persamaan kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT
Oct 2012
PERSAMAAN KUADRAT
A. BENTUK UMUM
ax2 + bx + c = 0
(a
a ≠ 0)
B. CARA MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
PEMFAKTORAN
ax 2 + bx + c = 0
x - x1 x - x2 = 0
x = x1 x = x2
RUMUS ABC
− ± √
, =
2
dengan D = b2 - 4ac (Diskriminan)
C. SIFAT AKAR
1. Dilihat dari nilai Diskriminannya
> 0 : kedua akarnya real dan berbeda
= 0 : kedua akarnya real dan sama
< 0 : kedua akarnya tidak real (tidak harus imaginer)
= : kedua akarnya rasional
Untuk = bilangan kuadrat sempurna
= 0, 1, 4, 9, 16, ....
2. Dilihat dari operasi akar
+ = − . =
− = ±
√
+ = + − 2 − = + − D. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU
Misal akan membuat persamaan kuadrat dengan akar-akar baru (misal menggunakan
y1 dan y2)
Cara : x 2 - y1 + y2 x + y1 .y2 = 0
1
http://www.gi2hblog.wordpress.com
PERSAMAAN KUADRAT
Oct 2012
CONTOH SOAL BESERTA PEMBAHASAN
1. Agar persamaan x 2 + "3q - 12%x - 4 = 0 memiliki akar-akar yang saling berlawanan
maka nilai q + 1 adalah....
Jawab :
cara biasa
akar-akarnya saling berlawanan, maka :
x1
+ 3& − 12
−
1
-3q
q
=
=
-x2
0
=
0
=
=
-12
4
Jadi hasil dari q + 1 = 4 + 1 = 5
cara cepat
karena akar-akarnya saling berlawanan, maka :
b = 0
3q - 12 = 0
3q = 12
q = 4
Maka hasil dari q + 1 = 4 + 1 = 5
2. Agar persamaan qx 2 + 12x + 2 - q = 0 mempunyai akar-akar yg saling berkebalikan
maka nilai dari 3q - 1 adalah....
Jawab :
Akar-akarnya saling bekebalikan, maka :
c = a
2-q = q
2q = 2
q = 1
3q - 1
=
=
=
3.1 – 1
3–1
2
2
http://www.gi2hblog.wordpress.com
PERSAMAAN KUADRAT
Oct 2012
3. Jika x 2 – p + 3x + 2p +2 = 0 mempunyai dua akar dengan perbandingan 3 : 1.
Jika p ∈ asli maka nilai p adalah....
Jawab :
cara biasa
x 2 – p + 3x + 2p +2 = 0
dengan x1 : x2 = 3 : 1 x1 = 3x2
x1 + x2
=
3x2 + x2
4x2
=
=
x2
=
x1
=
b
a
p+3
p+3
p+3
4
3
p + 3
4
-
x1 .x2
p + 3 3
p + 3
.
4
4
3p2 + 18p + 27
3p2 - 14p – 5
3p + 1
p - 5
=
c
a
=
2p + 2
=
=
=
32p + 32
0
0
1
atau p = 5
3
Karena p yang diminta adalah bilangan asli maka nilai p = 5
p=-
cara cepat
sedikit mengahafal rumus, jika x1 = nx2 maka berlaku :
n
ac
=
2
n
n + 12
b
x1 = 3x2
1
2p + 2
3
= 4
"−
p + 3%
2+ + 2
3
=
+ 6+ + 9
16
2
3p + 18p + 27 = 32p + 32
3p2 - 14p – 5 = 0
3p + 1"p - 5% = 0
1
atau p = 5
p=3
Karena p yang diminta adalah bilangan asli maka nilai p = 5
+
3
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 6 lebih besar dari akar-akar persamaan
x 2 - 4x - 8 = 0 adalah....
Jawab :
cara biasa
x 2 - 4x - 8 = 0
x1 + x2 = 4
x1 .x2 = -8
http://www.gi2hblog.wordpress.com
PERSAMAAN KUADRAT
Oct 2012
Diminta menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 6 lebih besar dari
akar-akar persamaan di atas, maka y1 = x1 + 6 dan y2 = x2 + 6
Jadi Persamaan Kuadrat baru :
x 2 - y1 + y2 x + y1 .y2 = 0
x 2 - x1 + 6 + x2 + 6x + x1 + 6
x2 + 6 = 0
x 2 - x1 + x2 + 12x + x1 .x2 + 6x1 + 6x2 + 36 = 0
x 2 - x1 + x2 + 12x + x1 .x2 + 6
x1 + x2 + 36 = 0
x 2 - 4 + 12x - 8 + 6
4 + 36 = 0
x 2 - 16x
16x +52 = 0
cara cepat
x 2 - 4x - 8 = 0
Persamaan Kuadrat Baru : akar-akar y1 = x1 + 6 dan y2 = x2 + 6
Dengan menghilangkan indeks, maka diperoleh :
y=x+6x=y-6
x 2 - 4x - 8 = 0
y - 62 - 4
y - 6 - 8 = 0
y 2 - 12y + 36 - 4y + 24 - 8 = 0
y 2 - 16y + 52 = 0
x 2 - 16x
16x + 52 = 0
5. Jika 12 adalah akar-akar real dari persamaan
x 2 + 2x + 1 =
3
x2
+ 2x +3
maka nilai dari . adalah....
Jawab:
3
+ 2x +3
2
2
x + 2x + 1
x + 2x +3 = 3 ..........#
Kita beri permisalan x 2 + 2x + 1 = y
Maka persamaan akan menjadi:
y (y + 2) = 3
x 2 + 2x + 1 =
x2
y 2 + 2y - 3 = 0
y + 3
y - 1 = 0
y = -3 atau y = 1
Untuk y = -3 x 2 + 2x + 1 = -3
x 2 + 2x + 4 = 0
Karena D < 0 maka akar-akarnya tidak real
Untuk y = 1 x 2 + 2x + 1 = 1
x 2 + 2x = 0
Karena D > 0 maka akar-akarnya real
8
Sehingga 56 . 57 = 9
4
8
9
= :
http://www.gi2hblog.wordpress.com