PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINIER NON HOMOGEN DENGAN METODE SAPUAN GANDA CHOLESKY Oleh : Yusup Fakultas Ilmu Komputer, Universitas AKI Semarang Abstract The fraction of Non Homogen Linearity Adjustment System toward Cholensky Double Sweeping Method is by substituting the grade of xi – 1 in i row of linearity adjustment system. After that it counts the coeficiency of Pi and Qi from grade i = 1 to i = n, as the first sweeping step. As it reaches n point, the calculation is conducted on the contrary, that is from n to 1, to count unknown xi. number. Keywords : Tridiagonal Matrix, Linear Equation Systems, Cholesky. Pendahuluan Persamaan Linier sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Sebuah Sistem sehingga diperoleh matriks Persamaan Linier yang terdiri dari m buah persamaan linier dengan n buah bilangan yang tidak diketahui dapat dinyatakan dengan : Jika B = 0 (matriks nol) maka Sistem Persamaan Linier itu disebut dengan Sistem Persamaan Linier Homogen. Sedangkan jika B 0, maka Sistem Persamaan Linier tersebut disebut dengan dimana x1, x2, … , xn adalah bilanganbilangan yang tidak diketahui dan a, b menyatakan kontanta-konstanta. Dan apabila Sistem Persamaan Linier tersebut dinyatakan dengan perkalian matriks AX = B, maka dapat dinyatakan dengan : -34- Sistem Persamaan Linier Non Homogen. Persamaan Linier mempunyai 3 (tiga) tersebut akan kemungkinan penyelesaian, yaitu : a. Penyelesaian yang unik, jika A 0, Pemecahan SPL Non Hmogen denganMetode Sapuan Ganda Cholesky (Yusup) b. Tidak mempunyai penyelesaian jika A = 0 dan B 0, sehingga c. Penyelesaian lebih dari satu jika A semua persamaan linier terpenuhi. Solusi tersebut dapat disajikan dalam bentuk vektor yang disebut dengan = 0 dan B = 0. Penyelesaian berlaku x1 = k1, x2 = k2, …, xn = kn, (Solusi) dari Sistem vektor solusi. Bagan berikut Persamaan Linier tersebut adalah jika memudahkan terdapat himpunan bilangan k1, k2, …, kn gambaran secara umum tentang Sistem yang Persamaan merupakan nilai dari variabel- untuk ini mendapatkan Linier. variabel yang tidak diketahui (x), dan Sistem Persamaan Linier AX = B Homogen B=0 Tak Homogen B0 Tidak Ada Solusi r(A) r(A,B) Selalu Ada Solusi Solusi Trivial (Solusi Nol) Solusi Non Trivial Ada Solusi r(A) = r(A,B) Solusi Tunggal r=n Solusi Banyak r<n Gambar 1. Gambaran Umum Sistem Persamaan Linier Dimana : n = jumlah variabel yang tidak diketahui. r = rank matriks. Pandang matriks A berordo (mxn) dengan elemen-elemennya bilangan riil : a11 a12 a1n a a 22 a 2n 21 A= a m1 a m1 a mn Tiap-tiap baris (kolom) dari matriks A dapat dipandang sebagai vektor-vektor baris (kolom) dari A, yang akan -35- Majalah Ilmiah INFORMATiKA Vol. 2 No.1 Januari 2011 membentuk ruang vektor. Sehingga dapat Metode Sapuan Ganda Cholesky didefinisikan bahwa rank baris (kolom) Disebut juga metode penyelesaian dari matriks A ditulis r(A) adalah dimensi langsung, karena pemakaiannya mudah dan dari ruang baris (kolom) matriks A. matriks tridiagonal banyak dijumpai dalam Dimensi berbagai permasalahan terutama dalam ruang vektor baris (kolom) matriks A didefinisikan sebagai jumlah maksimum vektor-vektor baris (kolom) yang bebas linier, sedangkan penyelesaian Sistem Persamaan Linier. Matriks, Tridiagonal adalah matriks setiap yang mempunyai elemen sama dengan 0, himpunan n vektor baris (kolom) yang kecuali pada satu jalur yang berpusat pada bebas linier dari ruang vektor baris (kolom) diagonal utama, bentuknya sebagai berikut: berdimensi n disebut basis dari ruang a11 a12 a a 22 A = 21 0 a32 0 0 vektor baris (kolom) itu. Jadi rank matriks menyatakan jumlah maksimum vektorvektor baris (kolom) yang bebas linier. 0 a 23 a33 a 43 0 0 a34 a 44 Dipandang Sistem Persamaan Linier sebagai berikut: b1 x1 c1 x2 a x b x c x 2 3 2 1 2 2 a3 x2 b3 x3 c3 x4 ai xi 1 bi xi ci xi 1 a n xn 1 bn xn Baris pertama pada persamaan (1) dari d1 d 2 d3 (1) di d n sistem memungkinkan untuk menulis c1 d dan Q1 = 1 , bila b1 b1 bilangan tak diketahui x1 sebagai fungsi nilai x1 disubstitusikan ke dalam baris bilangan tak diketahui x2 dalam bentuk: kedua persamaan (1), maka didapat: x1 = (2) -36- c1 d x2 + 1 atau x1 = P1 x2 + Q1 b1 b1 dengan P1 = Pemecahan SPL Non Hmogen denganMetode Sapuan Ganda Cholesky (Yusup) a2 ( c1 d x2 + 1 ) + b2 x2 + c2 x3 = d2 b1 b1 atau ( a2 c1 + b2 ) x2 = c2 x3 + (d2 b1 d1 ) b1 a2 xi = ci (ai Pi 1 bi ) (ai Pi 1 bi ) dalam bentuk: xi = Pi xi + 1 + Qi (3a) dengan: Q2 Pi = ci (ai Pi 1 bi ) dan (3b) dengan P2 = d1 b1 a 2 c1 b2 b1 c2 dan Q2 = a 2 c1 b2 b1 Qi = di ai Qi 1 (3c) (ai Pi 1 bi ) Untuk i = 1, maka persamaan (3a), menjadi: , persamaan ini x1 = P1x2 + Q1 (4a) dengan: menunjukkan bahwa x2 merupakan fungsi dari x3, langkah seperti tadi dapat diulangi lagi untuk semua baris pada persamaan berikutnya. Dengan demikian setiap bilangan tak diketahui dapat dinyatakan sebagai bilangan tak Misalnya telah diperoleh persamaan c1 dan (4b) (a1 P0 b1 ) d1 a1 Q0 (4c) (a1 P0 b1 ) Perbandingan persamaan (4) dan (2), menunjukkan bahwa: P0 = 0 dan Q0 = 0 (5) untuk menghitung koefisien Pi serta Qi dari nilai i = 1 sampai i = n, langkah ini sebagai berikut: merupakan sapuan pertama. Setelah xi – 1 = Pi – 1 xi + Qi – 1 Apabila nilai xi Q1 = P1 = Persamaan (4) dan (5), memungkinkan diketahui berikutnya. – 1 disubstitusikan ke dalam baris ke i dari sistem persamaan (1), maka: ai (Pi – 1 xi + Qi – 1) + bi xi + ci xi + 1 = di (ai Pi – 1 + bi ) xi + ci xi + 1 = di (ai Qi – 1) di ai Qi 1 Persamaan tersebut di atas dapat ditulis dapat pula ditulis sebagai: x2 = P2 x3 + d 2 a2 xi 1 + sampai titik ke n hitungan dilakukan dalam arah kebalikannya, yaitu dari n ke 1, untuk menghitung bilangan tak diketahui xi. Untuk itu persamaan terakhir dari sistem persamaan (1) ditulis dalam bentuk: -37- Majalah Ilmiah INFORMATiKA Vol. 2 No.1 Januari 2011 2 x1 x2 7 x1 x2 3x3 10 6 x 2 2 x3 x 4 7 2 x3 3x4 13 an xn – 1 + bn xn = dn (6) Pada sistem persamaan (3), apabila i = n 1, maka: xn – 1 = Pn – 1 xn + Qn – 1 (7) (c1) Substitusi dari persamaan (7) ke dalam Penyelesaian: persamaan (6), akan memberikan: Sistem persamaan di atas dapat ditulis an(Pn – 1 xn + Qn – 1) + bnxn = dn dalam bentuk matriks tridiagonal, yang (anPn – 1 + bn ) xn = dn an Qn – 1 penyelesaiannya xn = d n an Qn 1 dengan (an Pn 1 bn ) berikut: dapat dilakukan menggunakan persamaan Sesuai dengan persamaan (3a), maka: xi = Pi xi + 1 + Qi (c2) xn = Qn. Nilai xn dapat diperoleh, berdasarkan nilai xn yang didapat maka nilai xn dengan: Qi = Dari nilai xn – 1 kemudian dihitung nilai xn – 3, ci (ai Pi 1 bi ) di ai Qi 1 (ai Pi 1 bi ) (c4) Skema penyelesaian sistem persamaan dan seterusnya hingga ke dengan metode sapuan ganda sebagai nilai x1. berikut: Contoh soal: Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan menggunakan metode sapuan ganda. Pi , Qi (i = 1,2,3,4) P1 , Q1 P2 , Q2 P3 , Q3 P4 , Q4 i=1 i=2 x2 i=3 x3 i=4 x4 x1 xi (i = 4,3,2,1) -38- dan (c3) sebagai berikut: xn – 1 = Pn – 1 xn + Qn – 1. – 2, = – 1 dapat dihitung pula dengan persamaan xn Pi Pemecahan SPL Non Hmogen denganMetode Sapuan Ganda Cholesky (Yusup) d 2 a2 Q1 (10) 1(3,5) = 1(0,5) 1 a2 P1 b2 Q2 = Langkah pertama dihitung nilai Pi dan Qi (i = 1, 2, 3, 4) dari kiri ke kanan. 13,5 = 27. 0,5 = Setelah sampai ke titik i = n = 4, dihitung nilai xn = Qn. Berdasarkan Untuk i = 3, P2 = 6 dan Q2 = 27. nilai xn tersebut, kemudian hitungan P3 = dilanjutkan dari kanan ke kiri untuk mendapatkan nilai xi (i = 4, 3, 2, 1). a) Menghitung koefisien Pi dan Qi (i = c3 1 = = a3 P2 b3 6 6 2 1 = 0,02941. 34 Q3 = 1, 2, 3, 4) d 3 a3 Q2 7 (6 (27)) = = a3 P2 b3 6 (6) (2) dengan menggunakan persamaan 169 = 4,97059. 34 (c3) dan (c4), berdasarkan sistem Untuk i = n = 4, Pn = 0 dan Qn = Koefisien Pi dan Qi dihitung persamaan (c1). d n an Qn 1 , maka: Untuk i = 1, P0 = 0 dan Q0 = 0. (an Pn 1 bn ) x4 = P1 = c1 c 1 = 1 = = 2 a1 P0 b1 b1 0,5. Q1 = d1 a1 Q0 7 70 = = = a1 P0 b1 0 2 2 3,5. Untuk i = 2, P1 = 0,5 dan Q1 = Q4 d 4 a4 Q3 a4 P3 b4 13 (2 (4,97059 )) 2 (0,02941) (3) = = 3,05882 = 1,00. 3,05882 Setelah nilai Pi dan Qi (i = 1, 2, 3, 4) didapat, lalu dihitung nilai xi (i = 3,5. P2 = = 3 = 6. 1 0,5 1 c2 = a2 P1 b2 4, 3, 2, 1). b) Menghitung xi (i = 4, 3, 2, 1) Variabel xi (i = 4, 3, 2, 1) dihitung dengan menggunakan persamaan (c2): xi = Pi xi + 1 + Qi Untuk i = 4, maka x4 = Q4 = 1,00. -39- Majalah Ilmiah INFORMATiKA Vol. 2 No.1 Januari 2011 Untuk i = 3, maka x3 = P3x4 + Q3 = x1 = 2,00; (0,02941(1,00)) + 4,97059 = x4 = 1,00. 5,00. Untuk Untuk i = 2, maka x2 = P2x3 + Q2 = tidaknya hasil yang diperoleh, maka (6(5,00)) + (27) = 3,00. nilai-nilai tersebut dimasukkan ke Untuk i = 1, maka x1 = P1x2 + Q1 = dalam (0,5(3,00)) + 3,5 = 2,00. diselesaikan. Dengan demikian hasil x2 = 3,00; x3 = 5,00; mengetahui persamaan benar yang yang diperoleh adalah: 2 (2,00) 2,00 + 3,00 = 7 (= 7) + 3,00 3 (5,00) = 10 (= 10) 6 (3,00) 2 (5,00) + (1,00) = 7 (= 7) 2 (5,00) 3 (1,00) = 13 Daftar Pustaka Chapra Steven C, Canale Raymond P, 2006, Numerical Methods for Engeneers, Fifth Edition, Mc Graw Hill Inc, New York. Charles G. Cullen (alih bahasa oleh Bambang Sumantri, Ir.), 1993, Aljabar Linier dengan Penerapannya, PT. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. 202.91.15.14/upload/files/4460_Bab_2.doc (Senin, 10 januari 2011) -40- (= 13) atau telah