persamaan linear dua variabel kelas viii smp

PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KELAS VIII SMP
FAHRUL USMAN
Magister Pengajaran Matematika
Mata Kuliah Kecakapan Matematika
Semester II Tahun Ajaran 2016/2017
SEJARAH
PEMBUKTIAN METODE SPLDV
Sistem persamaan linier sudah digunakan sejak 4000 tahun
yang lalu (sekitar tahun 2000 SM) pada masa Babylonian (Babel).
Hal ini bisa kita lihat dalam tablet YBC 4652 yang menjelaskan
bagaimana Babel menyelesaikan suatu masalah dengan persamaan
linier. Meskipun babel sudah menggunakan Sistem Persamaan Linier
dalam kehidupan sehari-hari mereka, namun istilah “Sistem
Persamaan Linier (Linear Equation)” sendiri baru muncul sekitar
abad ke-17 oleh seorang matematikawan Perancis bernama Rene
Descartes. Rene Descartes ini dilahirkan pada tahun 1596, tanggal
31 Maret di sebuah desa di Prancis. Dia menempuh pendidikan di
Belanda dan belajar matematika di waktu luang, karya Descartes
yang paling menghargai adalah pengembangannya geometri
Cartesian yang menggunakan aljabar untuk menggambarkan
geometri. Kemungkinan, Descartes menemukan istilah untuk “Sistem
Persamaan Linier (Linear Equation)” ketika dia belajar di Belanda.
PENDAHULUAN
Metode Eliminasi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u
(*)
rx + sy = v
(**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut
konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u
rx + sy = v
xs
psx + sqy = us
rqx + sqy = vq
xq
kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan nilai
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑥=
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
y
4x – 1
y
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (*)
x+5
𝑝
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
+ 𝑞𝑦 = 𝑢 maka 𝑦 =
Solusi dari persamaan diatas adalah
4x – 1
𝑢𝑠−𝑣𝑞 𝑝𝑣−𝑟𝑢
,
𝑝𝑠−𝑟𝑞 𝑝𝑠−𝑟𝑞
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝
+𝑞
=𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
x+5
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑟
+𝑠
=𝑣
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
dengan mengganti salah satu persamaan
4x – 1 = x + 5
(4x – x) – 1 + 1 = (x – x) + 5 + 1
3x = 6, diperoleh x = 2 dan y = 7
Sering kali kita melihat orang berbelanja di supermarket
membeli kebutuhan rumah tangga. Misalkan, Si A akan membeli
satu kg gula dan satu kg tepung seharga Rp. 20.000. Lalu Si B
membeli satu kg gula dan dua kg tepung dengan harga Rp. 32.000,
maka banyak masing-masing gula dan tepung yang dapat dibeli
dapat ditentukan dengan menggunakan sistem persamaan linear
dua variabel
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode
penyelesaian sistem persamaan yang disebut metode eliminasi.
Dengan menggunakan beberapa metode memudahkan kita dalam
menentukan nilai x dan y.
MEMODELKAN MASALAH DUA VARIABEL
Metode Substitusi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u
(*)
rx + sy = v
(**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut
konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u
SPLDV
px = u – qy maka 𝑥 =
Pada buku kelas VII semester 1, kita telah belajar menyelesaikan
persamaan linear satu variabel. Hal ini sebagai prasyarat dalam
menjalankan sistem persamaan linear dua variabel. Namun, sebelum
melangkah ada baiknya kita mengulang kembali apa itu persamaan
linear satu variabel.
Perlu diketahui bahwa variabel atau peubah tidak selalu
menggunakan x. Kita dapat menggunakan variabel lainnya. Seperti
contoh :
3a – 2 = 7
atau variabel p, q, r, dan seterusnya.
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (**)
Berapa berat kotak besar dan berat kotak kecil ?
Masalah ini dapat dituliskan dalam sistem persamaan dua variabel.
Jika x berat kotak besar dan y berat kotak kecil maka
x = y + 100
x = 2y + 50
(*)
r
(kedua ruas dibagi 3)
pada pembahasan berikutnya dapat diperlihatkan bahwa persamaan
linear dua variabel dapat kita modelkan kedalam bentuk yang lebih
nyata.
jika diselesaikan melalui metode eliminasi maka akan diperoleh x =
150 dan y = 50. Artinya, jika beban (dalam kg) ditambahkan maka
berat kotak besar akan semakin bertambah pula. Jadi, akan
berbanding lurus.
 Harga 3 cangkir teh dan 2 gelas jus melon adalah Rp. 15.000
 Harga 3 cangkir teh dan 5 gelas jus melon adalah Rp. 33.000
Gunakan gambar untuk menyelesaikan masalah tersebut
15.000
rupiah
METODE SPLDV
Sistem persamaan linear secara umum dinyatakan sebagai berikut.
