PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Disusun

PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
Disusun Oleh:
Kelompok 2
Rizki Resti Ari
09320002
Naviul Hasanah
09320040
JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2010
1. Menentukan Persamaan Garis yang Diketahui Unsur-unsurnya
a. Bentuk umum
ax + by + c = 0 atau y = mx + n
b. Persamaan sumbu x
y=0
c. Persamaan sumbu y
x=0
d. Sejajar sumbu x
y=k
e. Sejajar sumbu y
x=k
f. Melalui titik asal dengan gradien m
y = mx
g. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m
y -y1 = m (x - x1)
h. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b)
bx + ay = ab
i. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)
(𝑦−𝑦1 )
(𝑥−𝑥 )
= (𝑥 −𝑥1 )
(𝑦 −𝑦 )
2
1
2
(𝑦2 −𝑦1 )
y-y1 = ((𝑥
1
).(x-x1)
2 −𝑥1 )
ket :
Persamaan (i) didapat dari persamaan (g) dengan mengganti
(𝑦 −𝑦 )
m= (𝑥2 −𝑥1 )
2
1
(𝑦 −𝑦 )
Garis ini mempunyai gradien m = (𝑥2 −𝑥1 )
2
1
(http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0382%20Mat%201-5e.htm)
Contoh soal :
1. Diketahui sebuah garis mempunyai kemiringan 3 dan melalui titik P(6,4).
Tentukan persamaan garis tersebut!
Diket : m = 3
x =6
y =4
persamaan garis : y -y1 = m (x - x1)
y- 4 = 3 (x – 6)
y = 3x – 18
2. Diketahui sebuah garis yang melalui titik A(3,7) dan B(4,6). Tentukan
persamaan garis tersebut!
Diket : x1 = 3
x2 = 4
y1 = 7
y2 = 6
Persamaan garis :
(𝑦−𝑦1 )
(𝑥−𝑥1 )
=
(𝑦2 −𝑦1 )
(𝑥2 −𝑥1 )
(𝑦−7)
(𝑥−3)
= (4−3)
(6−7)
𝑦−7
𝑥−2
=
−1
1
𝑦 − 7 = −𝑥 + 2
𝑦 = −𝑥 + 9
𝑥+𝑦−9=0
2. Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya
adalah 2 atau biasanya sering disebut sebagai persamaan berpangkat 2.
Bentuk umum : , dimana 𝑎, 𝑏𝜖𝑅 dan 𝑎 ≠ 0
Dalam persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 merupakann koefisien
𝑥 2 , 𝑏 merupakan koefisien x, dan c merupakan suku tetapan (konstanta).
Contoh soal : Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat berikut
a. 10 + 𝑥 2 − 6𝑥 = 0
Jawab, a = 1
b=-6 dan
c = 10
b. 5𝑥 2 + 2𝑥 = 0
Jawab a = 5 b = 2
dan
c=0
Mencari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa
cara, yaitu :
a. Memfaktorkan (pemfaktoran)
Persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat berubah ke dalam bentuk
perkalian faktor, yaitu :
(𝑥1 − 𝑝)(𝑥2 − 𝑞) = 0
Himpunana penyelesaiannya (Hp) : {𝑝, 𝑞}
Contoh Soal : 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
Jawab : (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0
𝑥−1 =0∪𝑥−2 =0
𝑥 = 1∪𝑥 = 2
Jadi, Hp = {1,2}
b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk kuadrat 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dapat diubah menjadi suatu bentuk
yang memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu :
1
1
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + ( 𝑏)2 − ( 𝑏)2 + 𝑐
2
2
1
1
(𝑥 + 𝑏)2 − ( 𝑏)2 + 𝑐
2
2
1
1
𝑥 2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 → 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + ( 𝑏)2 = −𝑐 + ( 𝑏)2
2
2
1
1
(𝑥 + 𝑏)2 = −𝑐 + ( 𝑏)2
2
2
Contoh soal :
𝑥 2 − 6𝑥 − 16 = 0
Tentukan Hp persamaan kuadrat diatas dengan cara melengkapi bentuk
kuadrat sempurna!
