Matematika Ekonomi - Telkom University

Telkom University
Alamanda
JENIS – JENIS FUNGSI1
JENIS – JENIS FUNGSI2
Jenis Fungsi
1.
FUNGSI POLINOM
mengandung banyak suku
(polinom) dalam variabel bebas
 y = a0 + a1x + a2x2 + …+ anxn
2. FUNGSI LINEAR
Pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat satu
 y = a0 + a1x, a0 = konstanta ; a1
≠ 0
Gambar
JENIS – JENIS FUNGSI3
Gambar
Jenis Fungsi
3. FUNGSI KUADRAT
Disebut fungsi berderajat dua 
y = a0 + a1x + a2x2 , a0 =
konstanta, a1 dan a2 = koefisien,
a2 ≠ 0
4. FUNGSI KUBIK
y = a0 + a1x + a2x2 + + a2x3
JENIS – JENIS FUNGSI4
Jenis Fungsi
5. FUNGSI EKSPONENSIAL
Variabel bebasnya merupakan
pangkat dari suatu konstanta
bukan nol  y = nx , n > 0
6. FUNGSI LOGARITMIK
Kebalikan eksponensial, variabel
bebasnya merupakan bilangan
logaritmik  y = n log x
7. FUNGSI TRIGONOMETRIK
DAN HIPERBOLIK
Variabel bebasnya merupakan
bilangan – bilangan goneometrik.
Contoh persamaan hiperbolik :
y = arc cos 2 x
Gambar
Tujuan Matematika Ekonomi
Matematikawan
Matematika
sebagai tools
dalam mengambil
keputusan bisnis
Fungsi Matematika (1)
 Model matematika dalam masalah Ekonomi dan
Bisnis
 Fungsi adalah hubungan antara variabel tidak bebas
(dependent variable) dan variabel bebas (independent
variable)
 Contoh :
 Variabel harga dan jumlah
 Variabel konsumsi dan pendapatan
Fungsi Matematika (2)
 Notasi fungsi:
 Misal y variabel tidak bebas dan x variabel bebas
 Setiap nilai y tergantung dari besarnya nilai x yang
ditetapkan
 Definisi fungsi: setiap nilai x tertentu memiliki
hubungan dengan satu dan hanya satu nilai y
 Hubungan fungsional tersebut ditulis, y=f(x)
 Jenis fungsi:
 Fungsi dengan satu variabel bebas, y=f(x)=a0+a1x
 Fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas,
y=f(x1,x2,...,xn)=a1x1+...+anxn
Fungsi Linier
 Permasalahan dalam Ekonomi dan Bisnis sering kali
disederhanakan menjadi model-model yang bersifat
linier
 Secara umum, fungsi linier ditulis dalam bentuk
Ax + By + C = 0
 Contoh:
 5x + 3y -12 = 0
 x+y–6=0
 5x - 0.5y +2 = 0
Contoh Grafik Fungsi Linier
y = x + 0.5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
Gradient dan Intercept
Ax + By + C = 0
By = -Ax + -C
y = (-A/B)x + (-C/B)
y = ax + b
 b = -A/B adalah gradient / slope / kemiringan
 a = -C/B adalah intercept atau titik potong dengan
sumbu y
 y=0 adalah absis atau titik potong dengan sumbu x
 Contoh soal: 5x + 3y -12 = 0
Soal Latihan 1
 Tentukan gradient dan titik potong dari fungsi linier di
bawah ini:
a. x + y – 6 = 0
b. 5x - 0.5y +2 = 0
-3x + 2y +8 = 0
d. x + y – 10 = 0
e. 4x - 3y -25 = 0
c.
Grafik Fungsi Linier
A. Langkah menggambar grafik fungsi linier
1. Model fungsi linier
2. Titik potong dengan sumbu x dan y
B. Tipe soal:
a) Menggambar grafik fungsi jika diketahui dua buah
titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2).
b) Menggambar grafik fungsi jika diketahui satu buah
titik, yaitu (x1, y1), dan kemiringan m.
Fungsi Linear
(2)
Rumus persamaan garis linear yang melalui 2 titik
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Tentukan persamaan garis yang melalui titik
(2,5) dan (4,9).
16
Fungsi Linear
(3)
Rumus persamaan garis linear yang diketahui slope atau
