Pertidaksamaan Kuadrat - E-Learning SMA Negeri 1 Sengkang

I. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:
1. ax 2  bx  c  0
2. ax 2  bx  c  0
3. ax 2  bx  c  0
4. ax 2  bx  c  0
dengan a, b, c bilangan real dan a  0.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam
variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:
a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f ( x)  x 2  3x  4 grafiknya
berbentuk parabbola dengan persamaan y  x 2  3x  4 . Sketsa grafik
parabola y  x 2  3x  4 diperlihatkan pada gambar berikut:
1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi x 2  3x  4  0 dalam selang x < -1 atau x > 4.
2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi x 2  3x  4  0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.
Jadi x 2  3 x  4  0 dalam selang – 1 < x < 4.
Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  3x  4 atau
parabola y  x 2  3x  4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian
atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.
a. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | 1  x  4, x  R}
b. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | 1  x  4, x  R}
c. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}
d. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat
f ( x)  ax 2  bx  c  0 dapat digunakan untuk menentukan
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ;
ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0
Contoh:
Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1,
carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.
a. x 2  2 x  1  0
b. x 2  2 x  1  0
c. x 2  2 x  1  0
d. x 2  2 x  1  0
Jawab:
Sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1, atau parabola
y  x 2  2 x  1, diperlihatkan pada gambar berikut:
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah Himpunan kosong ditulis 
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah HP  {x | x  1}
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah HP  {x | x  R dan x  1}
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah HP  {x | x  1 atu x  1, x  R } dapat juga ditulis
HP  {x | x  R}
b. Dengan garis bilangan
Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan x 2 3x  4  0
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
x 2 3x  4  0
 ( x  1)( x  4)  0
 x  1 atau x  4
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis
bilangan
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
x  2 maka nilai dari x 2 3x  4  (2) 2  3(2)  4  6 sehingga tanda
dalam interval x < -1 (+) atau >0
x  1 maka nilai dari x 2 3x  4  (1) 2  3(1)  4  6 sehingga tanda dalam
interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
x  5 maka nilai dari x 2 3x  4  (5) 2  3(5)  4  6 sehingga tanda dalam
interval x > 4 (+) atau > 0
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan
x 2 3x  4  0 adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP  {x | x  1 atau x > 4}
II. Pertidaksamaan Rasional
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.
1
0
x 1
x 1
0
ii.
x2
2x  3
0
iii.
x 1
x2  4
iv. 2
0
x x2
i.
Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu
pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan
atau pertidaksamaan rasional.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat
ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian
pertidaksamaan rasional
x 1
0
x3
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.
Langkah 1
Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian
penyebut: x – 3 = 0  x = 3.
Langkah 2
Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram
garis bilangan.
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.
Misal x = -2 maka nilai dari
x 1 1 1

 sehingga tanda dalam interval x < -1
x3 4 4
(+) atau >0.
x = 0, maka nilai dari
x 1
1
1

  sehingga tanda dalam interval -1<x<3 (x3 3
3
) atau < 0.
x = 4, maka nilai dari
x 1
1
4 1


 5 sehingga tanda dalam interval –x >
x3 3 43
3 (+) atau > 0.
Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti
diperlihatkan gambar sbb.
x 1
 0 adalah -1 < x < 3 dan
x3
himpunan penyelesaiannya adalah HP  {x | 1  x  3}
Maka penyelesaian dari pertidaksamaan
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari
Jawab :
Harga nol pembilang
x2  x  0
x( x  1)  0
x1  0  x2  1
x2  x
0 !
x2
Harga nol penyebut
x20
x  2
Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0
atau x > 1
Contoh 2:
x 2  4x  3
Tentukan penyelesaian dari 2
0
x  x6
Jawab:
Harga nol pada pembilang
x 2  4x  3  0
 ( x  3)( x  1)  0
 x  3 atau x  1
Harga nol penyebut
x2  x  6  0
 ( x  3)( x  2)  0
 x  3 atau x =2
Jadi himpunan penyelesaian dari
1  x  2 atau x >3}
x 2  4x  3
 0 adalah HP  {x | x  3 atau
x2  x  6
III. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4
cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !
Jawab :
A
x+4
x
B
x+2
C
AB 2  BC 2  AC 2
 x 2  ( x  2) 2  ( x  4) 2
 x 2  x 2  4 x  4  x 2  8 x  16
 x 2  4 x  12  0
 ( x  6)( x  2)  0
 x  6 atau x  2 (tidak memenuhi)
Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm