persamaan dan pertidaksamaan

C. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
1.
Tujuan
Setelah mempelajari materi ini diharapkan peserta dapat:
1. Memahami konsep fungsi dan operasi
2. Melakukan manipulasi aljabar untuk menyederhanakan bentuk
akar dan pangkat
3. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier
4. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
2.
Uraian Materi
Bentuk Pangkat
Bilangan berpangkat pada mulanya digunakan dalam Matematika
sebagai suatu cara ringkas untuk menuliskan perkalian yang
berulang-ulang. Pada perkembangan selanjutnya, bilangan
berpagkat dikembangkan untuk bilangan berpangkat bilangan bulat
negatif, bilangan rasional bahkan irasional.
Untuk lebih memperjelas pemahaman tentang hal di atas, marilah
kita pelajari uraian berikut ini.
Definisi 1:
Jika n adalah bilangan Asli dan aR;
a n  a  a  a  . . .  a (sebanyak n faktor)
Contoh 1:
23  2  2  2  8
(3)5  (3)  (3)  (3)  (3)  (3)  243 .
Pengertian a k sebagai perkalian a sebanyak k faktor tidak dapat
diterapkan untuk bilangan bulat k yang negatif atau nol. Oleh karena
itu untuk pangkat bilangan bulat negatif didefinisikan tersendiri.
Definisi 2:
Jika n adalah bilangan Asli, dan a R;
1
a n  n
a
Untuk a  0, a 0  1.
Contoh 2:
0
1
1
1

 .
4
2
2  2  2  2 16
1
1
1
(4) 3 

 .
3
(4)  (4)  (4)
64
(4)
2 4 
SIFAT-SIFAT PERPANGKATAN
Jika a dan b adalah bilangan real dan m, n adalah bilangan Asli, maka
berlaku:
1) a m  a n  a mn
am
2)
 a mn (untuk a  0 )
n
a
m n
mn
3) (a )  a
4) (a  b) m  a m  b m
a
5)  
b
m
am
 m (untuk b  0)
b
sebanyak m-faktor
sebanyak n-faktor
Bukti:
m
n
1) a  a  a  a  a  . . .  a  a  a  a  . . .  a
sebanyak (m+n)-faktor
= aaa. . .a  aaa . . . a
= a
m n .
2) Untuk m=n
am am

1
an am
a m  n  a 0  1 (karena a tidak nol)
Jadi untuk m=n,
am
 amn .
an
Untuk m>n
(m-n) faktor
(m - faktor)
a
a  a  a  . . . a  a

 a  a  . . .  a  amn
n
a
aaa...a
m
(n - faktor
Untuk m<n coba sendiri!
3) Coba sendiri!
m - faktor
4) (a  b)m  (a  b)  (a  b)  (a  b)  . . .  (a  b)
m - faktor
m - faktor
1
= (a  a  . . .  a)  (b  b  b  . .  b)
= a m  bm .
5) Coba sendiri!
Contoh 3:
a) 33  34 = 37
b)
78
 75
73
c) 42   46
3
d) 3  53  33  53
4
4
9 9
e)    4
4 4
Sifat-sifat perpangkatan di atas juga berlaku untuk pangkat bilangan
real. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
Jika a dan b adalah bilangan real positif dan x, y adalah bilangan
real, maka berlaku:
(1) a x . a y  a x  y
(2)
am
 a m  n (untuk a  0 )
n
a
(3)
a   a
(4)
a .b x  a x . b x
x y
x. y
x
x
a a
(5)    y ; b  0
b b
Contoh 4:
a) 2 5 . 22
5
2
   4
b) 4
1
3 2
= 42
1
52 5
3
 23
5
1
2
 3
3
 1
=  42 
 
 
= 2 3.
1
3
c) 3 .3  3
2
7
3
2
d)
32 .52 32 .34

3 4 .53 52 .53

36
.
55
Contoh 5:
 2 21   3 2
 x . y . x . y





1
Jika x=4 dan y= , hitung
9
1
2

Jawab:
 2 21   3 2 1
3
 x . y  . x . y  2 = x 1 y . x 2 y  2 






1
= x 2 . y 1
1
x 2
4

=
1
y
9
= 18.
Contoh 6:
Sederhanakan berikut ini.
x 2 . y 1
a)
x 3 . y
 a 12 
b)   2 
b 


2
3
1
1
m 2
c)  2  . m.n 2  2
n 
Jawab:
a)
x 2 . y 1
= x 2  ( 3) . y 11
x 3 . y
= x 5 . y 2
x5
= 2
y
2
 a 1 2  3 a 13
b)   2  =  4
b 
b 3


1
= a 3 .b
4
3
1
1
1
1
m 2
c)  2  . m.n 2  2 = m.n  2  2 . m . n 2  2
n 
1
= m 2 . n 1 . m
1
3
2
. n 1
2
= n 
1
.
n2
Contoh 7:
ab
Sederhanakan (a  b) 

ba
Jawab:
2
3
ab
( a  b)  3 

ba
2
1
( a  b)  3
2
1
 3 ( a  b)
(
a

b
)
.
.(a  b) 3
=
2
3
(b  a)
( a  b)
 (a  b) 3 .(a  b) 2 .(a  b) 2 .(a  b) 3
 (a  b) 1 .(a  b)

ab
.
ab
Contoh 8:
 1 

Sederhanakan 
1 p 
Jawab:
 1 


1 p 
5
7
5
7
 1  1 p 
 . 

. 
1 p  1 p 
6
6
 1   p 1
 . 
  (1  p) 5 . (1  p) 7 . (1  p) 6 .(1  p) 6
. 
1 p  1 p 
 (1  p) 56 . (1  p) 76
 (1  p ). (1  p )
 1 p2 .
Contoh 9:
Nyatakan
3 x 1  y 2
dalam bentuk yang tidak memuat pangkat
x  2  2 y 1
negatif.
Jawab:
3 x 1  y 2
x  2  2 y 1
3 1
3y 2  x

x y2
xy 2

=
1 2
y  2x 2

x2 y
x2 y
 3y 2  x   x2 y 
. 

 
2
2 
 xy   y  2 x 

x(3 y 2  x)
.
y.( y  2 x 2 )
4
3. Bentuk Akar
Kita akan mendefinisikan bentuk akar suatu bilangan dikaitkan
dengan fungsi kuadrat. Kuadrat dari 2 adalah 4 dan kuadrat dari –2 juga
4. Oleh karena itu, jika ditanyakan “bilangan berapa yang kuadratnya 4?”,
jawabnya adalah 2 dan –2. Perhatikan diagram berikut!
kuadratkan
2
4
 -2
Kalau relasi di atas dibalik, maka diperoleh:
kuadrat dari
4
2
 -2
Tentu relasi itu buka fungsi. Agar relasi kebalikannya merupakan
fungsi, kita dapat membatasi range-nya hanya merupakan bilangan
yang tidak negatif. Relasi kebalikan dengan membatasi range-nya itu
kita sebut dengan bentuk akar. Jadi kita katakan “akar kuadrat dari 4
adalah 2 (-2 tidak termasuk)”. Selanjutnya notasi akar pangkat dua
dari suatu bilangan a0 dinotasikan dengan
2
a atau hanya ditulis
a . Definisi yang “analog” digunakan untuk akar pangkat n (n
adalah bilangan genap) dari suatu bilangan a0. Sedangkan untuk
bilangan bulat ganjil n tidak mempergunakan syarat a tidak negatif ,
karena untuk n ganjil merupakan fungsi satu-satu. Definisi tersebut
diuraikan berikut ini.
Definisi 2.1
Misalkan a0 dan n adalah bilangan Asli genap. Maka akar pangkat
n
n dari a adalah bilangan tidak negatif b sehingga b  a , ditulis
n
a  b.
5
Perlu diingat:
Khusus untuk n=2,
n
a hanya ditulis dengan a .
Contoh 1:
9  3 , karena 3 tidak negatif dan kuadratnya sama dengan 9.
Walaupun kuadrat dari –3 juga 9 tetapi karena bilangan
itu negatif, maka –3 tidak memenuhi.
16 =2, karena 2 tidak negatif dan 2 4  16 .
4
Walaupun (2) juga 16 tetapi karena bilangan itu
4
negatif, maka –2 tidak memenuhi.
 16 tidak ada, karena tidak ada bilangan tak negatif yang
kuadratnya sama dengan –16.
Secara umum tertuang dalam kalimat berikut ini.
Perlu diingat:
Akar (pangkat dua) dari suatu bilangan negatif tidak ada, karena
tidak ada bilangan real tak negatif yang kuadratnya merupakan
bilangan negatif.
Definisi 2.2
Misalkan a adalah bilangan real dan n adalah bilangan Asli ganjil.
n
Maka akar pangkat n dari a adalah bilangan b sehingga b  a ,
ditulis
n
a  b.
Contoh 2:
3
 8 = -2 karena (2) 3  8 .
3
27 = 3 karena (3) 3  27 .
3
 27 = -3 karena (3) 3   27 .
Catatan:
Untuk a  0, atau a  0 dan m adalah bilangan genap atau a  0 dan n
adalah bilangan ganjil,
1
n
a sering kali ditulis dengan a n .
n m sering kali ditulis dengan a m n
a
6
Contoh 3:
1
12 dapat ditulis dengan (12) 2
3
3  27 = 3 (3) 3 = (3) 3 = -3.
1
1
4
5 16  (16) 5  (2 4 ) 5  2 5
Dengan memperhatikan definisi 2.1 dan 2.2 di atas, maka bentuk
mn
tidak selalu mempunyai makna. Untuk lebih jelasnya perhatikan
a
contoh berikut.
Contoh 4:
3
(2) 2 tidak
mempunyai
makna
(tidak
ada)
karena
3
(2) 2  (2)3   8 . Sedangkan  8 tidak ada, karena tidak
ada bilangan real tak negatif yang kuadratnya sama dengan –8.
Contoh 5:
Jika x  25 dan y  64 , tentukan nilai
3
y2
x x . (3 y  x )
Jawab:
3
y2
3
x x . (3 y  x )
=
64 2
25 25. (3 64  25 )
3
212
25. 5.(4  5)
16
16


.
 125
125

Diskusi
Nyatakan benar atau salah untuk setiap pernyataan berikut, sertakan
argumentasinya.
Jika x, y dan z adalah bilangan real, maka:
1.
x.y  x . y
2.
(  x )2  x
7
Persamaan
Sebelun mempelajari materi ini anda diharap telah mengingat dan
memahami pengertian kalimat terbuka dan kalimat pernyataan.
Coba anda jelaskan pengertian dua istilah dan berikan beberapa
contoh!
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “=”.
Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya berderajad
satu.
Coba anda definisikan “Persamaan kuadrat”!
Berilah beberapa contoh persamaan linier!
Berilah beberapa contoh persamaan kuadrat!
Coba jelaskan apa arti penyelesaian suatu persamaan!
Tiga hal berikut dapat kita lakukan dalam menentukan
penyelesaian dari persamaan,
a. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.
b. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
c. Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan
yang sama dan bukan nol.
Suatu persamaan yang kedua ruasnya ditambah, dikurangi,
dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama akan
menghasilkan persamaan linear yang setara (ekivalen) dengan
persamaan linear semula.
Ekuivalen artinya adalah mempunyai penyelesaian yang sama.
Coba cari persamaan linear yang setara (ekivalen) dengan
persamaan:
a. 3x + 4 = 5 b. 5t - 7 = 6 c. 7z = 8
1
Coba selesaikan persamaan linier 3 + 2𝑥 < 2; 𝑥 ≠ 0.
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel 𝑥 adalah 𝑎𝑥 2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0.
Beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat sebagai
berikut.
a. Cara Memfaktorkan
Contoh 1:
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0
⇔ (𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = 0
⇔ 𝑥 = −5 atau 𝑥 = 3.
Contoh 2:
8
2𝑥 2 − 11𝑥 + 15 = 0
⇔ (2𝑥 − 5)(𝑥 − 3) = 0
5
⇔ 𝑥 = 2 atau 𝑥 = 3.
b. Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Contoh 3:
𝑥 2 + 3𝑥 − 18 = 0
⇔ 𝑥 2 + 3𝑥 = 18
3 2
3 2
⇔ 𝑥 2 + 3𝑥 + (2) = 18 + (2)
3 2
81
⇔ (𝑥 + 2) =
3
4
9
⇔ 𝑥 + 2 = ±2
⇔ 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −6
Contoh 4:
2𝑥 2 + 6𝑥 + 3 = 0
⇔ 2𝑥 2 + 6𝑥 = −3
3
⇔ 𝑥 2 + 3𝑥 = − 2
3 2
3
3 2
2
2
2
⇔ 𝑥 2 + 3𝑥 + ( ) = − + ( )
2
3
3
⇔ (𝑥 + ) =
2
4
3
√3
2
3
√3
− 2 + 2 , 𝑥2
⇔𝑥+2=±
⇔ 𝑥1 =
3
= −2 −
√3
2
.
c. Cara Menggunakan Rumus
Berikut ini diberikan penurunan rumus menentukan akar-akar
persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0. Perhatikan
dan amati setiap langkah! Adakah langkah yang salah? Jika ada
jelaskan mengapa salah kemudian buatlah penurunan yang benar!
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Karena 𝑎 tidak nol,maka dapat ditulis,
b
b
b
c
 x 2  x  ( )2  ( )2   0
a
2a
2a
a
 x2 
b
b
b
c
x  ( )2  ( )2 
a
2a
2a
a
b 2
b 2 4ac
 (x  )  2  2
2a
4a
4a
9
 (x 
b 2 b 2  4ac
) 
2a
4a 2
 (x 
b
b 2  4 ac
)
2a
4 a2
 x
b
b 2  4 ac

2a
4 a2
Sehingga dipeloleh dua nilai 𝑥 yaitu,
x1  
b
b 2  4 ac
b
b 2  4 ac
dan x2   

