Mencari domain 2. Carilah domain dan range dari fungsi

• Suatu pemetaan f dari himpunan A ke
himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota
dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan
dengan tepat satu anggota dari himpunan B
• Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan
huruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun huruf
besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan
sebagainya
• Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f:A→B
yang artinya f memetakan A ke B
• A disebut daerah asal (domain) dari f dan B
disebut daerah hasil (codomain) dari f.
• Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df
• Apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa
domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam
R sehingga f terdefinisikan atau ada.
Df = { x ∈
| f ( x) ∈
}
• Himpunan semua anggota B yang mempunyai
kawan di A dinamakan Range atau daerah hasil
fungsi f, ditulis Rf
{
Rf = f ( x ) ∈
| x ∈ Df
}
• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x
∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan
“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “y
merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan
variable bebas dan variabel tak bebas.
Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
• Tentukan domain dan range dari fungsi
berikut:
1. f ( x ) = x + 3
2. f ( x ) = x
3. f ( x ) = 2 x − 6
4. f ( x ) =
3
5. f ( x ) =
x − 4
2
x −9
2
1. f ( x ) = x + 3
Untuk setiap x ∈
nilai dari f ( x )
selalu ada dan f ( x ) ∈
.
Df = { x | x ∈ } dan R f =
{y
y ∈
}
2. f ( x ) = x 2
Untuk setiap x ∈
nilai dari f ( x ) selalu ada
dan memiliki nilai positif ( f ( x ) ∈
Df = { x | x ∈ } dan R f =
{
+
) sehingga:
y y ∈
+
}
3. f ( x ) = 2 x − 6
Jika kita memasukan nilai x = 1 maka
f (1) = 2(1) − 6 = −4 (tak terdefinisi),
Karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan
yang lebih dari atau sama dengan nol. Jadi
2x − 6 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 6 ⇔ x ≥ 3 .
Jadi daerah asalnya dalah: Df = { x | x ≥ 3, x ∈ }
Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan
nilai x pada daerah asal. R f = {y y ≥ 0 , y ∈
} = [0 , ~ )
4. f ( x ) = x 2 − 9
f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar
lebih dari atau sama dengan nol, sehingga
x 2 − 9 ≥ 0 ⇒ ( x + 3)( x − 3) ≥ 0
-3
0
3
Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah
x ≤ 3 atau x ≥ 3 jadi daerah asalnya adalah
Df = { x x ≤ −3 atau x ≥ 3} .
Rf =
{y
y ≥ 0, y ∈
} = [0 , ~ )
3
5. f ( x ) =
x − 4
Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya
tidak sama dengan nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka
x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4 sehingga:
Df = { x x ≠ 4} = { x x < 4 atau x > 4, x ∈ }
4
Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :
R f = {y y ≠ 0 , y ∈ } = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )
Carilah domain dan range dari fungsi :
1
f (x) =
4x + 3
Solusi:
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3
4x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ −
4
3  3 

D f =  −∞ , −  ∪  − , ∞  =
4  4 

{ }
3
− −
4
b. Mencari Range
f(x) tidak mungkin bernilai nol, sehingga
Rf = − {0}
R f = (− ∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2
f (x ) =
3x + 1
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0
1
x≠−
3
Sehingga
1  1 

Dt =  − ∞,−  ∪  − , ∞ 
3  3 

b. Range
x+2
f (x ) = y =
3x + 1
3 xy + y = x + 2
3 xy − x = 2 − y
x(3 y − 1) = 2 − y
2− y
x=
3y −1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y −1 ≠ 0
1
y≠
3
Jadi
1 1 

