jumlah-dan-hasil-kali-akar-akar-pers

JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
ax 2  bx  c  0
maka
b
x1  x 2  
a
dan
x1 .x 2 
c
a
Contoh:
x  2x  8  0
2
x1  x 2  
b
2

 2
a
1
c
8
x1.x2 

 8
a
1
x 2  2x  8  0
( x  4)( x  2)  0
x1  4
atau
x2  2
x1  x2  4  2  2
x1.x2  (4).2  8
Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat
Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variable disebut simetri atau setangkup,
jika letak variable tersebut ditukar,
maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.
Contoh:
Bentuk-bentuk tidak simetri
Bentuk-bentuk simetri
ab
, karena
a  b , karena a  b  b  a
2
1 1

a b
2
a b
ab  ba
2
2
2
, karena 1  1  1  1
a b b a
2
, karena
a b  ba
a 2  b 2 , karena a 2  b 2  b 2  a 2
1 1

a b
, karena
1 1 1 1
  
a b b a
Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.
Contoh:
Akar-akar persamaan kuadrat
x 2  2x  8  0
Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:
a.
x1  x2
b.
x1 .x2
c. x1 2  x 2 2
d.
1
1

x1 x 2
Jawab:
a.
b.
b
2
x1  x 2  
   2
1
a
c
x1 .x 2 
a
8

 8
1
adalah x1 dan x2.
c.
x1  x 2  ( x1  x2 ) 2  2 x1 .x2
2
2
 (2) 2  2(8)
 4 16
d.
1
1

x1 x 2
 20
x2  x1

x1 x2
2
1


8
4
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat
x 2  10 x  (k  3)  0
Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k
Jawab:
Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.
Jadi
x1  4x2
Rumus jumlah akar-akar:
b
 10
x1  x 2    
 10
a
1
4 x2  x2  10
5x2  10
x2  2
Dari
x1  4x2
, maka
x1  4.2  8
Rumus hasil kali akar-akar:
c
x1 .x 2 
a
k 3

 k 3
1
2.8  k  3
16  k  3
16  3  k
k  13
Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat
1.Akar-akarnya berlawanan
ax 2  bx  c  0
( x1   x2 )  b  0
2. Akar-akarnya berkebalikan ( x1 
3. Sebuah akarnya sama dengan 0
4. Kedua akarnya bertanda sama
5. Kedua akarnya berlainan tanda
1
)ac
x2
( x1  0)  c  0
c
 0
a
c
 0
a
dan
x2  
b
a
Contoh:
2
2
Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat x  (2 p  1) x  ( p  3 p  4)  0
agar salah satu akarnya sama dengan nol.
Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah
Jadi:
p2  3p  4  0
( p  1)( p  4)  0
p  1
atau
p4
c0