proposal tugas akhir pengaruh jumlah suku fourier pada

PROPOSAL TUGAS AKHIR
PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA
PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI
KARTESIAN
OLEH :
IRMA ISLAMIYAH
1105 100 056
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2009
LEMBAR PENGESAHAN
TUGAS AKHIR
OLEH :
IRMA ISLAMIYAH
1105 100 056
Surabaya, 24 Februari 2010
Menyetujui :
Pembimbing ,
Arief Bustomi,MSi
NIP. 10730418 199802.1.001
Mengetahui :
Ketua Jurusan Fisika,
Koordinator Tugas Akhir,
Drs. Heny Faisal, MSi
NIP. 19630921 198903.1.002
Lila Yuwana, MSi
NIP. 19750908 200003.1.001
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Persoalan fisika baru dapat terselesaikan apabila dikenai suatu persamaan
differensial yang merupakan representasi matematis dari hukum fisika untuk suatu
persoalan tertentu. Penyelesaian persamaan differensial untuk sistem fisis harus
memperhatikan kondisi syarat batas dari bagian-bagian batas (ujung) dari sistem.
Untuk menggambarkan kondisi dari sistem digunakan 3 sistem koordinat, yaitu
kartesian, silinder dan bola. Dan penggunaan masing-masing koordinat disesuaikan
dengan bentuk geometri sistemnya.
Dalam kehidupan nyata, tidak semua sistem dapat dinyatakan dengan bentuk
geometri kartesian, silinder atau bola. Sehingga, digunakan koordinat polar untuk sistem
geometri kartesian,misalnya.
1.2. Perumusan Masalah
Perumusan
masalah
dari
penelitian
tugas
akhir
ini
adalah
mencoba
mengembangkan suatu metode analisa untuk suatu sistem dengan bentuk geometri
tertentu menggunakan sistem koordinat yang tidak sesuai dengan geometrinya. Dalam
penelitian ini, akan diteliti suatu sistem dengan geometri kartesian menggunakan sistem
koordinat polar dalam analisanya. Yaitu, dengan menambahkan jumlah suku Fourier pada
pendekatan polar untuk sistem geometri kartesian.
1.3. Batasan Masalah
Batasan Masalah dalam tugas akhir ini adalah menemukan pengaruh penambahan
jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian dengan
menggunakan program Matlab 2008.
1.4. Tujuan
Tujuan pada penelitian tugas akhir ini adalah menguji seberapa besar pengaruh
penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri kartesian.
1.5. Manfaat
Manfaaat tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasi tentang
pengaruh penambahan jumlah suku Fourier pada pendekatan polar untuk geometri
kartesian.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Transformasi Fourier
•
Pada tahun 1822, ahli matematika ,Joseph Fourier, menemukan bahwa: setiap
fungsi periodik dapat dibentuk dari gelombang-gelombang sinus/cosinus yang
dijumlahkan.
Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut
(lihat gambar 2.1)
•
f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9+sin(11x)/11 …
Hasil dalam transformasi fourier
Gambar 2.1. Sinyal kotak hasil transformasi fourier
Deret fourier fungsi periodik f(x) dengan periode 2l:
f(x) =
dx
...(2.1)
dimana:
Cn =
Bila Kn =
dx
...(2.2)
K = Kn+1 - Kn =
=
Sehingga persamaan (2.1) dan (2.2) dapat ditulis:
f(x) =
...(2.3)
Cn =
dx
=
dz
...(2.4)
Substitusi persamaan (2.4) ke (2.3)
f(x) =
=
dz
dz
...(2.5)
Jika l
maka
f(x) =
dz dk
f(x) =
dk
dz
...(2.6)
selanjutnya didefinisikan:
F(k) =
dz
F(k) =
dx
...(2.7)
Sehingga:
f(x) =
dk
...(2.8)
persamaan (2.7) dan (2.8) disebut pasangan transformasi fourier.
2.2. Persamaan Differensial Parsial (PDP) Elliptik
Persamaan Poisson dalam bentuk aslinya adalah:
2V = - 1/εo ρ(x,y,z)
Dalam dua dimensi bentuknya menjadi sebagai berikut:
2V/x2 + 2V/y2 = - 1/εo ρ(x,y)
Yang apabila direduksi (ruas kanan = 0) akan menjadi persamaan Laplace:
2V/x2 + 2V/y2 = 0
Di mana V (x,y) adalah potensial listrik.
Persamaan Laplace dapat diselesaikan dengan berbagai macam metode, yaitu: secara
analitik adalah dengan metode pemisahan variabel. Dan dengan metode numerik seperti
metode Jacobi dan Gauss-Seidel.
2.2.1. Metode Pemisahan Variabel
Metode Pemisahan Variabel dimulai dengan memperkenalkan Variabel V (x,y) =
X(x).Y(y). Dan variabel ini disubstitusi ke parsamaan Laplace kemudian dibagi dengan
V (x,y) sehingga menghasilkan:
+
= 0
Karena persamaan ini harus sama dengan nol untuk semua nilai x dan y maka kedua
sukunya bisa disamakan dengan konstan, misalnya:
==
Dimana k adalah tetapan kompleks. Akibatnya, persamaan di atas hanya suatu persamaan
differensial biasa yang memiliki penyelesaian analitis:
X(x) = Cs sin (kx) + Cc cos (kx)
Y(y) = C’s sinh (ky) + C’c cosh (ky)
Dimana C adalah konstan yang bisa dicari apabila syarat awal dan syarat batas diberikan.
