Modul Pertidaksamaan

MODUL MATEMATIKA UNTUK SMA
istiyanto.com
Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain
Pesan soal-soal matematika untuk SD, SMP dan SMA ?
Soal ulangan harian, ulangan mid, ulangan semester, soal-soal UAN dll.
Tulis permintaan Anda dan kirim email ke:
[email protected]
PERTIDAKSAMAAN MUTLAK
TEORI:
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Definisi Nilai Mutlak:
Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x didefinisikan sebagai:
 x, jika x ≥ 0
x =
− x, jika x < 0
Contoh:
|9|=9
|-8|=-(-8)=8
3 − 1 = 3 − 1, karena
3 −1≥ 0
1 − 2 = −(1 − 2 ) = −1 + 2, karena 1 − 2 < 0
Sifat-sifat nilai mutlak bilangan real:
1. ∀a ∈ R dan a ≥ 0 berlaku:
a. x < a ⇔ −a < x < a
2.
b.
x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
c.
x > a ⇔ x < −a atau x > a
d.
x ≤ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a
x = x2
3. ∀x, y ∈ R berlaku:
a.
x⋅y = x y
b.
x
x
=
y
y
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari 1 − 3 x = 8
1
Penyelesaian:
1− 3x = 8
⇔ 1 − 3 x = 8 atau 1 − 3 x = −8
⇔ −3 x = 7 atau − 3 x = −9
7
⇔ x = − atau x = 3
3
7
3
Jadi, HP = {− , 3}.
Definisi Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya berada di dalam
tanda mutlak.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari:
a. 2 x − 1 ≤ 5
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat 1b, maka
− 5 ≤ 2x − 1 ≤ 5
⇔ −5 + 1 ≤ 2 x ≤ 5 + 1
⇔ −4 ≤ 2 x ≤ 6
⇔ −2 ≤ x ≤ 3
Jadi, HP = { x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 3}.
b.
3x − 4 ≥ 8
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat 1d, maka
x ≤ −a atau x ≥ a
⇔ 3 x − 4 ≤ −8 atau 3 x − 4 ≥ 8
⇔ 3 x ≤ −4 atau 3 x ≥ 12
4
⇔ x ≤ − atau x ≥ 4
3
4
Jadi, HP = { x ∈ R | x ≤ − atau x ≥ 4}.
3
c.
x − 2 ≤ 1− 2x
Penyelesaian:
Dengan menngunakan sifat 2, maka
x − 2 ≤ 1− 2x
⇔ ( x − 2)2 ≤ (1 − 2 x )2
2
⇔ ( x − 2)2 = (1 − 2 x )2 (kedua ruas dikuadratkan)
⇔ x 2 − 4x + 4 ≤ 4x 2 − 4x + 1
⇔ −3 x 2 + 3 ≤ 1
⇔ 3 x 2 − 3 ≥ 0 (dikalikan negatif, tanda berubah)
⇔ x2 −1≥ 0
⇔ ( x + 1)( x − 1) ≥ 0
Pembuat nol: x=-1 atau x=1, sehingga
HP = { x ∈ R | x ≥ −1 atau x ≥ 1}.
Jadi,
d.
x 2 + 2x − 9 ≤ 6
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat 1b, maka
− 6 ≤ x 2 + 2x − 9 ≤ 6
⇔ −6 ≤ x 2 + 2 x − 9 dan x 2 + 2 x − 9 ≤ 6
⇔ x 2 + 2 x − 9 + 6 ≥ 0 dan x 2 + 2 x − 9 − 6 ≤ 0
⇔ x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 dan x 2 + 2 x − 15 ≤ 0
⇔ x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 dan x 2 + 2x − 15 ≤ 0
⇔ ( x + 3 )( x − 1) ≥ 0 dan ( x + 5)( x − 3) ≤ 0
Pembuat nol (I): x=-3 atau x=1
Pembuat nol yang (II): x=-5 atau x=3
Jadi, HP = { x ∈ R | −5 ≤ x ≤ −3 atau 1 ≤ x ≤ 3}.
LATIHAN:
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
3x − 2 ≤ 6
a.
b.
4x − 2 > 6
c.
x −3 ≤ x +5
d.
x 2 + 3 x − 14 ≤ 4
SELAMAT MENGERJAKAN-SEMOGA BERHASIL
3