4
x ≤ y
5
x
x
=
y
y
↔ x2 ≤ y2
6. Ketaksamaan segitiga
x+ y ≤ x + y
x− y ≥ x − y
68
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x − 5 < 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
⇔ −3 < 2 x − 5 < 3
⇔ 5 − 3 < 2x < 3 + 5
⇔ 2 < 2x < 8
⇔1< x < 4
Hp = (1,4 )
1
4
69
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x − 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
⇔ (2 x − 5) < 9
2
⇔ 4 x 2 − 20 x + 25 < 9
⇔ 4 x 2 − 20 x + 16 < 0
2
⇔ 2 x − 10 x + 8 < 0
⇔ (2 x − 2 )( x − 4 ) < 0
++
-1
++
4
Hp = (1,4 )
TP : 1, 4
70
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
3. 2 x + 3 ≥ 4 x + 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
⇔ (2 x + 3) ≥ (4 x + 5)
2
2
⇔ 4 x 2 + 12 x + 9 ≥ 16 x 2 + 40 x + 25
⇔ −12 x 2 − 28x − 16 ≥ 0
2
⇔ 3x + 7 x + 4 ≤ 0
TP :
4 , -1
−
3
71
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
-−4
3
++
-1
⎡ 4 ⎤
Hp = ⎢− ,−1⎥
⎣ 3 ⎦
72
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
+7 ≥ 2
2
x
⇔ +7≥ 2
2
x
⇔ ≥ −5
2
⇔ x ≥ −10
Hp =
atau
atau
atau
x
+ 7 ≤ −2
2
x
≤ −9
2
x ≤ −18
(− ∞,−18] ∪ [− 10, ∞ )
-18
-10
73
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
Kita definisikan dahulu :
⎧ x + 1 x ≥ −1
x +1 = ⎨
⎩− x − 1 x < −1
⎧x − 2 x ≥ 2
x−2 = ⎨
⎩2 − x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
(− ∞,−1)
II
III
[− 1,2)
-1
[2, ∞ )
2
74
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x < −1
atau
(− ∞,−1)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(2 − x ) − (− x − 1) ≥ −2
⇔ 6 − 3x + x + 1 ≥ −2
⇔ 7 − 2 x ≥ −2
⇔ −2 x ≥ −9
⇔ 2x ≤ 9
9
⇔x≤
2
atau
9⎤
⎛
⎜ − ∞, ⎥
2⎦
⎝
75
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = ⎛⎜ − ∞, ⎤⎥ ∩ (− ∞,−1)
2⎦
⎝
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (− ∞,−1)
sehingga Hp1 = (− ∞,−1)
76
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval − 1 ≤ x < 2
atau
[− 1,2)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(2 − x ) − ( x + 1) ≥ −2
⇔ 6 − 3x − x − 1 ≥ −2
⇔ 5 − 4 x ≥ −2
⇔ −4 x ≥ −7
⇔ 4x ≤ 7
7
⇔ x≤
4
7⎤
⎛
atau ⎜ − ∞, ⎥
4⎦
⎝
77
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 = ⎛⎜ − ∞, ⎤ ∩ [− 1,2 )
⎥
4⎦
⎝
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7⎤
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡
⎡ 7⎤
sehingga Hp2 = ⎢− 1, ⎥
4⎦
⎣
⎢⎣− 1, 4 ⎥
⎦
78
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
x≥2
atau [2, ∞ )
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3( x − 2) − ( x + 1) ≥ −2
⇔ 3x − 6 − x − 1 ≥ −2
⇔ 2 x − 7 ≥ −2
⇔ 2x ≥ 5
5
⇔x≥
2
atau
⎡5 ⎞
⎢2 ,∞⎟
⎣
⎠
79
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = ⎡ 5 , ∞ ⎞⎟ ∩ [2, ∞ )
⎢
⎣2
⎠
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡ 5 ⎞
sehingga
⎢⎣ 2 , ∞ ⎟⎠
⎡5 ⎞
Hp3 = ⎢ , ∞ ⎟
⎣2
⎠
80
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp3
7⎤ ⎡5 ⎞
⎡
Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎢− 1, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟
4⎦ ⎣2 ⎠
⎣
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
81
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5
4
4
5
2
2
7⎤ ⎡5 ⎞
⎛
Jadi Hp = ⎜ − ∞, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟
4⎦ ⎣2 ⎠
⎝
82
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x + 2 ≥ 1− x
4 − 2x
x − 2 x +1
≤
2
2
x
x+3
3 2 − x + 3 − 2x ≤ 3
4 x +12 + 2 x + 2 ≥ 2
5 2x + 3 ≥ 4x + 5
6 x + 3x ≤ 2
83