2
2a
4a
2a
4 a2
 x1  
b
b2  4ac
b
b 2  4 ac
dan x2   

2a
2a
2a
2a
Dengan menyederhanakan bentuk diatas, diperoleh
 x1  
b  b 2  4 ac
b  b 2  4 ac
dan x2  
2a
2a
JIka b 2  4 ac disingkat dengan D, maka diperoleh akarakar persamaan kuadrat di atas adalah
b D
x1,2  
2a
Contoh 5:
2𝑥 2 − 5𝑥 − 12 = 0
5 ± √25 − 4.2(−12)
𝑥1,2 =
2.2
5 ± √121
𝑥1,2 =
4
5 + 11
5 − 11
𝑥1 =
, 𝑥2 =
4
4
3
𝑥1 = 4 , 𝑥2 = −
2
Kita ingat kembali bahwa akar-akar persamaan kuadrat
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥1,2 =
2𝑎
Atau dapat ditulis dengan,
−𝑏 ± √𝐷
𝑥1,2 =
2𝑎
Berdasarkan rumus tersebut diperoleh,
10
−𝑏+√𝐷
−𝑏−√𝐷
𝑥1 = 2𝑎
dan
𝑥2 = 2𝑎 .
Dengan demikian jumlah akar-akarnya adalah
−𝑏 − √𝐷 −𝑏 − √𝐷
𝑥1 + 𝑥2 =
+
2𝑎
2𝑎
−𝑏
=
.
2𝑎
Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
−𝑏 − √𝐷 −𝑏 − √𝐷
𝑐
𝑥1 . 𝑥2 =
.
= .
2𝑎
2𝑎
𝑎
Coba jelaskan banyak akar persamaan kuadrat berdasarkan
nilai diskriminannya!
Contoh 6:
Jika 𝛼 dan 𝛽 merupakan akar-akar persamaan 6𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0,
tentukan nilai:
a)
𝛼 2 + 𝛽2
b)
𝛼 2 𝛽 + 𝛼𝛽 2
Jawab:
𝑎) 𝛼 2 + 𝛽 2 = (𝛼 + 𝛽)2 − 2𝛼𝛽
5
6
= (− )2 − 2 (− )
12
6
939
=
.
432
𝑏) 𝛼 2 𝛽 + 𝛼𝛽 2 = (𝛼 + 𝛽)𝛼𝛽
5
= − (−1)
12
5
= .
12
Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Diketahui Akar-akarnya
Jika bilangan real 𝑝 dan 𝑞 merupakan akar-akar persamaan
kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, maka (𝑥 − 𝑝) dan (𝑥 − 𝑞) merupakan
faktor dari 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Dengan demikian jika 𝛼 dan 𝛽
merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka
persamaan kuadrat yang dimaksud adalah (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽) = 0
atau dapat ditulis menjadi 𝑥 2 − (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛼𝛽 = 0.
11
Kerjakan!
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah:
a) −7 dan 4
b) 5 dan 11
2
c) − 3 dan 8
d)
1
dan
3
2
5
2. Jika akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽,
tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 𝛼 2 𝛽 dan 𝛼𝛽 2
A. Pertidaksamaan
Kalimat terbuka yang menggunakan relasi
disebut pertidaksamaan.
“>”, ““, “<”, atau “”
Berikut ini, manakah yang dapat kita lakukan
menyelesaikan pertidaksamaan?
A. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama
B. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
C. Mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama
D. Membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama
E. Mengkuadratkan kedua ruas
F. Menarik akar kedua ruas
G. Mengalikan silang
untuk
Diskusi
1. Misal 𝑎 adalah konstanta tidak nol dan x adalah variabel pada
bilangan real. Amati setiap langkah penyelesaian pertidaksaman
x
 5  8 berikut ini.
a
x
 5  8
a
x

a.   5   8 a
a

x  5a  8a
x  12a .
Setelah anda mengamati, adakah langkah yang salah? Jika ada,
tunjukkan dan jelaskan argumentasimu!
2. Nyatakan benar atau salah pernyataan berikut ini dan
kemukakan argumentasimu!
a) Jika 2  x  8 , maka 2  x  8
12
b) Jika 4  x  5 , maka 5  x  4
Pertidaksamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0,
maka langkah pertama kita selesaikan dahulu persamaan 𝑎𝑥 2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Dengan meletakkan penyelesaian itu dalam garis
bilangan, selanjutnya kita tentukan daerah penyelesaian.
Contoh 5:
Selesaikan 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 > 0.
Jawab:
𝑥 2 + 7𝑥 + 12 = 0
⇔ (𝑥 + 4)(𝑥 + 3) = 0
⇔ 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −6
-
-

-6
+ +

3
-
-
Himpunan penyelesaian dari 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 > 0 adalah
{𝑥 ∈ 𝑅: −6 < 𝑥 < 3}.
Latihan coba tentukan penyelesaian pertidaksamaan
13
𝑥 2 −4𝑥+
𝑥 2 −3𝑥
≥ 0.
14