Identitas dan Persamaan Trigonometri

MAT 3
materi78.co.nr
Identitas dan Persamaan Trigonometri
A.
Identitas trigonometri
membuktikan kebenaran
trigonometri.
digunakan untuk
suatu persamaan
Identitas nilai perbandingan trigonometri
didapat dari:
y
sinα =
P
r
x
r
cosα =
y
r
α
2
2
sin α + cos α = (
2
y
r
2
sin α + cos α =
2
2
) +(
x
r
2
sin α
+
2
sin α
cos2 α
+
cos2 α
2
sin α
cos2 α
cos2 α
=
=
2
2
2
tan α + 1 = sec α
cos2 α
(masukkan nilai k)
x = {-105, 255, 615}
k = -1 k = 0 k = 1
Himpunan penyelesaian di kuadran II:
2x = –75 – x +k.360
x = –25 + k.120
persamaan
sinus
(masukkan nilai k)
x = {-25, 95, 215, 335, 455}
k=0k=1 k=2 k=3 k=4
x = {95, 215, 255, 335}
apabila,
b. sin(2x) = -cos(x - 15)
sin(2x) = sin(270+(x - 15)) (kuadran IV)
(kuadran I)
sin(2x) = sin(255+x)
(kuadran II)
Hubungan antara dua
mempunyai penyelesaian.
x = –a + k.360
x = 255 + k.360
3x = –75 + k.360
Himpunan penyelesaian di kuadran I:
dengan k merupakan bilangan bulat.
x = a + k.360
sin(2x) = -cos(x - 15)
Himpunan penyelesaian akhir:
x = (180 – a) + k.360
cos x = cos a
sin(2x) + cos(x-15) = 0, dengan 90o < x < 360o
2x = 180 – (255 + x) + k.360
1
Hubungan antara dua
mempunyai penyelesaian.
x = a + k.360
a.
2x = 255 + x + k.360
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
sin x = sin a
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
Himpunan penyelesaian di kuadran I:
1 + cot α = cosec α
2
Contoh:
sin(2x) = sin(255+x)
r2
2
sin α
dengan k merupakan bilangan bulat.
sin(2x) = sin(270+(x - 15)) (kuadran IV)
x2 + y2
2
1
apabila,
x = a + k.180
a.
)
Identitas nilai perbandingan trigonometri lain
didapat dari:
2
tangen
Jawab:
2
sin α + cos α = 1
sin α
tan x = tan a
persamaan
b. cos(3x) + cos(x) = 0, dengan –π < x < π
r = √x2 +y2
x
B.
Hubungan antara dua
mempunyai penyelesaian.
IDENTITAS TRIGONOMETRI
persamaan
2x = 255 + x + k.360
cosinus
x = 255 + k.360
(masukkan nilai k)
x = {-105, 255, 615}
Himpunan penyelesaian di kuadran II:
apabila,
2x = 180 – (255 + x) + k.360
2x = –75 – x +k.360
(kuadran I)
3x = –75 + k.360
x = –25 + k.120
(kuadran IV)
dengan k merupakan bilangan bulat.
(masukkan nilai k)
x = {-25, 95, 215, 335, 455}
k=0k=1 k=2 k=3 k=4
Himpunan penyelesaian akhir:
x = {95, 215, 255, 335}
TRIGONOMETRI
1
MAT 3
materi78.co.nr
C. PERSAMAAN FUNGSI TRIGONOMETRI
y = cotx
periode π
Grafik fungsi trigonometri antara lain:
1) Fungsi sinus dan cosinus
y = sinx
1
π
0
0
2π
π
2
π
3π
2
2π
-1
periode 2π
Bentuk umum persamaan fungsi sinus dan cosinus:
y = cosx
1
y = ±a.cos(bx ± c) ± d
Makna persamaan fungsi sinus dan cosinus:
1) Amplitudo fungsi
π
2π
0
-1
periode 2π
2) Fungsi cosecan dan secan
y = cosecx
periode 2π
y = ±a.sin(bx ± c) ± d
±a
Jika a > 0 (positif), maka grafik bergerak
naik ke amplitudo tertinggi lebih dulu.
