GAYA SENTRAL

RENCANA PEMBELAJARAN 11. POKOK BAHASAN: GAYA SENTRAL
(Lanjutan)
Persamaan differensial orbit gerak di bawah pengaruh gaya sentral isotrop secara umum,
F(r) = F(u-1), telah diperoleh pada kuliah yang lalu, diberikan oleh persamaan (10.21):
dengan u = r -1
A. Gaya Sentral kuadrat terbalik.
Sekarang dibahas gaya sentral (isotrop) kuadrat terbalik, sering disebut hukum
kuadrat terbalik (inverse square law), yang dinyatakan sebagai
dengan C = tetapan positip. Persamaan (11.1) menjadi
Penyelesaian persamaan (11.3) untuk r berbentuk
dengan
disebut faktor skala orbit, dan
disebut
eksentrisitas
orbit.
Persamaan
(11.4)
disebut
persamaan
lintasan/
orbit/trayektori. Faktor A pada persamaan (11.6), merupakan salah satu tetapan
integrasi persamaan (11.3), berkaitan dengan tenaga benda/sistem, E; sedangkan
tetapan interasi lainnya berupa fase awal,
yang dalam persamaan (11.4) telah
diberikan bernilai 0 (nol).
Universitas Gadjah Mada
1
Persamaan lintasan (11.4) adalah persamaan irisan kerucut, yang bentuknya tergantung
pada nilai , yang dalam parameter tenaga dan momentum sudut benda diberikan oleh
persamaan
Nilai-nilai  dan E serta bentuk lintasan yang bersesuian dengan nilai-nilai tersebut
diberikan oleh tabel 11.1.
Tabel 11.1 Nilai , E dan bentuk lintasan yang bersesuaian.

E
Bentuk lintasan
0
<0
Lingkaran
Tertutup
0<<1
<0
Ellips
1
0
Parabola
Terbuka
1
0
Hiperbola
Eksentrisitas lintasan dapat dinyataka dalam
(
) dan
(
), yakni
Persamaan (11.8) memberikan hubungan antara rmak dan rmin
Dan persamaan lintasan dapat ditulis
Gambar 11.1. menggambarkan ke empat bentuk lintasan dengan rmin yang sama.
Universitas Gadjah Mada
2
Untuk lintasan lingkaran dan elips (tertutup) berlaku hubungan-hubungan
Dan
di mana a dan b berturut-turut menyatakan setengah sumbu panjang dan setengah
sumbu pendek lintasan. Gerak planet-planet matahari termasuk jenis gerak di atas
dengan E < 0 ( C = GmM, M = massa matahari, m massa planet ), yang sesuai dengan
hukum I Keppler.
Hukum II Keppler mudah diturunkan mengingat kekekalan momentum sudutnya:
Untuk menjelaskan hukum III Keppler, dimulai dengan ungkapan luas dalam lintasan
(elips)
Universitas Gadjah Mada
3
Mengingat persamaan (11.9) dan (11.5), persamaan (11.12) menghasilkan
Atau
Yang adalah ungkapan matematis hukum III Keppler, dengan
B. Hamburan Partikel -α (Rutherford)
Partikel bermassa m dan bermuatan q (partikel -α , dengan kelajuan tinggi) melintas
dekat partikel berat bermassa M dan muatan Q (inti atom berat, M>>>m , dianggap
diam) sebagai pusat gaya dan pusat koordinat. Partikel datang mengalami gaya tolak
kuadrat terbalik (gaya Coulomb), diberikan oleh
dengan C = kqQ dan k = tetapan Coulomb = 9.109 Nm2C-2.
Dengan persamaan (11.17), persamaan differensial orbit (11.1) menjadi
Persamaan differensial (11.18) rnenghasilkan persamaan lintasan
Dengan d dan  seperti persamaan (11.5) dan (11.7), hanya berbeda C dengan C.
Di sini tenaga partikel bernilai positip (E > 0), dan  > 1 , sehingga lintasan berupa
hiperbola, Gambar 11.3. Mula-mula (pada t = 0) dipilih r =
dan  = 0, sedangkan
=
sudut posisi partikel saat posisi terdekat (pada rmin). Pada t = 0 , dengan = 0, penyebut
pada persamaan (11.19) bernilai 0 (r =
) , yang memberikan hubungan
Atau
Universitas Gadjah Mada
4
Dimana
adalah sudut hamburan seperti terlihat pada Gambar 11.3. Mengingat L
konstan (L = m vo b) dan
, persamaan (11.20) dapat dinyatakan dalam b
sebagai
b disebut parameter tumbukan.
Universitas Gadjah Mada
5