BAB II Fungsi dan Grafik

BAB I
FUNGSI DAN GRAFIK
Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu
kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi
dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik
(tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit).
TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat
menggambarkan grafik fungsi yang diberikan
1.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi
Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x
dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam
himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan
A.
Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A
pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A  B. Himpunan A
disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B
disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f.
Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :
10
a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran
tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A
=  r2.
Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A
adalah fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus
eksplisit.
b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut
memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun
tertentu.
Tabel taksiran populasi penduduk dunia
Tahun (t)
Populasi (P)*
Tahun (t)
Populasi (P)*
1900
1650
1960
3020
1910
1750
1970
3700
1920
1860
1980
4450
1930
2070
1990
5300
1940
2300
1996
5770
1950
2520
*dalam jutaan
Untuk setiap nilai t terdapat nilai padanannya P, sehingga kita katakan
bahwa P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam
bentuk tabel.
c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w.
Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w,
kantor pos mempunyai aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian
11
kata – kata) untuk menentukan C bila w diketahui. Aturan yang
digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998 sebagai
berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons,
ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons.
d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa
adalah fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang
menyatakan hubungan antara a dan t.
a
(cm/det2)
t (detik)
1.2. Domain dan Kodomain Fungsi
Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f
mendapat nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang
anggota-anggotanya merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f
disebut range (daerah hasil) dari fungsi f.
Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan
penting dalam fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi
mempunyai makna.
x
f(x)
a
f(a)
12
f
Domain
Range
Keterkaitan antar variabel
Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain
f disebut variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan
pada range f disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian
fungsi di atas, apabila fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit
berikut
A =  r2
maka r merupakan variabel bebas, sedangkan A
adalah variabel terikat.
Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan
variabel terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat
maka notasi fungsi bentuk eksplisit ditulis y = f(x).
Contoh :
a. y = 3 sin x + cos x
b. y = x2 - 8 x + 10
Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan
variabel terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y
variabel terikat maka notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.
Contoh :
a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0
b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0
13
Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas
dan variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan
parameter. Jika x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka
 x  f (t )
notasi bentuk fungsi implisit dapat di tulis sebagai berikut : 
, t
 y  g (t )
sebagai parameter
Contoh :
 x  cos a
a. 
, a sebagai parameter
y

sin
a

 x  2t  t 2

b. 
t 2  2t , t sebagai parameter
y


2t  1
Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel
yakni x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua
varibel yaitu x dan y.
Contoh :
a. Fungsi satu variabel
 y=3x–2
 z = sin y + cos y
b. Fungsi dua variabel
 z = x3 + 4 x2 y - 8
 c = a2 b2 + a b4
14
Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat
dianggap bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar
sehingga fungsi tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut
daerah asal alamiah.
Contoh :
a. Tentukan domain dan range f(x) =
25  x 2
b. Tentukan domain dan range g(x) =
x 2  25
x5
Penyelesaian :
a. Domain fungsi f(x) =
25  x 2 adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai
bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2  0. Jadi
D(f) = {x  R : 25 - x2  0}
= {x  R : x2  25 }
= {x  R : -5  x  5}.
Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam
D(f). Jadi
R(f) = {y  R : y =
b. Domain fungsi g(x) =
25  x 2 , -5  x  5} = {y  R : 0  y  5}∎
x 2  25
adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai
x5
real. Fungsi g(x) bernilai real apabila x – 5  0, jadi D(g) = {x  R : x 
5}.
Range fungsi g(x) adalah
R(g) = {y  R : y =
x 2  25
, x  5}
x5
15
y
x 2  25 ( x  5)( x  5)

