program linear - Jambi Belajar

PROGRAM
LINEAR
Fattaku Rohman, S.Pd
Kelas XII SMA Titian Teras Jambi
Apersepsi
Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar
Materi
Uji Kompetensi
Apersepsi
Setiap orang atau perusahaan pasti menginginkan keuntungan atau laba sebesar–besarnya dengan
alokasi sumber yang terbatas. Sebagai contoh, sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal
pesiar. Model I membutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untuk
menyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotong dan merakit serta 30 jam
untuk menyelesaikannya. Waktu yang tersedia 360 jam untuk memotong dan merakit serta 300 jam
untuk menyelesaikannya. Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 dan
model II sebesar Rp6.000.000,00. Apakah Anda dapat menentukan berapa banyak kapal pesiar
model I dan model II yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum?
Kasus di atas adalah salah satu contoh permasalahan program linear.
Masalah semacam itu sering kita jumpai dalam dunia usaha, ekonomi, ilmiah,
dan sebagainya. Masalah program linear adalah masalah yang berhubungan
dengan penentuan maksimum atau minimum suatu fungsi linear dengan
kendala–kendala berupa sistem pertidaksamaan linear.
Standar Kompetensi
Standar Kompetensi :
Menyelesaikan masalah program linear.
Kompetensi Dasar :
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Merancang model matematika dari masalah program linear
Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
Sistem Pertidaksamaan Linear
Sebelum membahas pengertian sistem pertidaksamaan
linear dua variabel, perlu diingat kembali tentang
pertidaksamaan linear.
Bentuk-bentuk pertidaksamaan linear : ax + by > c, ax
+ by < c, ax + by  c dan ax + by  c, a, b, c dan d
adalah konstanta dan x,y adalah variabel.
Daerah penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan
linear adalah daerah yang memuat nilai-nilai (x,y) yang
memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Sistem Pertidaksamaan Linear
Perhatikan garis 3x + 5y = 15 di
samping.
Y
Nampak bahwa daerah pada diagram
kartesius terbagi menjadi 2, yaitu daerah
di atas garis dan daerah di bawah garis.
3
X
5
Jika kita substitusikan sembarang titik di bawah garis 3x + 5y = 15 ke ruas
kiri persamaan tersebut (yaitu 3x + 5y), maka ternyata hasilnya kurang dari
15.
Contoh diambil titik O(0,0).
O(0,0)  3.0 + 5.0 = 0 < 15
Ini berarti, daerah di bawah garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah
penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y < 15 dan sebaliknya daerah di atas
garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x +
5y  15.
Sistem Pertidaksamaan Linear … .
Cara singkat :
Misal terdapat garis ax + by = c
Jika b > 0 (positif)
• Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di atas garis
• Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di bawah garis
Jika b < 0 (negatif)
• Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di bawah garis
• Daerah penyelesaian dari ax + by  c adalah daerah di atas garis
Sistem Pertidaksamaan Linear
Contoh :
Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x + 3y  6
sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!
Jawab :
Y
2x + 3y = 6
X
0
3
y
2
0
(0, 2)
(3, 0)
2
Daerah
Himpunan
Penyelesaian
X
Garis 2x + 3y = 6 melalui
titik (3, 0) dan (0, 2)
3
Sistem Pertidaksamaan Linear
Contoh :
Tunjukkan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan 2x - 3y  6
sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!
Jawab :
Y
2x - 3y = 6
X
0
3
y
-2
0
(0, -2)
(3, 0)
Garis 2x + 3y = 6 melalui
titik (3, 0) dan (0, -2)
X
3
-2
Daerah
Himpunan
Penyelesaian
Sistem Pertidaksamaan Linear
Sistem pertidaksamaan linear yaitu sebuah sistem yang terdiri dari dua buah
pertidaksamaan linear atau lebih.
Daerah himpunan penyelesaian dari sebuah sistem pertidaksamaan
linear merupakan irisan dari daerah penyelesaian tiap pertidaksamaan yang
membangunnya.
