Kalkulus I - Yogha Roxana

1
MODUL KULIAH
MATEMATIKA/KALKULUS 1
Pokok Bahasan : Kalkulus I
2
1) Sistem Bilangan Real
2) Fungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi Trigonometri
3) Limit Fungsi, Fungsi Kontinu
4) Turunan Fungsi
5) Penggunaan Turunan, Grafik Fungsi
6) Limit Bentuk Tak Tentu, Penggunaan Turunan
7) UTS
8) Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
9) Penggunaan Integral Tentu
10) Fungsi-fungsi Transenden
11) Metode Integrasi,
12) Penggunaan Tabel Integral
13) UAS
SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan Kompleks
z = a + bi
Bilangan Real
(R)
Bilangan Rasional


3
Bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
pecahan (P/Q)
Bilangan yang dapat ditulis
sebagai desimal berulang
Bilangan Immajiner,
i = 1
Bilangan Irrasional


Bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk
pecahan
Bilangan desimal tidak
berulang
Garis Bilangan Real


Bilangan real dinyatakan dengan notasi R.
Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang
sebuah garis bilangan real
x < -2
=3,14
e
───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──> R
–3
–2
–1
0 4/5 1
2
3
4
Bidang Bilangan Kompleks
Bilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks
dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks
b
Im(z)
P
a
4
Ra(z)
Pengertian Pertidaksamaan
5
Pertidaksamaan adalah himpunan
bilangan yang memenuhi sifat
urutan bilangan tertentu.
Pertidaksamaan dinyatakan dengan
salah satu tanda dari lambang
berikut : >   <.
(1) p < q artinya p lebih kecil dari
pada q
(2) p > q artinya p lebih besar dari
pada q
(3) p  q artinya p lebih kecil atau
sama dengan q
(4) p  q artinya p lebih besar atau
sama dengan q
Sifat-sifat Sederhana :
(1) Penjumlahan/pengurangan.
Jika x < y, maka x + a < y + a
Misal, jika x < 10, mk x+2<10+2
(2) Perkalian/pembagian dengan
bilangan positip. Untuk, a > 0,
Jika x < y, maka ax < ay
Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2)
(3) Perkalian/pembagian denan
bilangan negatif. Untuk a < 0,
Jika x < y, maka ax > ay
Misal, jk x < 4, mk -2x > -2(4)
Pertidaksamaan dan Interval




Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis
bilangan R (x1 = –4, x2 = 2)
Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup,
interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2})
Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan
tertentu
Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya.
Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan
Contoh
Tentukan HP dari :
x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0
Contoh
x 2
x
Tentukan HP dari :

