Pengenalan Vektor - Anny Yuniarti @ Teknik Informatika ITS

01-Pengenalan Vektor
Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc
Gasal 2011-2012
Anny2011
1
Agenda
• Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier
• Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian
Titik (Dot Products)
• Bagian 3: Matriks
Anny2011
2
Bagian 1
VEKTOR DAN KOMBINASI
LINIER
Anny2011
3
Pendahuluan
• Inti dari aljabar linier ada pada dua operasi
vektor
• Penjumlahan vektor: v + w
• Perkalian skalar dengan vektor: cv dan dw
• Gabungan dua operasi diatas disebut
kombinasi linier: cv + dw
Anny2011
4
Kombinasi Linier
• Berapa nilai kombinasi linier cv + dw jika
c = d = 1?
• Bagaimana jika c = 2, d = 1?
Anny2011
5
Vektor (1)
• Vektor kolom:
• Penulisan vektor: miring tebal, komponen
vektor: miring tipis
• Penjumlahan vektor:
Anny2011
6
Vektor (1)
• Perkalian vektor dengan skalar:
• Berapa –v + v ?
Anny2011
7
Representasi Vektor (2D)
• Dua angka
• Panah dari (0,0)
• Titik di sebuah bidang
Anny2011
8
Vektor 3-Dimensi
• Memiliki 3 komponen
• Contoh:
• Ganti bidang datar xy dengan ruang 3
dimensi:
Tapi ini bukan
vektor baris
v = [1 1 -1]
Anny2011
9
Kombinasi Linier Vektor 3D (1)
• Contoh:
• Short Quizzes 
– What is the picture of all combinations cu ?
– What is the picture of all combinations cu + dv ?
– What is the picture of all combinations cu + dv + ew ?
• Jika u, v, dan w bukan zero vector:
– The combinations cu fill a line.
– The combinations cu + dv fill a plane.
– The combinations cu + dv + ew fill 3D space.
Anny2011
10
Kombinasi Linier Vektor 3D (2)
• Contoh Soal:
– Kombinasi linier v = (1, 1, 0) dan w = (0, 1, 1)
membentuk sebuah bidang datar.
– Jelaskan bidang datar yang terbentuk tsb.
– Berikan sebuah contoh vektor yang bukan
merupakan kombinasi v dan w.
Anny2011
11
Kombinasi Linier Vektor 3D (3)
• Jawaban:
– Kombinasi cv + dw membentuk bidang datar di ruang R3.
– Contoh vektor yang berada pada bidang tersebut adalah
(0, 0, 0), (2, 3, 1), (5, 7, 2), dan (π, 2π, π).
– Komponen kedua = komponen pertama + komponen ketiga
– Contoh vektor yang tidak berada pada bidang cv + dw
adalah (1, 2, 3)
Anny2011
12
Kombinasi Linier Vektor (1)
• Contoh Soal:
– Tentukan dua persamaan untuk dua variabel
yang tidak diketahui c dan d sehingga
kombinasi linier cv + dw sama dengan
vektor b:
Anny2011
13
Kombinasi Linier Vektor (2)
• Jawaban:
– Persamaan vektor:
– Persamaan untuk menentukan nilai c dan d:
• 2c – d = 1
• -c + 2d = 0
– Solusi: c = 2/3, d = 1/3.
Anny2011
14
Bagian 2
PANJANG VEKTOR DAN
PERKALIAN TITIK (DOT
PRODUCTS)
Anny2011
15
Perkalian Titik
• Juga disebut dot product atau inner product
• Perkalian titik vektor v = (v1, v2) dan w = (w1,
w2) adalah nilai v · w :
• Contoh: Nilai perkalian titik vektor v = (4, 2)
dan w = (-1, 2) adalah 0.
• Dua vektor saling tegak lurus jika nilai perkalian
titiknya = 0.
Anny2011
16
Panjang Vektor
• Panjang vektor v adalah akar kuadrat
dari v · v
• Contoh: jika v = (1, 2, 3) maka v · v = 1 +
4 + 9 = 14, sehingga panjang vektor v :
Anny2011
17
Vektor Unit
• Vektor unit u adalah vektor yang
panjangnya = 1, sehingga u · u = 1.
• Contoh:
• Semua vektor nonzero v jika dibagi dengan
panjangnya ||v|| akan menghasilkan vektor
unit.
Anny2011
18
Sudut Antara Dua Vektor
• v · w = 0  v tegak lurus dengan w
• v · w > 0  sudut antara v dan w < 90
• v · w < 0  sudut antara v dan w > 90
• Rumus COS
Anny2011
19
Sudut Antara Dua Vektor
• Contoh Soal:
Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3).
1. Tunjukkan kebenaran Schwarz Inequality
dan Triangle Inequality
2. Hitung berapa nilai cos Θ (Θ = sudut
antara vektor v dan w)
3. Tentukan vektor unit u yang searah
dengan v
4. Tentukan vektor unit U yang tegak lurus
dengan u
Anny2011
20
Sudut Antara Dua Vektor
• Jawab:
Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3).
v•w = 12 + 12 = 24.
