persamaan bernoulli

PERSAMAAN BERNOULLI
Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng
Pendahuluan
Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah
dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan.
Pada zat cair mengalir, diperhitungkan
kecepatan, arah partikel, kekentalan yang
menyebabkan gesekan antar partikel maupun
dinding batas.
Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari
persamaan gerak.
Persamaan energi → persamaan Euler untuk
3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
1
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli adalah
hubungan pendekatan
antara tekanan,, kecepatan
p
dan elevasi dan berlaku
dalam aliran mantap, tak
termampatkan dimana gaya
geseran netto diabaikan.
Persamaan berguna dalam
daerah aliran di luar lapis
batas (boundary layers),
layers)
dimana gerak fluida
ditentukan efek gabungan
gaya tekanan dan gaya berat.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Anggapan:
Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalan
Zat cair homogen, tidak termampatkan
Aliran kontinu dan sepanjang garis arus
(irrotational flow)
p
Kecepatan
merata
Gaya yang bekerja hanya gaya berat dan
tekanan.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
2
Garis aliran
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
3
Penurunan Persamaan Bernoulli
Go to Hydrodynamic Analysis
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
Gaya tekan dari up stream: p.dA
∂p
⎛
⎞
ds ⎟ dA
d id
t
dari
down stream:
⎜p+
∂s
⎝
⎠
Berat zat cair: W = ρ.g.dA.ds
Komponen berat arah s : ρ.g.dA.ds.cosθ
:ρ.g.dAds.∂z/∂s
Resultan gaya:
F =−
∂p
∂z
dA.ds − ρg.dA.ds.
∂s
∂s
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
4
Keseimbangan Gaya
Menurut hukum Newton II:
F = M.a
−
∂p
∂z
dA.ds − ρg.dA.ds. = ρdA.ds.a
∂s
∂s
∂
−
∂s
(p + γz ) = ρ a
Bila v = f(s,t) → a = dv = ∂v + ∂v ∂s = ∂v + v ∂v
dt
∂t
∂s ∂t
∂t
∂s
Sehingga pers menjadi:
⎛ ∂v ∂v ⎞ ∂
+ v ⎟ + ( p + γ .z ) = 0
∂s ⎠ ∂s
⎝ ∂t
ρ⎜
→ pers. Euler
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Dari pers. Euler
∂v ⎞ ∂
⎛ ∂v
+ v ⎟ + ( p + γ .z ) = 0
∂s ⎠ ∂s
⎝ ∂t
ρ⎜
Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka
ρvdv + d ( p + γ .z ) = 0
1
ρ v 2 + p + γz = C
2
atau
v2
z+ +
= H = const
γ 2g
p
→ pers. Bernoulli
dimana : H = total head (tinggi tekan total)
z = potential head (tinggi tempat)
p = pressure head (tinggi tekan)
v2/2g = velocity head (tinggi kecepatan)
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
5
Garis Energi Zat Cair Ideal
v2
Persamaan energi: H = z + +
γ 2g
p
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titik
pada garis arus yang sama memenuhi
P1 V12
P2 V22
+
+z =
+
+z
ρ1 g 2 g 1 ρ 2 g 2 g 2
dimana P/ρ : energi aliran, V2/2 : energi kinetis, dan gz :
energi potensial, semua per unit mass.
Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataan
keseimbangan energi mekanis (mechanical energy
balance)
Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik Swiss
Daniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis pada
tahun 1738.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
6
Persamaan Bernoulli
Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus
Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arus
untuk aliran mantap, tak termampatkan:
untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan
menjadi:
adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatis
sebagaimana sama dengan dalam fluida diam
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan
adalah:
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
7
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi
Persamaan Bernoulli
P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan
termodinamika aktual dari fluida.
ρV2/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasi
kenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.
ρgz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada
bidang referensi yang ditetapkan.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi
Jumlah tekanan statis,
dinamis, dan hidrostatis
disebut tekanan total
(konstan sepanjang garis
arus).
Jumlah tekanan statis dan
dinamis disebut tekanan
stagnasi,
Kecepatan fluida pada titik itu
dapat dihitung dari :
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
8
Aplikasi Persamaan Energi
Titik 2 : titik stagnasi
Dari pers energi didapat: p2 = p1 + ½ ρv12
Tekanan dinamis = ½ ρv12
Tekanan stagnasi = p2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Tabung Stagnasi
V2 p
V2
+ z1 + 1 = 2 + z2 + 2
γ
2g γ
2g
p1
p1 V12 p2
+
=
γ 2g γ
2
V12 = ( p2 − p1)
ρ
=
2
ρ
(γ (l + d ) − γd )
V1 = 2gl
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
9
Tabung Stagnasi dalam Pipa
V2
2g
V2
H = +z+
γ
2g
p
p
γ
Pipe
2
Flow
1
z
z=0
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Pipa Pitot-statis
Kecepatan fluida pada titik itu
dapat dihitung dari:
Piezometer mengukur tekanan statis.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
10
Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)
Dari
D i pers energii : p2 = p1 + ½ ρv12
ρgh2 = ρgh1 + ½ ρv12
v1 =
2 g (h2 − h1 )
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Venturi meter
Total energi titik 1 = total energi titik 2
Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran
Q act = C d A1 A2
⎞
⎛ρ
2 gh ⎜⎜ man − 1 ⎟⎟
⎠
⎝ ρ
A12 − A22
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
11
Garis Energi dan Garis Tekanan
Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis
nenggunakan tinggi.