kemiringannya
y  y1  b( x  x1 )
Tentukan persamaan garis yang melalui titik
(2,3) dan kemiringannya 0,5.
17
Contoh Soal Grafik Fungsi Linier
a) Jika diketahui A(3,7) dan B(12,6), maka tentukan
persamaan garis dan grafik fungsi liniernya!
b) Jika diketahui m=2/3 dan titik koordinat A(5,6),
maka tentukan bentuk persamaan garis dan grafik
fungsinya!
Soal Latihan 2
1.
Diketahui titik-titik koordinat seperti berikut:
A(3,4) dan B(-3,-4)
b. A(12,4) dan B(-5,7)
c. A(1/2,-3/4) dan B(-3,-5)
d. A(4,3) dan B(-3,2)
Tentukan persamaan garis, gradien, dan grafik fungsinya!
a.
2.
Jika diketahui
m=1/2 dan titik A(3,-4)
b. m=-2/3 dan titik A(2,5)
c. m=-2/3 dan titik A(-6,-2)
Tentukan persamaan garis dan grafik fungsinya!
a.
Bentuk Umum
Bentuk umum fungsi kuadrat
dimana
variabel bergantung
variabel bebas
konstanta (a ≠ 0)
Grafik Fungsi (1)
Grafik Fungsi (2)
 Titik potong dengan sumbu y pada saat x=0
 Nilai diskriminan
 Koordinat titik puncak
 Titik potong dengan sumbu x
Catatan
 Nilai parameter a
 Jika a positif maka kurva terbuka ke atas
 Jika a negatif maka kurva terbuka ke bawah
 Nilai diskriminan D
 D>0
memotong sumbu x pada dua titik
 D=0
menyinggung sumbu x
 D<0
tidak dapat digambar pada garis bilangan real
Contoh Soal
Misal
Tentukan koordinat titik puncak dan grafik fungsi tsb!
Soal Latihan 3
Tentukan koordinat titik potong dan grafik fungsi
berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
PENCARIAN AKAR- AKAR
PERSAMAAN LINEAR
 Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan
anu dari beberapa persamaan linear, dengan
kata lain penylesaian persamaan- persamaan
linear secara serempak (simultaneously), dapat
dilakukan melalui tiga macam cara :
 cara substitusi
 cara eliminasi
 cara determinan
Cara Substitusi
 Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat
diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih
dahulu sebuah persamaan untuk salah satu
bilangan anu, kemudian mensubstitusikannya ke
dalam persamaan yang lain.
 Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari
dua persamaan berikut:
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y
2x + 3y = 21
2(23 – 4y) + 3y = 21
46 – 8y + 3y = 21
46 – 5y = 21, 25 = 5y, y = 5
Cara Eliminasi
 Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat
diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk
sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan
anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari
bilangan anu yang lain.
2 x  3 y  21 1 2 x  3 y  21
x  4 y  23  2 2 x  8 y  46
-5 y  25,
y 5
Cara Determinan
 Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan
persamaan yang jumlahnya banyak.
 Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi
determinan derajad 2
a
b
d
e
 ae - db
determinan derajad 3
a
b
c
d
e
f  aei  bfg  chd  gec  dbi  afh
g
h
i
 Ada 2 persamaan :
ax + by = c
dx + ey = f
 Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :
c
b
Dx f e ce  fb
x


a b ae  db
D
d e
a
c
Dy d f
af  dc
y


a b ae  db
D
d e
Determina
n
 Contoh :
2x + 3y = 21
dx + 4y = 23
 Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :
21
3
23 4 15
Dx
x


3
2 3
D
5
1 4
2
21
1 23
Dy
25
y


5
2 3
D
5
1 4