8x x4
dg, x  8, x –4
Solusi :
- -0 + + + 0 - - - - 0 + + +
─┼────┼────┼───> R
–3
1
4
HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4}
Solusi :
- -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - ─┼────┼────┼────┼──> R
–4
–1
4
8
HP = {x: x <–4 V –1 ≤ x ≤ 4 V x ≥ 8}
6
Pertidaksamaan Sederhana
7
Solusi pertidaksamaan adalah
himpunan bilangan yang memenuhi
pertidaksamaan. Solusinya dapat
digambarkan pada garis bilangan.
Contoh :
Solusi dari : x + 4 > 7
Ruas kiri dan kanan dikurangi 4
diperoleh,
x+4–4>7–4
x>3
Jadi semua nilai x lebih besar dari 3
yang memenuhi pertidaksamaan,
---------+----+----+----+--------- x
0 1
2
3
Contoh :
Cari nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan,
3 + 4x  6x + 7
Tulis pertidaksamaan menjadi,
4x – 6x  7 – 3
–2x  4
2x  –4
x  –2
Jadi semua nilai x lebih kecil atau
sama dengan –2 yang memenuhi
pertidaksamaan. Garis bilangannya :
---------+----+----+----+--------- x
–3 –2 –1 0
Pertidaksamaan Kuadratik (1)
8
Pertidaksamaan kuadratik adalah
pertidaksamaan yang memuat
persamaan kuadratik.
Tahap-tahap menentukan
solusinya adalah :
(1) Ubah bentuk pertidaksamaan
menjadi persamaan
(2) Carilah akar-akar persamaan
kuadratnya, jika mungkin
dengan faktorisasi
(3) Selidikilah nilai-nilai yang
mungkin dengan
menggunakan garis bilangan
(4) Tentukan solusinya dari
langkah (3).
Contoh :
Tentukan HP dari x2 – 4x – 12 < 0
Faktor dari, x2 – 4x – 12 = 0 adalah,
(x + 2)(x – 6) = 0, dan akar-akarnya
x=–2, x=6. Perhatikan garis bilangan
- - -0 + + + + + + + +
(x+2)
-----+------------+------
–2
6
------- ---0+++
(x–6)
-----+------------+------
–2
6
+ + 0 - - - - - -0++ +
(x+2)(x–6) -----+------------+-----
–2
6
HP,
–2 < x < 6.
Pertidaksamaan Kuadratik (2)
9
Contoh :
Tentukan HP dari 2x2 + 3x – 9  0
Faktor, 2x2 + 3x – 9 = 0 adalah,
(2x – 3)(x + 3) = 0, dan akarakarnya x=3/2, x=–3. Perhatikan
garis bilangan
- - -0 + + + + + + +
(x+3)
-----+-----------+-----
–3
3/2
------ ---0++
(2x–3)
-----+----------+------
–3
3/2
+ + 0 - - - - - -0++ +
(2x+3)(x–3) -----+-----------+-----
Jadi nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan, x –2 v x  6.
Contoh :
Tentukan HP : 0 < x2 – 4x – 12 < 20
Solusi pertidaksamaan diatas adalah
irisan HP :
0<x2 –4x–12 dan x2 – 4x – 12 < 20
Solusi dari, x2 – 4x – 12 >0, atau
(x+2)(x – 6) > 0 adalah x< –2 v x > 6
Solusi dari, x2 – 4x – 12 < 20 atau
x2 – 4x – 32 < 0, (x + 4)(x – 8) < 0
adalah –4< x < 8
Irisan kedua solusi adalah
– 4<x< –2 v 6 < x < 8
Pertidaksamaan dan Pecahan (1)
10
Sifat-sifat :
(1) Jika,
p
p
 0, maka harus positip
q
q
p
 0, syaratnya p  0 dan q  0
q
p
(b).  0, syaratnya p  0 dan q  0
q
(a).
(2) Jika
p
p
 0, maka harus negatif
q
q
p
(a).  0, syaratnya p  0 dan q  0
q
p
(b).  0, syaratnya p  0 dan q  0
q
Batas interval, solusinya adalah
p=0, dan q0
Contoh :
Hitunglah HP dari, x  2  0
3x  9
Jawab
Batas interval pertidaksamaan adalah
x1=2, dan x2–3. Perhatikanlah garis
bilangan berikut :
- - - - - - - - - 0+ + +
(x – 2) -----+-----------+-----
–3
2
---0+++++++
(3x+9) -----+----------+------
–3
2
+ + 0 - - - - - -0++ +
HP
-----+-----------+-----
–3
2
Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x  2
Pertidaksamaan dan Pecahan (2)
11
Contoh :
x
2
Hitunglah HP dari,

