Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar

Pertemuan 1
Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier
Kompetensi dasar
: Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
linier
Indikator
:

Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya

Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah
penyelesaiannya
Tujuan Pembelajaran
:

Menjelaskan pengertian program linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan
2 variabel
Materi Ajar
A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR
Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk menyelesaikan
masalah optimasi. Dengan kata lain, program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan
nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendalakendala tertentu.
Kendala-kendala mi diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear.
Pengetahuan nilai optimum mi sangat penting dan banyak digunakan baik dalam kegiatan
yang berhubungan dengan matematika itu sendiri maupun dalam kehidupan sehari-hari. Pada
industri misalnya, terdapat perhitungan biaya produksi, batiyak karyawan yang diperlukan atau
bahan yang diperlukan dalam produksi satu unit barang tertentu sehingga dapat diprediksi tingkat
pengeluaran dan pendapatan yang diperoleh. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut mi.
Misalkan perusahaan memproduksi dua jenis komponen. Untuk memenuhi permintaan pasar,
perusahaan mungkin akan menemui hambatan berupa persediaan bahan baku yang terbatas,
banyak komponen yang mampu diproduksi, biaya produksi untuk tiap komponen, atau kendala
lainnya.
Dengan kendala in bagaimana perusahaan mengoptimumkan keuntungannya? Disinilah peran
program linear untuk menyelesaikan permasahan-permasalahan tersebut. Dengan fungsi sasaran
(objektif) yang diketahui, maka dapat diketahui teknik produksi optimal yang dapat dilakukan
perusahaan.
B. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Sebuah model masalah program linear yang dinyatakan dalam dua variabel dapat
diselesaikan dengan grafik yang merepresentasikan kedua variabel tersebut. Pendekatan solusi
masalah dengan grafik sangat membantu terutama dalam melihat dan memahami kendalakendala dan fenomena yang mungkin terjadi dalam penyelesaian masalah mi.
1. Grafik Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Sebagaimana diketahui bahwa pertidaksamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang
memuat (atau yang dihubungkan dengan) tanda pertidaksamaan, yaitu <, ≤, >, ≥, dan #. Untuk
mempermudah penyajian pada diagram Cartesius, variabel dinyatakan dalam x atau y.
Contoh:
a. a.x≥ 1
Gambar terlebih dahulu garis x = 1, lalu tentukan daerah himpunan penyelesaian yang
memenuhi x ≥ 1.
Menggambarkan grafik pertidaksamaan linear satu variabel seperti di atas dapat membantu kamu
menggambarkan grafik pertidaksamaan linear dua variabel.
Soal
Pertemuan 2
Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier
Kompetensi dasar
: Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
linier
Indikator
:

Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya

Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah penyelesaiannya
Tujuan Pembelajaran
:

Menjelaskan pengertian program linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan
2 variabel
Materi Ajar
2. Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sebagian besar masalah program linear dihadapkan dengan kendala yang berbentuk
sistem dan pertidaksamaan linear dua variabel. Solusi yang tergambar dapat merepresentasikan
solusi optimisasi yang dicari.
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang memuat dua vaniabel,
misalnya x dan y. Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ini dapat disajikan pada koordinat
Cartesius. Perhatikan contoh berikut.
Dengan demikian, daerah penyelesaian merupakan daerah yang diraster.
Soal
Pertemuan 3
Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier
Kompetensi dasar
: Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
linier
Indikator
:

Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya

Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah
penyelesaiannya
Tujuan Pembelajaran
:

Menjelaskan pengertian program linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan
2 variabel
Materi Ajar
3. Grafik Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua
variabel.
Untuk menggambarkan himpunan (daerah) penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut,
masing-masing pertidaksamaan dibuat penyelesaiannya dan diletakkan pada satu sistem
koordinat Cartesius. Himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dan masing-masing
penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Soal
Pertemuan 4
Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier
Kompetensi dasar
: Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal)
Indikator
:

Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke kalimat matematika

Kalimat matematika ditentukan daerah penyelesaiannya
Tujuan Pembelajaran
:

Menjelaskan pengertian model matematika

Menentukan apa yang diketahui dan ditanyakan

Menyusun sistem pertidaksamaan linier

Menentukan daerah penyelesaian
Materi Ajar
MODEL MATEMATJKA
Masalah-masalah program linear dalam bidang teknik, perdagangan maupun dalam
kegiatan perindustrian akan lebih mudah diselesaikan jika permasalahan tersebut diterjemahkan
terlebih dahulu ke dalam pernyataan matematika. Pernyataan matematika mi menggunakan
variabel (peubah) dan notasi matematika. Dengan mi akan diperoleh suatu model matematika.
Pada umumnya pemodelan matematika melibatkan banyak variabel dan tidak linear,
tetapi pada bahasan mi pemodelan yang akan dibuat hanya melibatkan dua variabel dan modelmodel yang linear. Perhatikan ilustrasi pemodelan berikut mi.
Contoh :
1. Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu, yaitu sepatu untuk anak-anak
dan dewasa. Rata rata harga beli sepasang sepatu untuk anak-anak adalah Rp50.000,00 dan
sepatu dewasa RplOO.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu
dan modal yang tersedia Rp5.000.000,00. Keuntungan yang diperoleh pada tiap penjualan adalah
Rp 10.000,00 dan Rp15.000,00 masing-masing untuk sepatu anakanak dan dewasa. Buatlah
model matematika untuk memaksimumkan keuntungan dan penjualan tersebut.
Jawab:.
Misalkan, banyak sepatu anak-anak: x pasang banyak sepatu dewasa: y pasang
Pemyataan di atas dapat dibuat dalam tabel seperti berikut.
Soal
Pertemuan 5
Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier
Kompetensi dasar
: Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier.
Indikator
:

Fungsi obyektif ditentukan dari soal

Nilai optimum ditentukan berdasar fungsi obyektif
Tujuan Pembelajaran
:

Menentukan fungsi objektif

Menentukan titik optimum dari daerah himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linier

Menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif
Materi Ajar
NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTF
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari bagaimana menerjemahkan
masalah program linear ke dalam model matematika dan menentukan fungsi objektifnya.
Selanjutnya adalah menyelesaikan masalah tersebut yakni dengan menentukan nilai optimum
(maksimum atau minimum) fungsi objektif.
Perhatikan kembali contoh-contoh pada hal. 156 sub bab sebelumnya. Pada contoh 1,
sasaran yang dituju adakh menentukan besar keuntungan maksimum yang dapat diperoleh,
sedangkan pada contoh 2 adalah menentukan biaya minimum yang dapat dikeluarkan.
Untuk menentukan nilai-nilai mi, kita dapat menyelidiki nilai fungsi objektif pada titiktitik pojok daerah penyelesaian. Metode mi disebut au titik pojok.
Langkah-langkah yang ditempuh dalam menggunakan uji titik pojok antara lain:
a. Ubah persoalan verbal (kalimat matematika) ke dalam model matematika (sistem
pertidaksamaan) dan tentukan fungsi objektifnya.
b. Gambar daerah penyelesaian (daerah feasible) sistem pertidaksamaan yang diperoleh
pada langkah a.
c. Identifikasikan dan tentukan titik koordinat dan setiap titik pojok pada daerah
penyelesaian.
d. Hitung nilai dan bentuk objektif (syarat untuk maksimum atau minimum) yang
bersesuaian dengan titik pojok yang diperoleh sebelumnya sehingga didapatkan nilai
optimum (maksimum atau minimum).
Contoh :
Soal