Panjang v dan w: ||v|| = 5, ||w|| = 5.
v+w = (7,7), panjangnya: ||v+w|| = 7√2.
1. Schwarz Inequality: |v•w| ≤ ||v|| ||w||
24 ≤ 25  Schwarz Inequality
Triangle Inequality: ||v+w|| ≤ ||v||+||w||
7√2 ≤ 10  Triangle Inequality
2. cos Θ = 24/25.
3. u = v/||v|| = (3/5, 4/5).
4. Vektor yang tegak lurus dengan v: V = (-4, 3).
Vektor unit yang tegak lurus dengan u: U = V/||V|| = (-4/5,
3/5)
Anny2011
21
Perintah di MATLAB
• Input v dan w dalam satu baris, lalu
gunakan tanda ‘ untuk mengubahnya dalam
satu kolom. Contoh:
v = [2 3 4]’; w = [1 1 1]’; u = 2 * v + 3 * w
• Perkalian titik (dot product) umumnya
menggunakan perkalian baris dengan kolom
Anny2011
22
Perintah di MATLAB
• Panjang vektor v  norm(v)
• Rumus cos
• PR: Buatlah sebuah file .m yang berisi
fungsi cosine(v, w) untuk menghitung cos
θ dan sudut θ.
Anny2011
23
Bagian 3
MATRIKS
Anny2011
24
Kombinasi Vektor Menggunakan
Matriks (1)
• Diketahui tiga vektor u, v, w sbb:
• Kombinasi linier dalam ruang 3D: cu + dv
+ ew :
Anny2011
25
Kombinasi Vektor Menggunakan
Matriks (2)
• Kombinasi linier diatas dapat ditulis ulang
menjadi:
• Ax = kombinasi linier b dari kolom-kolom pada
matriks A.
Anny2011
26
Persamaan Linier
• Jika sebelumnya dicari hasil kombinasi
linier x1u + x2v + x3w, dinotasikan dengan b
• Maka pada persamaan linier yang dicari
adalah nilai x1, x2, x3, sedemikian hingga
nilai kombinasi liniernya = b
Anny2011
27
Persamaan Linier
• Contoh:
• Persamaan diatas dapat diselesaikan
urut dari atas ke bawah dikarenakan
matriks A bersifat lower triangular
Anny2011
28
Persamaan Linier
• Bila nilai b = (0, 0, 0), berapa nilai x ?
• Jawab: x = (0, 0, 0)
• Bila nilai b = (1, 3, 5), berapa nilai x ?
• Jawab: x = (1, 4, 9)
• Matriks A disebut invertible, karena dari b
dapat diperoleh nilai x
Anny2011
29
Matriks Invers
• Persamaan diatas dapat dipecahkan dengan:
• Untuk setiap b terdapat satu solusi untuk Ax = b.
• Terdapat sebuah matriks S sedemikian hingga x =
Sb.
• Dalam aljabar linier, notasi untuk matriks invers
adalah A-1.
Anny2011
30
Persamaan Linier
• Contoh 2:
• Kombinasi linier vektor u, v, dan w* membentuk
matriks C :
• Matriks C diatas bukan termasuk triangular.
• Solusi persamaan Cx = b tidak ada atau tak
terhingga, misal untuk b = (0, 0, 0):
Anny2011
31
Persamaan Linier
• Misal untuk b = (1, 3, 5):
• Tidak ada solusi untuk pers. linier Cx = b
Anny2011
32
Independen dan Dependen
• Contoh 1: vektor u, v, dan w
• Contoh 2: vektor u, v, dan w*
• Independen  vektor w tidak berada di
bidang uv
• Dependen  vektor w* berada di bidang uv
• Vektor w* adalah kombinasi linier u dan v
Anny2011
33
Independen dan Dependen
• Pada matriks, vektor menjadi kolom.
• Untuk vektor dimensi n sebanyak n, akan
membentuk matriks n x n.
• Kolom-kolom matriks yang independen:
– Ax = 0 memiliki satu solusi.
– A disebut matriks invertible.
• Kolom-kolom matriks yang dependen:
– Ax = 0 memiliki banyak solusi.
– A disebut matriks singular.
Anny2011
34
Contoh Soal
• Diketahui matriks A:
. Tentukan
solusi vektor x dari Ax = b untuk
sembarang nilai b.
1
1
1
Anny2011
0 0
1 0
1 1
35
Contoh Soal
• Solusi dari atas ke bawah:
– x 1 = b1
– x 2 = b1 + b 2
– x3 =
b 2 + b3
• Ini berarti:
Anny2011
36
Latihan Pertemuan 1
• Chapter 1.1
– Problem 5, 6
• Chapter 1.2
– Problem 1, 2, 5, 7, 8
• Chapter 1.3
– Problem 1, 3, 6
Anny2011
37