Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Kemungkinan Jenis Akar

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a ≠ 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi
persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan
disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat
ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan
ax² + bx + c = 0 → ax² + bx + c = 0 → a (x + p/a) (x + p/a) = 0
→ x1 = - p/a dan x2 = - q/a
dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q² → x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 → X1,2 = ( [-b ± √(b²-4ac)]/2a
bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± √D)/2a
Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
1. D > 0
x1 = (-b+√D)/2a ; x2 = (-b-√D)/2a
PK mempunyai dua akar nyata berbeda
2. D = 0
x1 = x2 = -b/2a
PK mempunyai dua akar nyata yang sama
tt
3. D < 0
Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.
syarat akar nyata/ada/riil : D ≥ 0
Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akarakarnya.
Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
X1 = (-b+√
√D)/2a dan X2 = (-b-√
√D)/2a
didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a
X1.X2 = c/a
Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata
1. Kedua akar nyata berlawanan
Maksudnya : X1 = -X2
syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 → b = 0
Ket: X1 + X2 = 0 → -b/a = 0 → b = 0
2. Kedua akar nyata
berkebalikan
Maksudnya : X1 = 1/X2
syarat : D ≥ 0
X1 - X2 = √D/a
X1 . X2 = 1 → a = c
Ket: X1 . X2 = 1 → c/a = 1 → a = c
3. Kedua akar nyata positif
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0
syarat : D ≥ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0
4. Kedua akar nyata negatif
maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0
syarat: D ≥ 0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0
5. Kedua akar nyata berlainan tanda
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0
syarat : D > 0
X1 . X2 < 0
Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2
tandanya tidak pasti
6. Kedua akar rasional
Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk √
syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)
Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda √ , sehingga X1 dan X2
rasional
Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan
tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.
Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau
(X1.X2)
1. X1² + X2²
= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³
= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X14 + X24
= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2²
= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2
= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c
6. X1/X2 + X2/X1
= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)²
= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [√
√D/a]² = D/a²
8. X1² - X1²
= (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(√
√D/a)
Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan
Kuadrat Jumlah (X1+X2)²
Menyusun Persamaan Kuadrat
KEDUA AKARNYA KUADRAT
Andaikan akar-akarnya X1 dan X2
1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0
2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0
KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR
PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI
Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang
diketahui
1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]
Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.
Langkah:
Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing
merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2)
dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.
Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0
2. Hubungan beraturan (hal khusus)
Akar-akar baru
p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p)
p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p)
Hubungan
y=X+p
→ X = y-p
y=X-p
PK Baru
a(y-p)² + b(y-p) + c =0
a(y+p)² + b(y+p) + c = 0
→X=y+p
p kali
pX1 dan pX2
y = pX
→ X = y/p
kebalikannya
1/X1 dan 1/X2
kuadratnya
X1² dan X2²
a(y/p)²+b(y/p)+c=0
y=1/X
X= 1/y
a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0
y = X²
→ X = √y
a(√y)² + b(√y) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0
Sifat-Sifat
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a < b
1. a > b → a - b > 0
a=b→a-b=0
a<b→a-b<0
prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif
2. a + b < c → a + b - c < 0
atau
c-a-b>0
3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama
a<b→
{
a+c<b+c
a-c<b-c
4.
5. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
}
a<b
c>0
→
{
ac < bc
a/c < b/c
6.
Tanda tetap
7. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
}
a<b
d<0
→
{
ad > bd
a/d > b/d
8.
9. Pangkat Genap
a>0;b>0
a<b
}
→
a² < b²
TANDA TETAP
}
→
a² > b²
TANDA BERUBAH
10.
a<0;b<0
a<b
11.
12. Pangkat Ganjil
a<b→
{
a³ < b³
→ TANDA TETAP
a5 < b5
7
a <b
7
13.
14. Kebalikan
a>0;b>0
a<b
15.
}
→
1/a > 1/b
TANDA BERUBAH
TANDA
BERUBAH
a<0;b<0
a<b
}
→
1/a > 1/b
TANDA BERUBAH
Garis Bilangan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.
Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan
fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-)
pada interval lainnya.
Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama
adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian
substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.
Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah
yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga
tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari
koefisien variabel.
Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu
berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka
interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan
Andaikan a < b
Ambil yang paling kiri
Ambil yang paling kanan
Ambil yang berada diantaranya
contoh :
1. UNTUK BATAS TUNGGAL
f(x) = (x - a) (x - b)
f(x) < 0 untuk a < x < b
f(x) > 0 untuk x < a atau x > b
HAL KHUSUS
Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat
difaktorkan, maka perubahan tanda
adalah sebagai berikut:
(+)
|
(-)
|
(+)
Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat
difaktorkan, maka perubahan tanda
adalah sebagai berikut :
(-)
|
(+)
|
(-)
2. UNTUK BATAS RANGKAP
f(x) = (x - a)² (x - b)
(-)
||
a
f(x) < 0 untuk x < b ; x
|
f(x) = (x - a) (x - b)²
(+)
(-)
b
≠a
f(x) > 0 untuk x > b
|
a
||
(+)
b
f(x) < 0 untuk x < a
f(x) untuk x > a ; x ≠ b
Ket :
bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya
berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya
tetap.
Jenis-Jenis Pertidaksamaan
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk
linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 → 2x > 5 + 3
ijgeiirjirijrigir j 2x > 8
gehghhejehh2x > 2
gambar
B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:
•
Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila
ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau
sebaliknya).
•
Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
•
Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (≥ 0)...(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
•
Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
Contoh:
1. √(x-2) < 2
→ kuadratkan
x-2<4
x<6
→ syarat :
x-2≥0
x≥2
2≤x<6
2. √(-x + 3) - √(2x + 1) > 0
seimbangkan
√(-x+3) > √(2x+1)
→ kuadratkan
-x + 3 > 2x + 1
3x < 2
x < 2/3
→ syarat :
-x + 3 ≥ 0 → x ≤ 3
dan
2x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1/2
-1/2 ≤ x < 2/3
C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a
≠ 0.
Penyelesaian:
•
•
•
•
•
•
Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis
bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:
x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0
x < -2 atau x > 1
D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:
•
Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan
tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
•
•
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat:
penyebut pecahan ≠ 0
contoh :
-8 ≤ x <1
(2x + 7)/(x - 1) ≤ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 ≤ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) ≤ 0 → (x + 8)/(x - 1) ≤ 0
syarat : penyebut (x-1) ≠ 0
x≠1
E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)
Penyelesaian:
•
Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang
definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat
dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat
dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
•
Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan
catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol
yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol
yang rangkap genap.
contoh:
1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4
2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D < 0 dan a > 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0
X < -6 atau X > 2
F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0
keterangan : |x| ≥ 0
masalah : menghilangkan tanda mutlak.
Penyelesaian:
Untuk a > 0
x< a ↔ -a < x < a
x
> a ↔ x < -a atau x > a
x
= a ↔ x = ±a
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
atau
|x| < a → x² < a² → x² - a² < 0 → (x-a)(x+a) < 0 → -a < x < a
|x| > a → x² > a² → x² - a² > 0 → (x-a)(x+a) > 0 → x<-a atau x>a
keterangan:
|x| < -a TM
|x| > -a ∀x
|a/b| < c ↔ |a| < c|b|