Contoh :
Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear
x + y  6; x  2; y > 1
Jawab :
Y
6
x+y=6
x
0
6
Y
6
0
(0, 6)
(6, 0)
HP
1
X
2
6
Sistem Pertidaksamaan Linear
Contoh :
Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
4x + 3y  12; 3x + 4y  12; x  0; y  0
Jawab :
Garis 4x + 3y = 12 melalui titik (3, 0) dan (0, 4)
Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan (0, 3)
Y
4
3
HP
X
3
4
Model Matematika
Model matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan,
pertidaksamaan maupun fungsi) yang diperoleh dari penafsiran seseorang ketika
menerjemahkan suatu masalah sehari-hari (masalah program linear) ke dalam
bahasa matematika.
Contoh
Susi ingin membeli dua jenis jeruk, jeruk A dengan harga Rp 6.000,00 per kg
dan jeruk B dengan harga Rp 4.000,00 per kg. Ia hanya menyediakan uang Rp
50.000,00, sedangkan kapasitas keranjang yang ia bawa hanya 10 kg. Buatlah
model matematika dari masalah ini!
Jawab :
6.000 x + 4.000 y < 50.000 atau 3x + 2y < 25
x + y < 10
x > 0; y > 0
Model Matematika
Contoh:
Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri
dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A
dan B masing-masing hanya mampu mengangkut 4 orang dan 6 orang.
Tentukan model matematika untuk masalah ini.
Jawab :
x + y < 100
4x + 6y < 500
x > 0, y > 0.
Fungsi Obyektif
Fungsi obyektif atau fungsi sasaran atau fungsi tujuan adalah fungsi yang
berbentuk f(x,y) = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya (nilai
maksimum atau nilai minimum) untuk (x,y) yang memenuhi syarat tertentu.
Contoh :
Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp
15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp
600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan sepatu.
Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00
dengan keadaan ini pedagang tersebut ingin mendapatkan keuntungan yang
sebesar-besarnya. Tentukan model matematika permasalahan tersebut
lengkap dengan fungsi obyektif yang menyatakan keuntungan pedagang
tersebut!
Fungsi Obyektif
Jawab :
Misal :
banyaknya pasangan sandal
=x
banyaknya pasangan sepatu
=y
Model matematika :
15.000x + 30.000y < 600.000 atau x + 2y < 40
x + y < 30
x > 0, y > 0
Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y
(Perhatikan bahwa fungsi f(x,y) = 4.000x + 5.000y menyatakan besar
keuntungan yang diperoleh pedagang, yang nilainya tergantung dari banyak
sandal dan sepatu yang ia jual)
Fungsi Obyektif …
Contoh :
Seorang pasien diharuskan mengkonsumsi vitamin A paling sedikit 1000 mg
dan vitamin C paling sedikit 1250 mg tiap hari. Tersedia 2 jenis kapsul, kapsul
jenis I mengandung 50 mg vitamin A dan 75 mg vitamin C. Kapsul jenis II
mengandung 60 mg vitamin A dan 50 mg vitamin C. Jika harga 1 butir kapsul
jenis I dan jenis II masing-masing adalag Rp 8.000,00 dan Rp 6.000,00 maka
tentukan model matematika dari masalah ini!
Jawab :
Misal banyak kapsul jenis I = x dan banyak kapsul jenis II = y
Maka model matematika dari masalah ini adalah
50x + 60y > 1.000 atau 5x + 6y > 100
75x + 50y > 1250 atau 3x + 2y > 50
x > 0; y > 0
Fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y
(Perhatikan bahwa fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y menyatakan besar pengeluaran
pasien tiap hari, yang tergantung dari banyak kedua kapsul yang ia konsumsi)
Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Untuk menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi
obyektif, cara yang biasa digunakan adalah dengan uji titik pojok atau
dengan garis selidik.
1). Uji Titik Pojok
Menentukan nilai optimum fungsi obyektif f(x, y) = ax + by dengan uji titik pojok
dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi tersebut untuk setiap titik pojok (x, y)
dari daerah himpunan penyelesaian.
