Transformasi Linier dan Matriks

Transformasi Linier danMatriks
Tujuan:
1. MemahamidefinisiTransformasiLinierdari R n ke R m
danmatrikstransformasi.
2. Memahamiartigeometridaritransformasi linier.
Fungsi yang pernahdipelajari:
- f : R → R fungsibernilai real, contoh: f(x) = 2x + sin x
2
- f : R → R fungsi 2 variabel, contoh: f(x,y)=2(x + y)
n
- f : R → R fungsi n variabel, contoh:
f ( x1 , x2 , , xn ) = a1 x1 + a2 x2 +  + an xn
2
- f : R → R fungsibernilaivektor, contoh: f(t)=(2t + 1,t)
2
2
- f : R → R fungsiduavariabelbernilaivektor, contoh:
f(x,y)=(cos x, sin y)
Fungsidari R n ke R m
n
m
Fungsi f : R → R adalahaturan yang mengaitkansetiap x, elemen
di daerahdefinisidi R n , ke f(x),elemen di daerahhasil di R m .
Fungsi di atasdisebutjuga: transformasidari R n ke R m .
SistemPersamaan Linier (SPL)
dapatdipandangsuatutransformasilinier:
w1= f ( x1 , x2 , , xn )= a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn
w2= f ( x1 , x2 , , xn )= a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn

(*)
wm= f ( x1 , x2 , , xn =
) am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn
SPL di atasmerupakantransformasi linier T : R n → R m yaitu
T ( x1 , x2 , , xn ) = ( w1 , w2 , , wm )
Contoh:
Diketahui
Hitunglah
dan
.
Seperti yang sudahdiketahuibahwa SPL (*)
dapatdinyatakandalamperkalianmatriksvektor:


w = Ax


dimana w vektor di R m , x vektor di R n , dan A matriksmxn.
Matriks A =  aij  disebutmatriks standarduntuktransformasi linier
T.
Misal
vektor kolom dari matriks identitas
, dengan
.
dimana A=
representasinya.
Contoh:
Suatu transformasi linier
dimana
. Jika diketahui
,
,
a. Tentukanmatriksrepresentasiuntuk T.
b. Carilah
.
matriks
,
PenulisanNotasi:


n
m
T : R → R ditulissebagai TA ( x) = Ax
Artigeometris:
Artigeometrisdaritransformasi linier pada R 2 ke R 2 :
 cos θ − sin θ 
A
=

 maka
Contoh:
 sin θ cos θ 
  cos θ − sin θ  x   x cos θ − y sin θ 
TA ( x) =
  
.
 sin θ cos θ  y   x sin θ + y cos θ 
Yang merupakan rotasi dari R 2 melalui sudut θ.
Beberapa contoh transformasi
linier: Lihat H. Anton (h.283-286)
 
Transformasinol: T ( x) = 0
 
Transformasiidentitas: T ( x) = x
KomposisidariTransformasi Linier:
n2
m2
n1
m1
Misal TA : R → R dan TB : R → R ,
komposisidariduatransformasi TB  TA yaitu T : R n1 → R m 2 adajikam1 =
n2danmempunyaimatriks standardberukuranm2 x n1yaitu
[TB ][TA ] .
Balikan(Invers)dariTransformasi Linier:
T −1 : R n → R m adalahtransformasibalikan (invers) dari T : R n → R m
 
−1
−1
jika (T  T )( x ) = x atau T  [T ] = I .