 x  5, x  5  y  10
x5
x5
R(g) = {y  R : y  10}∎
1.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka
fungsi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara
kedua fungsi itu didefinisikan sebagai berikut :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A  B
2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A  B
3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A  B
4. (
f
f(x)
f
daerah asal adalah { x A  B ; g(x)  0 }
)(x) 
g
g(x)
g
Contoh :
Jika f(x) =
x
dan g(x) =
4  x 2 , tentukan f + g, f – g,
fg,
f
dan
g
daerah asalnya
Penyelesaian :
Daerah asal f(x) adalah [0, +  ) dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2]
sehingga
irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, +  )  [-2, 2] = [0, 2].
Jadi menurut definisi diperoleh
(f + g)(x) =
x +
4  x 2 , dan daerah asal : [0, 2].
16
(f – g)(x) =
x -
(f g)(x)
x
(
=
f
)(x) =
g
4  x 2 , dan daerah asal : [0, 2].
4  x2 =
x
4  x2
=
4 x  x 3 , dan daerah asal : [0, 2].
x
, dan daerah asal : [0, 2) ∎
4  x2
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit
f  g (disebut juga
komposisi dari f dan g), didefinisikan oleh
(f  g)(x) = f(g(x))
Daerah asal f  g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah
asal g sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata
lain, (f  g)(x) akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi.
Penjelasan
f  g dapat dilakukan dengan gambaran diagram mesin
berikut :
x
g(x)
g
f
f(g(x))
(masukan)
(keluaran)
Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g
dan akan diperoleh hasil g(x), selanjutnya g(x) akan menjadi masukan
bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))
Contoh :
Jika f(x) =
x
dan g(x) =
2  x , tentukan komposisi fungsi berikut
daerah asalnya.
17
a. f  g
c. f  f
b. g  f
d. g  g
Penyelesaian :
a. (f  g)(x) = f(g(x)) = f( 2  x ) =
2-x =
4
2-x .
Daerah asalnya adalah x   2 - x  0= x   x  2= (-  , 2]
b. (g  f)(x) = g(f(x)) = g( x ) =
Agar
x.
2-
x terdefinisi, maka x  0 dan agar
x  0, yaitu
2 - x terdefinisi maka 2 -
x  2 atau x  4, sehingga daerah asalnya adalah
[0, 4].
c. (f  f)(x) = f(f(x)) = f( x ) =
x =
4
x , dan daerah asalny adalah [0 ,
 ).
d. (g  g)(x) = g(g(x)) = g(2 Agar
x)=
2- 2-x .
2  x terdefinisi maka 2 – x  0, yaitu x  2 dan agar
2 - 2 - x terdefinisi maka 2 -
2  x  0 , yaitu
2  x  2 atau x 
- 2, sehingga daerah asalnya adalah [-2, 2] ∎
Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f  g  h, adalah
dengan memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya
diproses pada g, dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f,
rumusannya adalah sebagai berikut
(f  g  h)(x) = f(g(h(x)))
Contoh :
18
Carilah f  g  h jika f(x) =
x
, g(x) = x5 dan h(x) = x + 3
x 1
Penyelesaian :
(f  g  h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) =
(x  3 )5
(x  3 )5  1
∎
Invers Fungsi.
Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A
dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam
B diperoleh kembali nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi
yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan x, dilambangkan
dengan f
-1
dan disebut invers dari f. Daerah asal f
daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan berarti
-1
adalah B dan
1
.
f
Hal ini dapat dituliskan
y = f(x)  x = f -1(y)
Contoh :
Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6
Penyelesaian :
Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x =
Sehingga f -1(x) =
y-6
= f -1(y)
2
x-6
∎
2
2.4. Macam-macam Fungsi
19
Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah
fungsi tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma,
dan fungsi eksponensial
Fungsi Tangga
Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotongsepotong Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang
sangat khusus yaitu fungsi nilai mutlak , dinotasikan |
bilangan bulat terbesar, dinotasikan
|, dan fungsi
 .
x
Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | = 
- x
jika x  0
jika x  0
Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut
:
y
-x
0
x
Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai x , yaitu bilangan
bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat
pada tiap bilangan bulat.
Contoh :
Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.
20
0,32
0,55