2). Garis Selidik
Apabila suatu persoalan program linear dengan fungsi obyektif f(x, y) = ax + by
akan diselesaikan menggunkan garis selidik, maka persamaan umum garis selidik
tersebut adalah ax + by = k. Dengan menggeser-geser garis ini melintasi semua
daerah himpunan penyelesaian menjauhi dan mendekati titik O(0, 0) akan diperoleh
nilai-nilai k yang berbeda.
Nilai maksimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya
paling
jauh dari titik O
Nilai minimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling
dekat dari titik O
Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Titik (x, y)
f(x, y)= 4.000x + 5.000y
Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp
(0,dan
0) harga sepasang sepatu 0Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp
15.000,00
600.000,00.
Kiosnya hanya cukup120.000
menampung 30 pasang sandal dan sepatu.
(30, 0)
Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00 maka
Maksimum
(20, 10)
130.000
tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
(0, 20)
100.000
Jawab :
Model matematika
x + 2y < 40
x + y < 30
x > 0, y > 0
Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y
Y
30
20
(20, 10)
HP
X
30 40
Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Tentukan nilai minimum fungsi z = 5x + 3y dengan syarat
x + y > 4, x + 3y > 6, x > 0, y > 0.
Jawab :
Uji titik pojok
Titik (x,y) f(x,y)
(6, 0)
30
(3, 1)
18
(0, 4)
12
Jadi nilai minimum fungsi z = 5x + 3y
adalah 12, yang dicapai di titik (0, 4).
Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari Z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut
Y
Garis selidik x + 3y = 0 melalui
titik (0, 0) dan (3, -1)
y=x+1
Maksimum
y=x+1
2x - 5y = 0
x+y=7
Diperoleh x = 3 dan y = 4
Sehingga nilai maksimum
X
Z = 3 + 3(4) = 15
7x + 2y = 14
x+y=7
Berikut ini disediakan 5 (lima) butir soal untuk menguji kompetensi
dari materi yang telah Kalian pelajari.
Selamat Mengerjakan…
Uji Kompetensi
Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan
A
2 ≤ y ≤ 4; x + y ≤ 5; y ≥ 0
B
2 ≤ x ≤ 4; x + y ≤ 5; x ≥ 0
Y
5
4
C
2 ≤ y ≤ 4; x + y ≥ 5; y ≥ 5
2
D
E
2 ≤ x ≤ 4; x + y ≤ 5
2 ≤ y ≤ 4; x + y ≤ 5; x ≥ 0
X
5
Uji Kompetensi
Luas suatu tempat parkir 200 m2. Untuk memarkirkan mobil rata-rata
diperlukan tempat seluas 10 m2 dan untuk bus rata-rata 20 m2. Tempat parkir
tersebut tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika di tempat
parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi
syarat ....
A
x + y ≤ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
B
x + y ≥ 12; x + 2y ≥ 20; x ≤ 0; y ≤ 0
C
x + y ≤12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
D
x + y ≤ 12; x – 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
E
x + y ≥ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
Uji Kompetensi
Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri
dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A
dan B masing-masing hanya mampu mengang-kut 4 orang dan 6 orang.
Model matematika untuk masalah ini adalah.....
A
x  0, y  0, x + y  100, 2x + 3y  250
B
x  0, y  0, x + y  100, 2x + 3y  250
C
x  0, y  0, x + y  120, 2x + 3y  500
D
x  0, y  0, x + y  500, 3x + 2y  100
E
x  0, y  0, x + y  500, 2x + 3y  100
Uji Kompetensi
Nilai minimum fungsi z = 2x + 5y dengan syarat
x + 2y  6, 2x + y  6, x  0, y  0 adalah.....
A
4
B
7
C
10
D
12
E
14
Uji Kompetensi
Sebuah pesawat mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas
utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang tiap penumpang kelas ekonomi
boleh membawa bagasi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440
kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp
100.000,00. Agar diperoleh pendapatan maksimum, maka banyak
penumpang kelas utama adalah … .
A
4
B
7
C
10
D
12
E
14