33.000
rupiah
Berikut, beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel.
Metode Grafik
Berapa harga 4 gelas jus melon ?
Jika masing-masing persamaan dinyatakan dalam satu garis maka
terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
Berapa harga 2 gelas jus melon ?
Metode Eliminasi
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear dua variabel. Kata eliminasi sendiri mempunyai arti
menghilangkan.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
x+y=5
4x + y = 14
5
x+y
4x + y
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑟
+𝑠
=𝑣
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
karena kedua persamaan terdapat koefisien yang sama pada y maka
kita kurangkan secara langsung sehingga nantinya diperoleh x = 3
dan y = 2. Begitu seterusnya sampai menemukan solusi atas
persamaan x dan y.
Bila kasus ps – qr = 0 maka ada dua kemungkinan
𝑢
𝑣
𝑝
𝑟
 Jika = = 𝐿, maka persamaan yang satu merupakan kelipatan
yang lainnya. karena itu, sistem dapat diganti dengan satu
persamaan. Sistem disebut konsisten bergantung linear. Semua
titik pada garis px + qy = u adalah solusi.
𝑢
𝑝
 Jika 𝑣 ≠ 𝑟 , maka sistem persamaan tidak memiliki solusi dan
DISKUSI KELOMPOK
Buatlah kelompok yang beranggotakan 5 siswa.
Masalah yang lebih rumit seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini.
Berapa harga 3 cangkir teh ?
IMPLEMENTASI SPLDV DLM KEHIDUPAN
Saya membeli dua jenis es dan harus membayar Rp. 2.300. Jumlah
seluruh es adalah 10. Harga es jenis pertama adalah Rp. 300 dan
harga es jenis kedua adalah Rp. 200. Tentukan jumlah masingmasing es !
Solusi :
Tuliskanlah model matematika untuk masalah ini lalu carilah solusi
dari persamaannya !
DIAGRAM ALUR
METODE
= 2.300
= 10
dengan menggunakan salah satu metode sebelumnya, akan
diperoleh nilai x = 3 dan y = 7. Jadi, jumlah masing-masing es
pertama dan es kedua adalah 3 dan 7.
SPLDV
REFERENSI
Madhavi, V. dan Ved Dudeja. Jelajah Matematika SMP Kelas VIII. Bogor: Yudhistira, 2011.
Metode Substitusi
Metode ini sering diistilahkan sebagai penggantian.
Neswan, Oki dan Wono Setya Budhi. Matematika untuk Kurikulum Berbasis Kompetensi SMA.
Bandung: ITB, 2003.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
y = 4x – 1
y=x+5
kita dapat menuliskan
sederhana
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode
penyelesaian sistem persamaan yang disebut metode substitusi.
Berapa harga 2 cangkir teh ?
300x + 200y
x+y
14
masalah
ini kedalam
bentuk
bagan
𝑢𝑠−𝑣𝑞 𝑝𝑣−𝑟𝑢
,
𝑝𝑠−𝑟𝑞 𝑝𝑠−𝑟𝑞
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝
+𝑞
=𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
Misalkan es jenis pertama x rupiah dan es jenis kedua y rupiah.
Persamaan dapat dituliskan
Kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk sederhana
𝑝𝑣−𝑟𝑢
= 𝑝𝑠−𝑟𝑞
𝑢𝑠−𝑞𝑣
𝑝𝑠−𝑟𝑞
terjadi pada dua garis yang sejajar. Sistem disebut tak konsisten.
ax + by = p
cx + dy = q
 Mempunyai satu solusi. Terjadi jika dua garis berpotongan
 Jika kedua garis berimpit, maka tuliskan sistem tersebut sebagai
sistem dengan penyelesaian yang tak terhingga banyaknya.
 Jika kedua garis sejajar, maka tidak ada titik perpotongannya.
Tidak mempunyai solusi.
+ 𝑠𝑦 = 𝑣 maka 𝑦
Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah
(**)
Dengan bantuan gambar kita dapat menyelsaikan masalah yang
terdiri dari dua variabel. Seperti contoh :
(masing-masing ruas ditambah 2)
𝑢−𝑞𝑦
𝑝
dengan mengganti nilai y maka diperoleh 𝑥 =
Jawaban atau penyelesaian persamaan diatas dapat diperoleh
3a – 2 + 2 = 7 + 2
3a= 9
a= 3
𝑢−𝑞𝑦
𝑝
Setya Budhi, Wono. Matematika untuk SMP Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Erlangga, 2007.
MEMODELKAN
IMPLEMENTASI