P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolom
fluida yang menghasilkan tekanan statis P.
V2/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yang
p
p kecepatan
p
untuk fluida mencapai
V selama jjatuh bebas
diperlukan
tanpa gesekan.
z adalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial dari
fluida.
H adalah tinggi total.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi dan Garis Tekanan
Garis Tekanan (HGL)
HGL =
P
+z
ρg
Garis Energy (EGL)
(atau tinggi total)
EGL =
P V2
+
+z
ρ g 2g
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
12
Garis Energi Aliran Zat Cair Riil
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
HGL dan EGL
Untuk benda diam seperti waduk
atau danau, EGL dan HGL berimpit
dengan permukaan bebas zat cair,
sepanjang
p j g kecepatannya
p
y nol dan
tekana statis (gage) = nol.
EGL selalu berjarak V2/2g di atas
HGL.
Dalam idealized Bernoulli-type
flow, EGL horisontal dan tingginya
tetap konstan. Ini juga untuk HGL
bila kecepatan aliran konstan.
Untuk aliran saluran terbuka (openchannel flow),
flow) HGL berimpit dengan
permukaan bebas zat cair, dan EGL
berjarak V2/2g di atas permukaan
bebas.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
13
HGL dan EGL
„ Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titik
dimana HGL memotong fluida.Tekanan dalam
bagian aliran yang terletak di atas HGL negatif,
negatif
dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGL
positif.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Kecepatan aliran dalam pipa = 0
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
14
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Aliran zat cair ideal
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Aliran zat cair riil
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
15
Contoh
Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari
reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m.
Hitung : Tekanan di A.
Penyelesaian : persamaan Bernoulli
titik 1
V2 p
V2
+ z1 + 1 = A + z A + A
γ
2g
γ
2g
p1
0
γ
+h+
0
p
V2
= A +0+ A
2g γ
2g
Titik A
V2
18
p A = γ ( h − A ) = 98
9810
0(15
5−
)
2g
9.81
p A = 129.2 kPa
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Contoh
Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ft
Hitung: VA
Point 1
Penyelesaian: persamaan Bernoulli
p1
γ
+ z1 +
0
γ
+h+
V12 p A
V2
=
+ zA + A
2g
2g
γ
Point A
0 0
V2
= +0+ A
2g γ
2g
V A = 2 gh
= 16 ft / s
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
16
Contoh – Tabung Venturi
Diketahui: air 20oC, V1=2 m/s, p1=50 kPa,
D=6 cm, d=3 cm
Hitung : p2 dan p3
Penyelesaian : persamaan kontinuitas.
D
D
d
V1 A1 = V2 A2
2
A
D
V2 = V1 1 = V1⎛⎜ ⎞⎟
A2
⎝d ⎠
2
Persamaan Bernoulli
p1
γ
V12
+ z1 +
2g
p 2 = p1 +
= p1 +
ρ
2
ρ
2
=
p2
(V12
γ
+ z2 +
V 22
2g
− V 22 )
[1 − (D / d )4 ]V12
1000
[1 − (6 / 3 )4 ]2 2 Pa
2
p 2 = 120 kPa
= 150 ,000 +
1
3
Nozzle: kecepatan
meningkat, tekanan
turun
Diffuser: kecepatan
turun, tekanan
meningkat
Sama halnya untuk 2 Æ 3, atau 1 Æ 3
p3 = 150 kPa
Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap
tidak ada kehilangan karena gesekan
Tahu penurunan tekanan 1 Æ 2 dan d/D,
dapat dihitung kecepatan dan debit
V2 =
2( p1 − p2 )
ρ [1 − (d / D )4 ]
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Analisis Energi Aliran Mantap
Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak ada
peralatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi:
P1 V12
P2
V22
+
+z =
+
+ z2
ρ1 g 2 g 1 ρ 2 g 2 g
Faktor koreksi energi kinetis, α
Menggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaan
dapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energi
kinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis,
digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan mengganti
term
energii kinetis
persamaan energii dengan
t
ki ti V2/2 dalam
d l
d
2
αVavg /2.
α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk
aliran turbulen dalam pipe bulat.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
17
Faktor Koreksi Energi Kinetik
Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetik
g
v2/2g
Kenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energi
kinetik rata-rata α.v2/2g
Dimana α = koefisien Coriolis
= koreksi energi kinetik
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Analisis Energi Aliran Mantap
α sering diabaikan,
sepanjang mendekati 1
untuk aliran turbulen dan
kontribusi energi kinetis
kecil.
persamaan energi untuk
aliran mantap, tak
termampatkan, menjadi
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
18
Harga Faktor Koreksi α
1
3
Harga faktor koreksi α = Av 3 ∫ v dA
A
Harga α tegantung distribusi kecepatan
Aliran dalam pipa : laminer α = 2
turbulen α = 1,01 – 1,15
Setelah dikoreksi persamaan energi
p2
v22
p1
v12
menjadi :
z1 +
γ
+ α1
2g
= z2 +
γ
+ α2
2g
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
19