C(w) = 
0,78
1,01
jika
0  w 1
jika
1 w  2
jika
2w 3
jika
3 w 4
Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78,
C(2,7) = 0,78 dan seterusnya
Fungsi Genap dan Fungsi Gasal
Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x )
Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )
Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi
gasal simetri terhadap titik asal.
Contoh :
a. Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan
keduanya ?
b. Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?
Penyelesaian :
a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 – 2 (-x)4 + 11 (-x)2 – 5 = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 =
f(x)
maka f(x) adalah fungsi genap.
b. Karena f(-x) = (-x)3 – 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 – 2 x) = - f(x) maka f(x)
adalah fungsi gasal ∎
Fungsi Aljabar
21
Fungsi f disebut
fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan
menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian dan penarikan akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika
variabel x tidak terdapat di bawah tanda akar dan dikatakan irrasional jika
x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi aljabar dikatakan bulat rasional
jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan dikatakan pecah rasional jika
x terdapat sebagai penyebut.
Contoh :
a. f(x) =
1 3
x – x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar
3
bulat rasional
b.
x2  x 3
f(x) =
dan
x5
g(x) =
x -1
adalah fungsi aljabar pecah
3x  1
rasional.
c.
f(x) =
2x -1
merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) =
x-4
x  2 adalah fungsi aljabar bulat irrasional.
Fungsi Eksponensial
Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x
merupakan eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi
yang berbentuk
f(x) = ax
Sifat-sifat fungsi eksponensial dirangkum dalam teorema berikut
Teorema :
22
Jika a > 0 dan a  1, maka f(x) = ax merupakan fungsi kontinu
dengan daerah asal  dan daerah hasil (0,  ).
Khususnya, ax > 0 untuk setiap x.
Jika 0 < a < 1, f(x) = ax merupakan fungsi turun
Jika a >1, f(x) merupakan fungsi naik.
Jika a, b > 0 dan x , y   , maka
1. ax + y = ax + ay
2. a
x-y
ax
= y
a
3. (ax) y = xx y
4. (a b) x = ax bx
Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial
natural,yaitu
y = ex
Fungsi Logaritma
Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut
fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan a log .
Jika digunakan perumusan fungsi invers,
f -1 (x) = y  f(y) = x
maka diperoleh
a
log x = y  ay = x
sehingga
23
a
log (ax) = x untuk setiap x  
dan
a
a
log x
= x untuk setiap x > 0
Sifat fungsi logaritma diberikan dalam teorema berikut.
Teorema :
Jika a > 1, fungsi f(x) =
a
log x merupakan fungsi kontinu dan naik
dengan daerah asal (0,  ) dan daerah hasil  .
Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka
1. a log (x y) = a log x + a log y
2. a log (xr) = r a log x
x
3. a log ( ) = a log x – a log y
y
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural
dan mempunyai lambang khusus
e
log x = ln x
Dari sifat fungsi logaritma diperoleh
ln x = y  e y = x
ln(e x) = x untuk setiap x  
e ln x = x untuk setiap x > 0
Untuk x = 1, diperoleh
ln e = 1
24
Sifat-sifat logaritma Natural
Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka
1. ln (x y) = ln x + ln y
x
2. ln ( ) = ln x – ln y
y
3. ln (xr) = r ln x
1.5. Grafik Fungsi
Jika
daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan
bilangan real, maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu
bidang koordinat. grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).
Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang
digunakan, yaitu sketsa kasar dan sketsa halus.
Untuk menentukan
sketsa mana yang akan digunakan, apakah sketsa halus atau kasar, tentu
tergantung dari kebutuhan. Jika yang dibutuhkan hanya pola hubungan
antar variabel, cukup digunakan sketsa kasar, tetapi jika akan digunakan
untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu, tentu saja sketsa halus
yang dibutuhkan.
Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya
sekumpulan datanya, maka untuk menentukan bentuk fungsinya, terlebih
dahulu
diprediksi
bentuk
fungsi
tersebut.
Selanjutnya
dengan
menggunakan data-data yang tersedia, kemudian dicari konstantakonstanta yang belum diketahui. Untuk menentukan konstanta-konstanta
tersebut sering digunakan metode kuadrat terkecil dan hal ini akan
25
dibahas pada saat pembahasan turunan, sedangkan pada pembahasan
ini akan digunakan pendekatan kasar.
Contoh :
a. Sketsa grafik y = x
b. Sketsa grafik y = x2 – 3 x + 2
Penyelesaian :
a.
Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y
berikut
x
y = x
-2
2
-1
1
0
0
1
1
2
2
Sehingga grafiknya adalah
b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke
atas. Untuk menggambarkan grafik y = x2 – 3 x +2, maka dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
26
 Titik potong dengan sumbu x, y = 0
x2 – 3 x +2 = 0
(x – 1) (x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).
 Titik potong dengan sumbu y, x = 0
y = 02 – 3.0 + 2 = 2
Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)
 Sumbu simetri y = 
b
3