Jika a < 0 (negatif), maka grafik bergerak
turun ke amplitudo terendah lebih dulu.
2) Periode fungsi
360°
b
1
0
π
Satu periode dibagi menjadi 4 daerah yang
sama besar.
2π
3) Pergeseran horizontal grafik
-1
c
b
periode 2π
y = secx
Jika c/b > 0 (positif), maka grafik bergeser
ke kiri sebesar c/b.
Jika c/b < 0 (negatif), maka grafik bergeser
ke kanan sebesar c/b.
1
4) Pergeseran vertikal grafik
π
0
2π
-1
d
Jika d > 0 (positif), maka grafik naik ke atas
sebesar d.
3) Fungsi tangen dan cotangen
periode π
y = tanx
Jika d < 0 (negatif), maka grafik turun ke
bawah sebesar d.
5) Nilai maksimum dan minimum grafik
Nilai maksimum:
|a|+d
Nilai minimum:
-| a | + d
Hubungan persamaan fungsi sinus dan cosinus:
0
π
2
π
3π
2π
2
1) Sudut persamaan sinus ke cosinus ditambah
270o sesuai konsep sudut berelasi.
2) Sudut persamaan cosinus ke sinus ditambah
90o sesuai konsep sudut berelasi.
TRIGONOMETRI
2
MAT 3
materi78.co.nr
3) Sudut yang terlalu kecil atau terlalu besar
dapat
disederhanakan
menggunakan
konsep:
α = α ± k.360o
Grafik fungsi sinus dan cosinus juga dapat
diubah menjadi sebuah persamaan, dengan:
Nilai a
a=
Nilai b
amaks −amin
2
dengan k merupakan bilangan bulat.
Contoh:
Nilai c
Ubah ke persamaan berikut ke sinus atau cosinus!
Fungsi sinus
a.
y = 2. sin(3x + 100)
y = 2. cos(370 + 3x)
y = 2. cos(3x + 10)
b. y = -3. cos(x + 4)
y = -3. sin(90+(x + 4))
y = -3. sin(x + 94)
Cara menggambar grafik sinus dan cosinus:
c = – b. xpuncak
Nilai d
d=
amaks +amin
2
dari
Contoh:
Langkah 1:
4
Buat grafik dasar sebelum pergeseran, yaitu
persamaan menjadi y = -2.sin(3x), dengan:
2
- Amplitudo grafik adalah 2 dan grafik bergerak
turun ke -2 lebih dulu.
0
- Periode grafik adalah 360/3 atau 120o.
-1
20
80
Tentukan persamaan fungsi grafik di atas!
2
0
Jawab:
60
120
a=
4-0
2
=2
Periode grafik di atas adalah 2 kali jarak antar
puncak, yaitu 120o.
-2
360°
120°
Langkah 2:
b=
Buat grafik persamaan y = -2.sin(3x-60), dengan
pergeseran horizontal ke kiri sebesar 20o.
c = 90 - 3.80 = 90 - 240 = -150
d=
4+0
2
=3
=2
Maka persamaan yang dapat dibentuk:
2
0
p
Cara menentukan persamaan fungsi sinus dan
cosinus dari grafik:
Contoh:
Buatlah gambar grafik satu periode
persamaan fungsi y = -2. sin(3x-60) + 1!
360°
Fungsi cosinus
c = 90 – b. xpuncak
y = 2. cos(270+(3x + 100))
b=
y = 2. sin(3x - 150) + 2 (fungsi sinus)
60
y = 2. cos(3x + 120) +2 (fungsi cosinus)
120
-2
Langkah 3:
Buat grafik persamaan y = -2.sin(3x-60) + 1,
dengan pergeseran vertikal ke atas sebesar 1.
3
0
-1
60
120
TRIGONOMETRI
3