x 3 x 3
Jawab
Tulislah pertidakamaan menjadi,
x
2

x 3 x 3
x
2

0
x 3 x 3
x (x  3)  2(x  3)
0
(x  3)( x  3)
x 2  5x  6
0
(x  3)( x  3)
(x  1)( x  6)
0
(x  3)( x  3)
Perhatikanlah garis bilangan berikut,
-------0+++++++
(x + 1) -----+-----+-------+------+--
–3 –1
3
6
--------------- 0++
(x – 6) -----+-----+-------+------+--
–3 –1
3
6
---0++++++++++
(x + 3) -----+-----+-------+------+--
–3 –1
3
6
----------- 0 ++++
(x – 3) -----+-----+-------+------+--
–3 –1
3
6
+ + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ +
HP
-----+-----+-------+------+--
–3 –1
3
6
Jadi HP : –3 < x  –1 v 3 < x  6
Nilai Mutlak Bilangan
Nilai mutlak suatu bilangn real x selalu bernilai positip. Nilai mutlak bilangan
real x ditulis |x|, didefininisikan oleh :
y
Y=-x
Y=x
 x , jika x  0
| x | 
 x , jika x  0
x
0
───┼─────┼─────┼─> R
Grafik persamaan, y = |x|
–x
0
x
y
Y=x-a
Kasus khusus,
Y=a-x
a
 x  a , jika x  a
| x  a | 
 ( x  a), jika x  a
───┼─────┼─────┼─> R
–(x-a)
0
x-a
12
a
Grafik persamaan, y = |x – a|
x
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (1)
Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x|
didefinisikan,
 x , jika x  0
| x | 
  x , jika x  0
Dari definisi diatas nilai mutlak
bilangan selalu bernilai positif.
Pertidaksamaan dengan nilai
mutlak yang penting :
(1) | x | < a  –a < x < a
(2) | x | > a  x<–a V x> a
Sifat (1) berlaku pula untuk (),
sifat (2) berlaku pula untuk ()
Contoh :
Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9
Jawab
Menurut definisi,
|2x – 5| < 9  –9 < 2x – 5 < 9
 –9+5 < 2x < 9+5
 –4 < 2x < 14
Jadi, HP : –2 < x < 7
Contoh :
Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11
Jawab
Menurut definisi,
|2x + 3|>11  2x+3< –11 v 2x+3>11
 2x<–11–3 v 2x >11–3
 2x < –14 v 2x > 8
13
Jadi, HP : x < –7 v x > 4
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (2)
Contoh :
Hitung HP dari, |x2 – 4x – 25|< 20
Jawab
Menurut definisi,
|x2– 4x–25|<20 –20<x2– 4x – 25<20
Jadi, HP merupakan irisan dari,
(1) –20 <x2 – 4x – 25 dan
(2) x2 – 4x – 25 < 20
Demikian pula dari,
x2 – 4x – 25 < 20  x2 – 4x – 45 <0
 (x + 5)(x – 9) < 0
Solusinya adalah :
++0------0+++
HP (2) -----+------------+-------
–5
9
Jadi HP (2) : –5 < x < 9
Mengingat,
–20 <x2 – 4x – 25  x2 – 4x – 5 > 0
 (x + 1)(x – 5) > 0
Solusinya adalah :
++0------0+++
HP (1) -----+------------+-------
–1
5
Jadi HP (1) : x < –1 v x > 5
Jadi solusi pertidaksamaan adalah :
14
HP -----+------+------+-------+---
–5
–1
5
9
Solusi :
–5 < x < 1 v 5 < x < 9
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (3)
Demikian pula dari,
x2 – 5x – 21 > 15  x2 – 5x – 36 >0
 (x + 4)(x – 9) > 0
Solusinya adalah :
++0------0+++
HP (2) -----+------------+-------
–4
9
Jadi HP (2) : x < –4 v x > 9
Contoh :
Hitung HP dari, |x2 – 5x – 21|> 15
Jawab
Menurut definisi,
|x2 – 5x – 21|> 15 x2 –5x – 21<–15
atau x2 – 5x – 21>15
Jadi, HP merupakan gabungan HP,
(1) x2 – 5x – 21 < –15 atau
(2) x2 – 5x – 21 > 15
Jadi solusi pertidaksamaan adalah :
Mengingat,
x2 – 5x – 21< –15  x2 – 5x – 6 < 0
 (x + 1)(x – 6) <0
++0------0+++
HP (1) -----+------------+-------
–1
6
Jadi HP (1) : –1 < x < 6
15
HP -----+-------+---------+-------+---
–4
–1
6
9
Solusi :
x < –4 v –1< x < 6 v x > 9
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Bentuk grafik
Y=x2 + 2x – 16
Contoh
Tentukan HP dari :
8
|x2 + 2x – 16| ≤ 8
–8 ≤
x2
+ 2x – 16
+ 0 - - - - 0 ++
─┼────┼─> R
–4
2
x2
+ 2x – 16 ≤ 8
+ 0 - - - - 0 ++
─┼────┼─> R
–6
4
Solusi :
─┼────┼────┼────┼──> R
–6
–4
2
4
HP = {x: –6≤ x ≤–4 V 2 ≤ x ≤ 4}
16
–6
–4
2
4
x
–8
Grafik persamaan kuadrat,
Contoh
Tentukan HP dari :
|x2 – 6x – 16| ≥ 8
Soal-soal latihan
17
Carilah solusi pertidaksamaan berikut ini :
1. –13 < 3x – 7 < x+17
2. x2 – 10x + 24 < 0
3. 10 < x2 – 4x + 5 < 17
4. 8 < 2x2 – 5x + 5 < 30
5. –1< 3x2 – 4x – 5 < 10
x
4
x2
(10)

(6)
3
x

10
x2
x3
20
x
x2
(
11
)

(7 )
0
x4 x2
2
x  x  12
12. |2x + 5| < 17
x 2  2 x  11
(8 )
4
13. |3x – 4| > 14
x 1
14. |x2 – 5x – 32|  18
21
(9 ) x 
0
15. |x2 + 4x – 22| > 10
x4
Soal-Soal Latihan :
Soal 16.Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini
2(a  b  2)x
ab 2
(a). x 
0
(b).x 
0
2
2
2
x  (a  b)x  ab
x  ax  b
Soal 17. Diberikan,
(a). f ( x ) 
x 4  3x 2  2
x 3  2ax 2  (a  b)x
(b ). f ( x ) 
x 3  9 x 2  24 x  20
x 3  ax 2  b 2 x  ab 2
a. Tentukan nilai x agar f(x) = 0
b. Nilai x agar f(x) tidak ada (penyebut sama dengan 0)
c. interval f(x) > 0 dan f(x) < 0
18
Sistem Koordinat Kartesius
dan Grafik Garis Lurus (1)
Grafik : gambar mempresentasikan
informasi hubungan satu variabel
dengan variabel yang lain. Grafik dg
sistem koordinat kartesius.
Grafik yang paling sederhana adalah
garis lurus, dima persamaannya :
y=mx + c
m disebut dengan gradien.
Persamaan garis yang melalui dua buah
titik P(x0,y0) dan Q(x1,y1) adalah :
y  y 0 y1  y 0

