Penalaran Matematika dan Sistim Aksioma

LOGIKA MATEMATIKA
3 SKS
Deskripsi :
Mata kuliah ini meliputi : Penalaran matematika dan
sistim aksioma, Validitas Argumentasi, strategi
pemecahan masalah, methode pembuktian, logika
algoritma dan logika kombinasi, fuzzy set, fuzzy
logik, fuzzy inference, fuzzy clustering dan fuzzy
data base.
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengnyelesaikan mata kuliah ini mahasiswa
diharapkan dapat mengurai secara logis setiap
persoalan dalam ilmu komputer.
PERTEMUAN I
PENALARAN MATEMATIKA DAN SISTIM AKSIOMA

PENDAHULUAN :
-
Matematika memuat bahasa, aturan, penalaran yang jelas
dan sistimatik serta struktur yang sangat kuat.
- Matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan da
lam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi.
-
Matematika digunakan sebagai alat yang ampuh dalam
pemecahan berbagai masalah yang timbul dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi.
 Pengertian
Penalaran
adalah suatu proses berpikir untuk
menarik kesimpulan atau membuat
suatu pernyataan baru yang benar
berdasarkan beberapa pernyataan
yang kebenarannya telah dibuktikan
atau diasumsikan sebelumnya.
 Contoh
:
Jika besar dua sudut pada sebuah
segitiga 60° dan 100°, maka sudut yang
ketiga adalah 180° - ( 60° + 100° ) = 20°.
Hal ini berdasarkan pada teori matematika
bahwa jumlah besar sudut-sudut dalam
segitiga 180°.

PENALARAN MATEMATIKA
Pekerjaan matematika memerlukan 2 (dua) penalaran yaitu :
Penalaran Deduktif & Induktif
#
Penalaran deduktif adalah penalaran yang bekerja dengan
berbagai asumsi tidak dengan pengamatan.
#
Penalaran induktif adalah penalaran yang bekerja ber
dasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai
pada suatu perkiraan tertentu.
-
Pekerjaan Matematika dalam Skema
Contoh /
fakta
Kebenaran
hasil
-Rumus
-Methoda
-Pembuktian
Pengujian
Induksi : observasi
Gejala-gejala teramati
HASIL
BARU
Deduktif :
- Logika
- Penalaran
- Teknik matematik
Induksi :
-
Abstraksi
Observasi
Generalisasi
Renungan
PERKIRAAN HASIL BARU
Contoh : Perumusan persamaan kuadrat
ax² + bx + c = 0
Proses Induksi :
Fakta
: Akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 2 = 0 adalah 1 dan 2
Gejala : Jumlah akar = 3 = - ( -3 ) , hasil kali akar = 2
Fakta
: Akar persamaan kuadrat x2 – 3x - 4 = 0 adalah -1 dan 4
Gejala : Jumlah akar = 3 = - ( -3 ) , hasil kali akar = -4
Fakta
: Akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah ½ dan 1
Gejala : Jumlah akar = 1 ½ = - ( -3 )/2 , hasil kali akar = ½
Dari fakta dan gejala diatas dapat diduga bahwa :
Jumlah akar persamaan kuadrat = - b/a , dimana a≠ 0
Hasil kali akar persamaan kuadrat = c/a
Proses Deduksi
Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
di mana a ≠ 0.
Maka x1 dan x2 pasti memenuhi persamaan :
a( x - x1 )(x - x2 ) = 0
Akibatnya kita mempunyai persamaan :
ax2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x2 )
ax2 + bx + c = a(x2 – xx1 – xx2 + x1x2)
ax2 + bx + c = ax2 – ax(x1 + x2 ) + ax1x2
Dari persamaan diatas dapat disimpulkan :
b = – a(x1 + x2 ) atau x1 + x2 = - b/a
c = ax1x2 atau x1x2 = c/a
•
Dengan membandingkan hasil proses induksi dan deduksi kita
meyakini kebenaran pekerjaan matematika diatas, sehingga
kita dapat menuliskan sebuah teorema sebagai berikut :

Teorema :
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0 dimana a ≠ 0,
maka x1 + x2 = - b/a dan x1x2 = c/a
TUGAS MANDIRI Dikumpulkan Pada Pertemuan ke 2:
Turunkan teorema untuk persamaan:


ax3 + bx2 + cx + d = 0 ; a≠0
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ; a≠0
TUGAS KELOMPOK :
Mahasiswa aktif menurunkan teorema dari pengalamannya
sendiri (di presentasikan pada pertemuan ke 2).
SISTIM AKSIOMA
Sistim aksioma terdiri dari 4 bagian penting yaitu :
1. Istilah tak terdefinisi
adalah istilah dasar yang digunakan untuk membangun
istilah lain. Arti istilahnya sendiri tak terdefinisi.
contoh : himpunan, titik, garis, bidang dsb.
2. Istilah terdefinisi
adalah istilah yang dirumuskan dari istilah dasar
sehingga mempunyai arti tertentu dan
perumusannya menjadi suatu pernyataan yang
benar.
contoh :
himpunan kosong, garis lurus, titik didih,
bidang datar.
3. Asioma/Postulat.
adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar
pada suatu sistim dan diterima tanpa
pembuktian.
Aksioma hanya memuat istilah dasar dan terdefinisi,
tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya.

Teorema
adalah pernyataan matematika yang di rumuskan
secara logika dan di buktikan. Teorema terdiri
dari beberapa hipotesis dan kesimpulan yang
dapat di buktikan dengan memenfaatkan istilah
dasar, istilah terdefinisi, aksioma dan pernyataan
benar lainnya.
Tugas Kelompok Untuk di
Presentasikan Pada Pertemuan 2
Studi Literatur :
Ambillah masing-masing sebuah
contoh tentang Aksioma dan Teorema,
kemudian deskripsikan mengapa
disebut Aksioma dan Teorema.
Terimakasih