Jawab :
𝑥 2 − 6𝑥 = 16 → 𝑥 2 − 6𝑥 + (−3)2 = 16 + (−3)2
(𝑥 − 3)2 = 16 + (−3)2
(𝑥 − 3)2 = 25
𝑥 − 3 = ±√25
𝑥 − 3 = ±5
𝑥1 = 5 + 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = −5 + 3
𝑥1 = 8 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = −2
Jadi Hp = {8,-2}
c. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
Selain pemfaktoran dan melengkapkankuadrat sempurna, persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan rumus abc
𝒙𝟏,𝟐
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
=
𝟐𝒂
Contoh soal :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 dengan
menggunakan rumus abc !
Jawab :
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0, berarti 𝑎 = 1, 𝑏 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 6
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝒙𝟏,𝟐 =
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟓 ± √𝟓𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟔
𝟐. 𝟏
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝟓 ± √𝟐𝟓 − 𝟐𝟒
𝟐
−𝟓 ± √𝟏
𝟐
−𝟓 ± 𝟏
=
𝟐
𝒙𝟏,𝟐 =
𝒙𝟏,𝟐
−𝟓 + 𝟏
−𝟓 − 𝟏
𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙𝟐 =
𝟐
𝟐
𝒙𝟏 =
𝒙𝟏 = −𝟐 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙𝟐 = −𝟑
Jadi, Hp = {-2,-3}
3. Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dan
Pertidaksamaan Kuadrat
a.
Pertidaksamaan linier (pangkat satu)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk
linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 → 2x > 5 + 3
2x > 8
x>4
Jadi Hp = { x | x > 4, x  R }
b. Pertidaksamaan Kuadrat (Pangkat Dua)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta.
Penyelesaian:
Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis
bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:
x² + x - 2 > 0
Jawab :
x² + x - 2 > 0 → x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x = -2 atau x = 1
+++++++
+
---------- - -- - - - -2
0
1
+++++++
+
Karena x² + x - 2 > 0, maka himpunan penyelesaiannya adalah positif.
Jadi, Hp = { x | x < -2 atau x > 1, x  R }
(http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm)
Latihan Soal 1.
1. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 dan y = 3x – 2 adalah …
a. {(-1, 1) , (-2, -4)}
b. {(-1, 1) , (-2, 4)}
c. {(1, 1) , (2, 4)}
d. {(-1, -1) , (-2, -4)}
e. {(1, -1) , (2, -4)}
2. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 1) dan (4, -3) adalah …
a. 6y + 4x + 2 = 0
b. 6y + 4x – 3 = 0
c. 6y + 2x – 2 = 0
d. -2y + 5x – 8 = 0
e. 2y + 4x + 6 = 0
3. Himpunan penyelesaian dari 2x2 + 5x – 3 = 0 adalah …
a. {½, -3}
b. {-½, -3}
c. {1, 3}
d. {-1, 3}
e. {-1, -3}
4. Penyelesaian dari
a.
b.
c.
d.
e.
3x  6
 1 adalah …
2x  2
1<x<2
–1<x<1
–2<x<1
1<x≤4
2<x<4
5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x + 6 > 0 adalah …
a. { x | -2 > x > 3, x  R}
b. { x | -3 > x > -2, x  R}
c. { x | -3 > x > 2, x  R}
d. { x | x > -3 atau x < -2, x  R}
e. { x | x < -3 atau x > -2, x  R}
Latihan Soal 2.
Isilah dengan jawaban yang tepat dan benar!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x² - 9 = 0 dengan cara memfaktorkan!
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 8x + 2 = 0 dengan cara
melengkapi bentuk kuadrat sempurna!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² - 5x - 7 = 0 dengan cara rumus
ABC!
4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 7x - 5 ≥ x - 17 dengan
selang/interval dan notasi himpunan !
5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x² - 5x + 6 ≤ 0
dengan selang/interval dan notasi himpunan !
REFERENSI
Johanes,dkk.2003.Kompetensi Matematika.Jakarta : Yudistira
………..2010.”Persamaan Garis”Ditulis dalam
http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/SponsorPendamping/Praweda/Matematika/0382%20Mat%201-5e.htm;diakses
pada 24 September 2010.
………..2010.”Pertidaksamaan”Ditulis dalam
http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/SponsorPend
amping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm;diakses pada 24
September 2010.
Ngapaningsih,dkk.2008.Detik-Detik Matematika.Klaten : Intan Pariwara