Misalkan syarat awal dan syarat batas adalah
V(x,y=0) = V(x=0,y) = V(x=Lx,y) = 0
V(x,y=Ly) = Vo
Maka syarat ini hanya dipenuhi apabila Cc = 0 dan C’c = 0. Kemudian pada x = Lx akan
terpenuhi apabila k = n.π / Lx. Oleh sebab itu, penyelesaian persamaan Laplace adalah
gelombang superposisi:
V(x,y) =
sin (nπx/Lx) sinh (nπy/Lx)
Koefisien Cn dapat diperoleh dengan memasukkan nilai syarat batas pada y=Ly, yaitu V o
sehingga penyelesaian akhirnya adalah:
V(x,y) = Vo
sin (nπx/Lx) sinh (nπy/Lx) / sinh (nπLy/Lx)
2.3. Persamaan Laplace
Dalam persoalan listrik statik tertentu yang melibatkan penghantar, ternyata
seluruh muatan terdapat pada permukaan penghantar atau dalam bentuk muatan titik yang
tetap. Dalam hal ini ρ di sebagian besar titik dalam ruang sama dengan nol. Dan di tempat
yang rapat muatannya nol, persamaan Poisson mempunyai bentuk yang lebih sederhana.
2φ = 0
Yang dikenal sebagai persamaan Laplace.
2.3.1. Persamaan Laplace Koordinat Silinder
Ditinjau Persamaan laplace koordinat silinder
2φ = 0
1/r /r (r φ/r) + 1/r2 2φ/2) + 2φ/z2 = 0
...(2.9)
Langkah ke-1: Separasi Variabel
φ (r,,z) = R (r),  (), Z (z)
...(2.10)

Gambar 2.2. Persamaan Laplace dalam koordinat silinder
Substitusi ke pers. 1:
Z/r d/dr (r dR/dr) + RZ/r2 d2/d2 + R d2Z/dz2
...(2.11)
Langkah ke-2: Pembagian dengan RZ
1/rR d/dr (r dR/dr) + 1/r2 d2/d2 + 1/Z d2Z/dz2
...(2.12)
Langkah ke-3 :
1/Z d2Z/dz2 = -k2
d2Z/dz2 + k2Z = 0
...(2.12.a.1)
1/Z d2Z/dz2 = k2
d2Z/dz2 - k2Z = 0
...(2.12.a.2)
maka pers. 4 menjadi:
r/R d/dr (r dR/dr) + 1/ d2/d2 - k2r2 = 0
r/R d/dr (r dR/dr) + 1/ d2/d2 + k2r2 = 0
Langkah ke-4:
1/ d2/d2 = -m2
d2/d2 + m2  = 0
...(2.12.b)
sehingga pers. 4 sekarang menjadi :
r d/dr (r dR/dr) – (k2r2 + m2)R = 0
r d/dr (r dR/dr) + (k2r2 – m2)R = 0
pers. (5.c.1) adalah persamaan bessel termodifikasi
pers. (5.c.2) adalah persamaan bessel standart
Solusi pers. 5:
 Solusi pers. (5.a.1) untuk konstanta –k2
Z(z) =
E1 cos kz + F1 sin kz
E2 eikz + F2 e-ikz
 Solusi pers. (5.a.2) untuk konstanta k2
Z(z) =
E3 cosh kz + F3 sinh kz
E4 ekz + F4 e-kz
...(2.12.c.1)
...(2.12.c.2)
 Solusi pers. (5.b)
() = C cos m + D sin m
 Solusi pers. (5.c.1) untuk konstanta –k2
R(r) = A1 Im (kr) + B1 Km (kr)
 Solusi pers. (5.c.2) untuk konstanta k2
R(r) = A1 Jm (kr) + B1 Nm (kr)
BAB 3
METODOLOGI
Kajian Pustaka
Membuat
program Matlab
Uji hasil perhitungan
dan program Matlab
Pengambilan data secara
analitis dan secara
numerik dengan matlab
Hasil
BAB 4
JADWAL KEGIATAN
No.
Jenis
Kegiatan
Bulan
februari
1.
I
2.
II
3.
III
4.
IV
5.
V
6.
VI
maret
april
mei
Tabel 4.1 Jadwal Perencanaan Kerja
Keterangan Kegiatan:
I. Penyusunan Proposal
II. Konsultasi dengan dosen pembimbing
III. Kajian pustaka
IV Pengambilan data
V. Processing data
VI. Penyusunan laporan tugas akhir
Juni
DAFTAR PUSTAKA
Reitz, John R., Dasar Teori Listrik Magnet, Penerbit ITB, Bandung, 1993
Hayt, william H., Elektromagnetika Teknologi, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991