x  x 0 x1  x 0
y  y0
y  y0  1
(x  x 0 )
x1  x 0
y  y 0  m (x  x 0 )
19
y  y0
dimana, m  1
x1  x 0
Grafik Garis Lurus (2)
20
Contoh :
Persamaan garis lurus yang melalui
titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat
pada gambar berikut :
m
85
3
2 1
Q(2,8)
P(1,5)
Garis Sejajar.
Garis sejajar adalah garis lurus yang
memiliki gradien yang sama
Grafik Garis Lurus (3)
21
Contoh :
Garis berpotongan. Carilah titik
potong dua garis, 3x+y = –1, dan –
x+2y=5. Dan buat pula sketsa
grafiknya.
Jawab
Titik potong diperoleh dengan cara
eliminasi atau substitusi.
3x+y = –1 x 1 3x + y =–1
–x+2y=5 x 3 –3x +6y=15
---------------- (+)
7y=14
Untuk, y=2, maka x=2(2) – 5 =–1
Sketsa grafik kedua garis
–x+2y=5
Titik potong
(–1,2)
Jadi titik potong kedua garis adalah (–
1,2)
3x+y = –1,
Grafik Garis Lurus (4)
22
Contoh :
Garis tegak lurus. Carilah garis yang
tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui
titik (1,6)
Jawab
Dua garis saling tegak lurus, maka
m1m2=–1. Dari, garis 3x+y=9, maka
diperoleh, m1= –3, dengan demikian,
Sketsa grafiknya adalah :
dan persamaan garisnya adalah,
x – 3y = –17
3x + y = 9
1
m2 
3
1
y  6  (x  1)
3
3y  18  x  1
x  3y  17
(1,6)
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
Grafik Parabola (1)
23
Grafik persamaan kuadrat yang
berbentuk, y=ax2+bx+c disebut
dengan parabola
Sifat-sifat grafik parabola.
1. Kecekungan.
(a) a > cekung terbuka keatas
(b) a < cekung terbuka kebawah.
2. Sumbu simetri.
Garis,
b
x 
2a
adalah sumbu simetri parabola
3. Titik potong dengan sumbu y.
Grafik memotong sumbu di titik
(0,c)
4. Titik potong dengan Sumbu x
(a) Kasus D > 0.
Grafik parabola memotpng sumbu di
dua tempat, yaitu :
 b  b 2  4ac
x 12 
2a
(b) Kasus D = 0
Grafik parabola menyinggung sumbu
x di titik,
x 
b
2a
(c) Kasus D < 0
Grafik parabola tidak memotong
sumbu x
Grafik Parabola (2)
24
Langkah-langkah membuat sketsa
grafik adalah :
(1) Bilamana mungkin tentukanlah
pula titik potongnya dengan
sumbu koordinat.
(2) Tentukanlah koordinat-koordinat
beberapa titik yang memenuhi
persamaan.
(3) Buatlah diagram pencar titik-titik
di bidang
(4) Hubungkan titik-titik tersebut
sehingga membentuk suatu kurva
yang mulus
Contoh :
Buatlah sketsa grafik parabola,
y=4x2 + 4x – 15
Jawab
(a) Untuk x=0, y=–15, sehingga titik
potong dengan sumbu y adalah (0,–
15)
(b) Titik potong dengan sumbu x. Untuk
y=0, diperoleh persamaan kuadrat,
4x2 + 4x – 15 =0,
(2x + 5)(2x – 3) = 0
dimana akar-akarnya adalah :
x1=–2,5 dan x2=1,5
Jadi titik potong dengan sumbu x di
(–2,5,0) dan (1,5,0)
Grafik Parabola (3)
25
(c) Sumbu simetri,
x 
4
 0,5
2(4)
a=4> 0
Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16.
Puncak parabola di (–0,5,–16)
(d) Diagram pencar untuk beberapa
nilai diberikan tabel berikut,
x –3 –2 –1
0 1 2
-----------------------------------y 9 –7 –15 –15 –7 9
(e) Sketsa grafik lihat gambar
samping
Titik potong
Sumbu simetri