R f =  − ∞,  ∪  , ∞ 
3 3 

Atau
{}
1
−
3
• Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi
yang diberikan!
a.
f (x) = 2x2 + 3
b.
f (x) =
c.
f (x) =
d.
4
f (x) =
2x + 6
e.
2x − 5
f (x) =
3x − 9
3x − 9
x 2 − 16
1. Fungsi polinom
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
-Fungsi konstan,
f ( x ) = a0
-Fungsi linier,
f (x ) = a0 + a1 x
-Fungsi kuadrat,
f (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2
2. Fungsi Rasional
Bentuk umum :
p(x )
q (x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh :
f (x ) =
(x + 1)2
x3 + x 2 + 1
3. Fungsi harga/nilai mutlak
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f (x ) = 3 x − 1 + 2 x − 2
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
x 
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
5 = 5
− 1,2 = −2
3,2 = 3
5. Fungsi Genap
Disebut fungsi genap jika
terhadap sumbu y
f (− x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
Contoh :
f (x ) = x 2
f (x ) = x
f ( x ) = cos( x )
6. Fungsi Ganjil
Disebut fungsi ganjil jika
f (− x ) = − f ( x ) dan grafiknya
simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin( x )
f (x ) = x3
7. Fungsi Komposisi
Diberikan fungsi f ( x ) dan g ( x ), komposisi fungsi antara
f ( x ) dan g ( x ) ditulis ( f o g )(x ) = f ( g ( x )) Domain dari
( f o g )(x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain
g ( x ) sehingga g ( x ) di dalam D f
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
terpenuhi R g ∩ Df ≠ ∅
maka harus
Rg ∩ Df ≠ ∅
Dengan cara yang sama,
(g o f )(x ) = g ( f (x ))
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
maka harus
terpenuhi Rf ∩ Dg ≠ ∅
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{
= {x ∈ D
}
f (x ) ∈ D }
D f o g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f
Dgo f
f
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{
= {y ∈ R
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
Rgo f
g
y = g (t ), t ∈ R f
}
}
1. Jika diketahui
f (x ) =
x
g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
g o f dan f o g beserta domain dan range-nya!
D f = [0, ∞ )
R f = [0, ∞ )
Karena
Dg =
R g = (− ∞,1]
R f ∩ D g = [ 0,∞ ) ≠ ∅, maka fungsi
terdefinisi
(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g (
)
x = 1− x
go f
a. Mencari Domain
Dgo f =
go f
{x ∈ D
f
f
( x )∈ D g }
{ x ∈ [0 , ∞ )
= {x ≥ 0 − ∞ <
=
{
}
= x≥0 x ≥0
= {x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [0, ∞ ) ∩ [0, ∞ )
= x ∈ [0, ∞ )
x ∈
x < ∞
}
}
b. Mencari Range
go f
{
}
= {y ∈ (− ∞,1] y = 1 − t , t ∈ [0, ∞ )}
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
Rg o f
2
Jadi R g o f = y ∈ (− ∞,1] ∩ (− ∞,1]
= y ∈ (− ∞,1]
Karena
R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞ ) =[ 0,1] ≠ ∅, maka fungsi
f o g terdefinisi dengan
( f o g )(x ) = f (g (x )) = f (1 − x 2 ) =
c.Domain f o g
{
= {x ∈
= {x ∈
D f o g = x ∈ D g g (x ) ∈ D f
}
}
1 − x 2 ∈ [ 0, ∞ )
}
1− x 2 ≥ 0
= { x ∈ −1 ≤ x ≤ 1}
= ∩ [ −1,1] = [− 1,1]
1− x2
d. Range f o g
{
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
{
}
}
= y ∈ [0, ∞ ) y = t , t ∈ (− ∞,1]
{
}
= y ≥ 0 y = t ,0 ≤ t ≤ 1
= {y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1}
= [0, ∞ ) ∩ [0,1]
= [0,1]
MA 1114 Kalkulus I
Tentukan
f og
dan g o f beserta domain dan range-nya!
a.
f ( x ) = x − 5 dan g( x ) = 2 x + 3
b.
f ( x) =
2
x −1 dan g( x ) = x 2 + 4