2a
2
 Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .
Transformasi fungsi.
Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fungsi yang
diketahui akan dapat diperoleh grafik baru yang berkaitan. Ada dua
transformasi fungsi yang dapat digunakan untuk mendapatkan grafik baru
, yaitu
27
1. Pergeseran (translasi) tegak dan mendatar.
Misalkan c > 0. untuk memperoleh grafik

y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x) – c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

y = f(x – c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
2. Peregangan dan pencerminan tegak dan mendatar.
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik

y = c f(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c

y = (1/c) f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor
c

y = f(c x), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor
c

y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor
c

y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x

y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y
Terapan Fungsi (Model Matematika)
Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali
menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata.
Beberapa contoh penerapan model matematika adalah pemodelan
pertumbuhan populasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda
28
jatuh, konsentrasi zat hasil pada reaksi kimia, harapan hidup seseorang
pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah
memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang perilaku
fenomena tersebut pada masa depan.
Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah :
1. Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut
dengan seksama.
2. Rumuskan
model
matematika
dengan
cara
mengenali
dan
menentukan variabel bebas dan variabel terikat, membuat asumsi yang
menyederhanakan
permasalahan.
Selanjutnya,
dengan
bekal
pengetahuan tentang situasi fisik dan ketrampilan matematika, dapat
dibentuk persamaan yang mengaitkan variabel – variabel tersebut.
3. Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika
dapat
dirumuskan
kesimpulan
secara
matematis.
Selanjutnya,
kesimpulan matematis tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang
fenomena dunia nyata semula dengan cara menyodorkan penjelasan
atau membuat perkiraan.
4. Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil
prakiraan model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan
model mendekati fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan
valid. Jika tidak, model tersebut perlu diperbaiki.
Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat
secara lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu
29
dengan memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik
menyederhanakan kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan
kalkulasi matematika, tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan
yang berharga.
Model Linier
Bila hasil ploting grafik antara variabel terikat dan variabel bebas
menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan
bahwa y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat
dinyatakan dengan
y = f(x) = m x + b.
Contoh :
a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika
suhu permukaan tanah adalah 20
o
C dan suhu pada ketinggian 1 km
adalah 10 oC. Nyatakan suhu T ( dalam
o
C ) sebagai fungsi tinggi h
(dalam km) dengan anggapan bahwa suatu model linier sudah
memadai. Dan gambarkan grafik fungsi di atas.
Penyelesaian :
Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis
T=mh+b
Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga
20 = m . 0 + b = b
Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga
10 = m . 1 + 20
kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh
30
T = -10 h + 20
Grafiknya berupa sketsa kasar
b. Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam
hidroksivaleri pada suhu 250 C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t)
dari asam ini (dalam mol perliter) setelah t menit.
T
C(t)
0
2
4
6
8
0,0800
0,0570
0,0408
0,0295
0,0210
Sketsa grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7)
Penyelesaian :
Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4,
0.0408) dan (8, 0.0210), maka persamaan fungsinya adalah
C(t)  0,0408
t 4

