Bab 3 Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat

BAB 3
PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Ringkasan Rumus-rumus
Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0, dengan syarat a 0
1. Menentukan akar –akar Persamaan Kuadrat
a. Rumus abc
x12 
 b  b 2  4ac
2a
b. Pemfaktoran
ax2 + bx + c = 0
 (x – p)(x – q) = 0
 x = p atau x = q
2. Sifat-sifat akar-akar PK
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari PK ax2 + bx + c = 0 maka ;
1.
. b
x1  x 2 
2.
c
x1 .x2 
a
a
3. akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0
4. akar-akarnya saling berkebalikan jika a = c.
3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
PK yang memiliki akar akar  dan  adalah
x2 – ( + )x +  = 0
Beberapa rumus praktis dalam menyusun persamaan kuadrat baru;
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat
baru yang akar-akarnya:
(1) x1 + p dan x2 + p  a(x-p)2 + b(x-p) + c
(2) px1 dan px2  ax2 + bpx + cp2=0
(3)
1
1
dan
 cx2 + bx + a = 0
x1
x2
(4) x12 dan x22  a2x2 – (b2-2ac)x + c2 = 0
B. Ringkasan rumus-rumus Bab Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk Umum: ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c > 0
Penyelesaian
ax2 + bx + c < 0 ( daerah yang dicari adalah daerah positif)
(x – p)(x – q) < 0 (faktorkanlah ruas kiri)
Kemudian tuangkan ke dalam garis bilangan
p
q
ambil sembarang titik, kecuali di p dan q.
misalnya di titik 0. Kemudian kita substitusi ke dalam persamaan ax2 + bx + c.
Tentukankanlah nilainya positif atau negatif. Misalnya diperoleh negatif, berarti
daerah diatas nol adalah daerah negatif. Kemudian kita arsir daerah positif.
++++ ----------+++++
p
0
q
HPnya adalah daearah positif sehingga x < p atau x > q
Untuk pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0
Caranya identik dengan cara diatas.
C. Kisi-kisi UN Tahun 2012 Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
D. Contoh soal dan Pembahasan
1. Persamaan 2x2 + qx + (q-1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12+x22 = 4,
maka nilai q = ….
a. –6 dan 2
b. –5 dan 3
c. –4 dan 4
d. –3 dan 5
e. –2 dan 6
Pembahasan
Diketahui 2x2 + qx + (q-1) = 0, maka x1+x2 =
q
q 1
dan x1.x2 =
2
2
x12+x22 = (x1+ x2)2 - 2x1.x2
q 1
q
=
  2.
2
 2 
2
 4
 16 = q2- 4q + 4
 0 = q2- 4q -12
 4
 4
 4
q2
 (q  1)
4
q 2 4q  4
=

4
4
2
q  4q  4
=
4
=
 (q + 2)(q - 6) = 0
q = -2 atau q = 6
( jawab e )
2. Akar-akar persamaan x2 – 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x12 + x22 = …..
a. –8
b. –4
c. 4
d. 20
e. 28
Pembahasan
x2 – 4x + 6 = 0 maka a = 1, b = -4 dan c = 6
b
4
4
x1 + x2 =   
a
1
c 6
x1 x2 =   6
a 1
2
2
x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2 x1 x2
= 42-2.6
= 16-12 = 4
( Jawab c)
3. Persamaan kuadrat mx2 + (m-5)x – 20 = 0 akar-akarnya saling berlawanan.
Nilai m =….
a. 4
b.5
c. 6
d. 8
e. 12
Pembahasan
PK: mx2 + (m-5)x – 20 = 0 sehingga a = m, b = m-5 dan c = -20
Akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0
m – 5 = 0
 m=5
( jawab b)
1
= 0 mempunyai dua akar yang berlainan. Batas4
batas nilai m yang memenuhi adalaah….
a. –2 < m < 4
c. –4 < m < -2
e. m < -2 atau m > 4
b. –4 < m < -2
d. m < 2 atau m > 4
4. Persamaan kuadrat x2 –(m-1)x + 2
Pembahasan
1
1
x2 –(m-1)x + 2 = 0, maka diperoleh a = 1, b = -m + 1, c = 2
4
4
syarat dua akar berlainan adalah D > 0
b2 – 4ac > 0
1
(-m + 1 )2 – 4.1. 2 > 0
4
2
m – 2m + 1 - 9 > 0
m2 – 2m - 8 > 0
(daerah yang dicari daerah positif )
m – 4)(m + 2) > 0
++++
--------
++++
-2
0
4
untuk m = 0 maka 0 – 2.0 - 8 = -8 ( negatif ) sehingga daerah diatas 0 adalah negatif
daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif
tersebut dan itulah penyelesaiannya. sehinga diperoleh m < -2 atau m > 4
( jawab e)
2
5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x >
a. { x I –2 < x < 3, x  R}
b. { x I x < -3 atau x > 2, x  R}
c. { x I –6 < x <-2 atay x > 3, x  R}
x  6 , x  R adalah…..
d. { x I x<–2 atau x > 3, x  R}
e. { x I x> 3, x  R}
Pembahasan
x > x  6 ( kuadratkan kedua ruas )
 x2 > x + 6
 x2 - x – 6 > 0 ( daerah yang dicari daerah positif)
 (x - 3)(x + 2) > 0
-2
0
3
misal x = 0 maka 02 - 0 – 6 = -6 ( diperoleh hasil negatif) sehingga daerah diatas nol
adalah daerah negatif. Daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif,
maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya.
++++ -------++++
-2
0
3
diperoleh { x I x<–2 atau x > 3, x  R}
( jawab d )
6. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 adalah  dan . Persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya ( + 2) dan (+2) adalah…
a. x2 – 6x + 13 = 0
d. x2 – 2x + 7 = 0
2
b. x – 6x + 7 = 0
e. x2 – 2x + 13 = 0
c. x2 – 2x + 5 = 0
Pembahasan
x2 – 2x + 5 = 0 maka a = 1, b = -2 dan c = 5
b
2
2
+=  
a
1
c 5
 =  5
a 1
Persamaan kuadrat baru akar-akarnya ( + 2) dan (+2) berarti
x2 – (( + 2) + (+2)) x + ( + 2)(+2) = 0
x2 – ( ++4) x + ( + 2+2+4) = 0
x2 – ( ++4) x + ( + 2(+)+4) = 0
x2 – (2+4)) x + (5+ 2.2+4) = 0
x2 – 6 x + 13 = 0
Penyelesaian dengan rumus praktis
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya x1 + p dan x2 + p  a(x-p)2 + b(x-p) + c = 0
Persamaan x2 – 2x + 5 = 0 akar-akarnya adalah  dan .
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan (+2)
(x-2)2 – 2(x-2) + 5 = 0
 x2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 5 = 0
 x2 - 6x + 13 = 0
( jawab a )