0,0210  0,0408 8  4
C(t)
= - 0,0198 t + 0,2424
Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan
diperoleh nilai C(t) yang diinginkan.
31
C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038 ∎
Latihan 2.
Bagian
Soal yang berkaitan
2.1
1 sampai 10
2.3
11 sampai 38
2.4
39 sampai 48
2.4
49 sampai 63
2.5
59 sampai 61
Untuk soal nomor 1 sampai dengan 10, carilah domain dan range dari
fungsi f
1. f(x) =
x2
x2  1
6. f(x) =
4 - x2
x2  x  6
1
x 1
2. f(x) =
4
x2  6x
7. f(x) =
3. f(x) =
3
x 2  6x
8. f(x) = |x| + x
4. f(x) =
5. f(x) =
x2
2x - 6
x2
2x  6
9. f(x) = |2 x + 3|
2 x  3 jika
10. f(x) = 
 3 - x jika
x  -1
x  1
Untuk soal nomor 11 sampai dengan 15, tentukan f + g, f – g , f g ,
f
dan daerah asalnya.
g
11. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1
32
12. f(x) = 1  x , g(x) = 1  x
13. f(x) =
x
, g(x) =
x-1
14. f(x) = x2 + x , g(x) =
15. f(x) = x –
1 x2
2
x3
1
, g(x) = x2 + 1
x
16. Jika f(x) = x2 + x , g(x) =
17. Jika f(x) =
18. f(x) = x –
2
f
, carilah (f – g)(2), ( )(1), g2(3)
x3
g
x 2  1 , g(x) =
2
, carilah f 4(x) + g 4(x)
x
1
, g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)
x
Untuk soal nomor 19 sampai dengan 22, tentukan (a). f  g , (b). g  f,
(c). f  f, (d). g  g dan daerah asalnya
19. f(x) =
x  1 , g(x) = x2
20. f(x) =
1
, g(x) = x3 + 2 x
x
21. f(x) =
1
x -1
, g(x) =
x -1
x  1
22. f(x) =
x 2  1 , g(x) = 1 - x
Untuk soal nomor 23 dan 24, tentukan f  g  h jika
23. f(x) = x – 1, g(x) =
24. f(x) =
x , h(x) = x – 1
1
, g(x) = x3, h(x) = x2 + 2
x
25. Tentukan f dan g sedemikian hingga g  f =
x  7
33
26. Tentukan f dan g sedemikian hingga f  g =
x2
x2  4
Untuk nomor 27 dan 28, tentukan f, g dan h sedemikian hingga
27. f  g  h = 1 - 3
28. f  g  h =
3
x2
x 1
Untuk soal nomor 29 sampai dengan 38, tentukan f -1(x) dari
29. f(x) = -
x
+5
4
30. f(x) = -
31. f(x) = 5 – 4 x3
35. f(x) =
32. f(x) = (x – 4)3
36. f(x) =
33. f(x) =
x3/2
1
34. f(x) =
x  5
2-x
1
x3
2x - 2
x  3
37. f(x) =
x3  1
x3  2
 2x  1 
38. f(x) = 

 3x - 1 
3
Untuk soal nomor 39 sampai dengan 48, nyatakan apakah fungsi yang
diberikan genap, gasal, atau bukan keduanya
39. f(x) = 3 x2 + 2 x -1
40. f(x) =
41. f(x) =
3x
x 1
2
x -1
42.
f(x) = x 2  4
43.
f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x
44. f(x) =
45. f(x) =
46. f(x) =
x
x 1
2
2x  1
x-1
x2 1
x  x4
47. f(x) = | 2 x2 + 2|
48.
f(x) = - | x + 3 |
34
Untuk soal nomor 49 sampai dengan 58, gambarkan grafiknya
49. f(x) = 3 x + 6
 x 2  4, x  0

52. f ( x)  
2 x  4, x  0

50. f(x) = 2 x2 – 4 x + 2
53. f(x) = e x + 1
51. y = log x
54. f(x) = x 2  1
55. x  2
 x 2  4, x  2

,x  2
57. f ( x)   4
4  x , x  2

56. y = ln (x + 1)
58. f(x) = e x + 1
59. Perusahaan F harus mengeluarkan biaya
20.000 + 1000 x untuk
membuat x tempat obat yang dijual dengan harga Rp 2 000,00 per
buah.
a. Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x
buah tempat obat.
b. Hitung P(200) dan P(2000).
c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas.
60. Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berebentu persegi
panjang berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi
dengan panjang sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisisisinya ke atas. Nyatakan isi kotak sebagai fungsi dari x.
61. Tabel di bawah memuat rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfir,
diukur dalam “ppm-parts per million” di Mauna Loa Observatory sejak
th 1972 sampai th. 1990.
35
Tahun
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
Tk.CO2 327,3 330,0 332,0 335,3 338,5 341,0 343,3 347,0 351,3 354,0
a. Plot grafik tingkat CO2 sebagai fungsi waktu
b. Taksir bentuk fungsinya
c. Dengan menggunakan hasil b carilah tingkat CO2 pada th. 1985
dan th. 2003
@@@
36